2019_2020学年高中数学第5章数系的扩充与复数的引入22.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法学案北师大版.docx

2.1复数的加法与减法 2.2复数的乘法与除法学 习 目 标核 心 素 养1理解共轭复数的概念(重点)2掌握复数的四则运算法则与运算律(重、难点)1借助坐标系理解共轭复数，提升学生的直观想象的核心素养.2通过复数代数形式的运算的学习，培养学生的数学运算的核心素养.1复数的加法与减法(1)复数的加法设abi(a，bR)和cdi(c，dR)是任意两个复数，定义复数的加法如下：(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)复数的减法设abi(a，bR)和cdi(c，dR)是任意两个复数，定义复数的减法如下：(abi)(cdi)(ac)(bd)i.2复数的乘法与除法(1)复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3(3)共轭复数如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数复数z的共轭复数用来表示，即zabi，则abi.(4)复数的除法法则设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i.1复数的共轭复数是()AiBiCiDiDi.2复数z12i，z22i，则z1z2等于()A0B.iC.i D.iCz1z2ii.3(1i)2_.i(1i)22ii.复数的加法与减法运算【例1】(1)(2i)_.(2)已知复数z满足z13i52i，求z.(3)已知复数z满足|z|z13i，求z.思路探究：(1)根据复数的加法与减法法则计算(2)设zxyi(x，yR)，根据复数相等计算或把等式看作z的方程，通过移项求解(3)设zxyi(x，yR)，则|z|，再根据复数相等求解(1)1i(2i)i1i.(2)解法一：设zxyi(x，yR)，因为z13i52i，所以xyi(13i)52i，即x15且y32，解得x4，y1，所以z4i.法二：因为z13i52i，所以z(52i)(13i)4i.(3)设zxyi(x，yR)，则|z|，又|z|z13i，所以xyi13i，由复数相等得解得所以z43i.1复数加法与减法运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项2当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设zabi(a，bR)1(1)复数(1i)(2i)3i等于()A1iB1iCiDi(2)已知|z|3，且z3i是纯虚数，则z_.(1)A(2)3i(1)(1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i.故选A.(2)设zxyi(x，yR)，3，且z3ixyi3ix(y3)i是纯虚数，则由可得y3.z3i.复数的乘法与除法运算【例2】已知复数z11i，z232i.试计算：(1)z1z2和z；(2)z1z2和zz1思路探究：按照复数的乘法和除法法则进行解(1)z1z232i3i2i25i.z(1i)22(2i)24i24.(2)z1z2i.zz1i.复数运算中的几点结论1R(cd0)adbc0；为纯虚数acbd0且bcad0.2(abi)(cdi)RR(cd0)adbc0；(abi)(cdi)为纯虚数为纯虚数acbd0且adbc0.可以类比向量共线(实数)与垂直(纯虚数)来记忆上述两个结论注意：以上结论中：cdi0.2(1)满足i(i为虚数单位)的复数z()AiBiCi Di(2)若复数z满足z(1i)2i(i为虚数单位)，则|z|()A1B2C D(1)B(2)C(1)i，zizi，iz(i1)zi.(2)z(1i)2i，z1i，|z|.共轭复数探究问题1两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？提示若zabi(a，bR)，则abi，则z2aR.因此，和一定是实数；而z2bi.当b0时，两共轭复数的差是实数，而当b0时，两共轭复数的差是纯虚数2若z1与z2是共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？提示|z1|z2|.【例3】已知zC，为z的共轭复数，若z3i13i，求z.思路探究：设zabi(a，bR)，则abi.代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解解设zabi(a，bR)，则abi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.解此类题的常规思路为：设zabi(a，bR)，则abi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解.3已知复数z1(1i)(1bi)，z2，其中a，bR.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值解z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i，z2i，由于z1和z2互为共轭复数，所以有解得1复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加2复数减法的几何意义也可叙述为：连接两个复数对应的向量的终点，方向指向被减向量的终点的向量，就是两个复数的差所对应的向量3实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，如：(1)当zR时，有|z|2z2；当zC时，有|z|2R，而z2C，故|z|2和z2不能进行比较例如，当z1i时，|z|22，z22i，此时2和2i不能进行比较(2)当m，nR时，有m2n20mn0；当z1，z2C时，zz0D/z1z20，但z1z20zz0.4复数除法的一般做法：通常先把(abi)(cdi)写成的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简，即(abi)(cdi)i.5复数运算常见小结论(1)(1i)22i1i；(2)(1i)22i1i1i；(3)(1i)(1i)21i1i；(4)ii；(5)i4n1i；i4n21，i4n3i，i4n1(nZ)6常用公式(abi)(abi)a2b2；(abi)2a2b22abi；(abi)3a33ab2(3a2bb3)i.7共轭复数的运算小结论(1)若zabi(a，bR)，则z2a；(2)若zabi(a，bR)，则z2bi；(3)若zabi(a，bR)，则z|z|2|2a2b2，()2；(4)对于复数z1，z2，(z20)1(2019全国卷)设z32i，则在复平面对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限C由z32i，32i，在复平面内对应的点为(3，2)，在第三象限，故选C.2设复数z11i，z2x2i(xR)，若z1z2R，则x_.2z11i，z2x2i(xR)，z1z2(1i)(x2i)(x2)(x2)i.z1z2R，x20，即x23若abi(i为虚数单位，a，bR)，则ab_.2因为1i，所以1iabi，所