2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程检测（B）（含解析）新人教A版选修.docx

第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1过点(0,1)且与抛物线y2=x只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:过(0,1)且与抛物线只有一个公共点的直线有2条切线和一条交线(y=1).答案:C2双曲线的焦点在y轴上,且它的一个焦点在直线5x-2y+20=0上,两焦点关于x轴对称,ca=53,则该双曲线的方程是()A.x236-y264=1B.x264-y236=1C.x236-y264=-1D.x264-y236=-1解析:两焦点关于x轴对称,焦点在y轴,又焦点在直线5x+2y+20=0上,当x=0时,y=-10.c=10.ca=53,a2=36,b2=64.答案:D3已知双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为y=43x,则该双曲线的离心率为()A.53B.43C.54D.32解析:本题已知ba=43,不能直接求出a,c,可用整体代入变用公式.由e=ca=a2+b2a=a2+b2a2=1+b2a2=1+k2(其中k为渐近线的斜率).这里ba=43,则e=ca=1+432=53,故选A.答案:A4已知点F,A分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点、右顶点,点B(0,b)满足FBAB=0,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.1+32D.1+52解析:FBAB=0,FBAB,b2=ac.又b2=c2-a2,c2-a2-ac=0.两边同除以a2,得e2-1-e=0,e=1+52.答案:D5已知双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)的一个焦点在直线l:3x+3y+12=0上,且其一条渐近线与直线l平行,则该双曲线的方程为()A.y248-x216=1B.y216-x248=1C.y212-x24=1D.y24-x212=1解析:依题意,双曲线焦点在y轴上,又直线l与y轴交点为(0,-4),所以双曲线焦点坐标为(0,4),即c=a2+b2=4.又因为直线l斜率为-33,因此ab=33,解得a2=4,b2=12,故双曲线方程为y24-x212=1.答案:D6已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则该椭圆的方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在椭圆上,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1.-,得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即b2a2=-(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2).AB的中点为(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2=2.而y1-y2x1-x2=kAB=0-(-1)3-1=12,b2a2=12.又a2-b2=9,a2=18,b2=9.椭圆E的方程为x218+y29=1.故选D.答案:D7已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,过P作PAl于点A,当AFO=30(O为坐标原点)时,|PF|=()A.43B.83C.2D.3解析:设l与y轴交于点B,在RtABF中,AFB=30,|BF|=2,所以|AB|=233.设P(x0,y0),则x0=233,于是y0=13,从而|PF|=|PA|=y0+1=43.答案:A8如图,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则双曲线C2的离心率是()A.2B.3C.32D.62解析:在椭圆C1中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=23.又因为四边形AF1BF2为矩形,所以F1AF2=90.所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以|AF1|=2-2,|AF2|=2+2.所以在双曲线C2中,2c=23,2a=|AF2|-|AF1|=22,故e=ca=32=62,故选D.答案:D9如图,南北方向的公路l,A地在公路的正东2千米处,B地在A地北偏东60方向23千米处,河流沿岸PQ(曲线)上任一点到公路l和到A地的距离相等.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向A,B两地转运货物,经测算从M到A,从M到B修建公路的费用均为a万元/千米,则修建这两条公路的总费用最低是()A.(2+3)a万元B.(23+1)a万元C.5a万元D.6a万元解析:分别过点M,B,A作直线MMl,BBl,AA1l,垂足分别为M,B,A1,过点B作BB1AA1,垂足为B1.由已知,得|AB1|=|AB|cos30=2332=3.|AA1|=2,|BB|=3+2=5.又|AM|=|MM|,修路费用为(|AM|+|MB|)a=(|MM|+|MB|)a|BB|a=5a(万元).答案:C10已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率的取值范围是35,1,其左、右焦点分别为F1,F2,若P是椭圆上位于y轴右侧的一点,则|PF1|PF2|=()A.53B.3C.4D.5解析:依题意|PF1|PF2|,设|PF1|PF2|=(1),则|PF1|=|PF2|.由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a,因此|PF2|=2a+1,又因为F2是右焦点,所以|PF2|a-c,因此2a+1a-c,整理得e-1+1,于是有-1+1=35,故=4.答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,点P在抛物线C上,且PFOF,则|OF-PF|=_.解析:易知|OF|=1,|PF|=2,则|OF-PF|=|OP|=|OF|2+|FP|2=5.答案:512椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=3(x+c)与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于.解析:由直线y=3(x+c),知其倾斜角为60.由题意知MF1F2=60,则MF2F1=30,F1MF2=90.故|MF1|=c,|MF2|=3c.由|MF1|+|MF2|=2a,得(3+1)c=2a,即e=23+1=3-1.答案:3-113O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为C上的一点,若|PF|=42,则POF的面积为.解析:抛物线的焦点F(2,0),准线方程x=-2.|PF|=42,|PF|=42=xP+2,即xP=32,yP2=4232=24,即|yP|=24=26.故POF的面积为12226=23.答案:2314已知抛物线y2=8x的准线过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为_.解析:抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,则双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为(-2,0),即a2+b2=4.由e=ca=2,易求得a2=1,b2=3,则该双曲线的方程为x2-y23=1.答案:x2-y23=115已知抛物线y2=2px(p0)在第一象限内的一点A(3,b)到抛物线焦点F的距离为4,若P为抛物线准线上任意一点,则当PAF的周长最小时,以PF为直径的圆的标准方程为.解析:由已知|AF|=4,根据抛物线定义得点A到准线的距离为4,因此有3+p2=4,解得p=2,故抛物线方程为y2=4x,从而A(3,23).PAF的周长最小即|PA|+|PF|最小,由于F关于准线的对称点F1(-3,0),连接AF1与准线的交点即为使得|PA|+|PF|最小的点,此时可求得P-1,233,故以PF为直径的圆的圆心为0,33,半径等于233,故圆的标准方程为x2+y-332=43.答案:x2+y-332=43三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线方程是x=-1.(1)求此抛物线的方程;(2)设点M在此抛物线上,且|MF|=3,若O为坐标原点,求OFM的面积.解:(1)因为抛物线的准线方程为x=-1,所以p2=1,得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.(2)设M(x0,y0),因为点M(x0,y0)在抛物线上,且|MF|=3,由抛物线的定义,知|MF|=x0+p2=3,得x0=2.将(2,y0)代入方程y2=4x,得y0=22,所以OFM的面积为12|OF|y0|=12122=2.17(8分)设P是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的一点,F1,F2是其左、右焦点.已知F1PF2=60,求椭圆离心率的取值范围.解:根据椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a.在F1PF2中,由余弦定理,得cos60=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=12,即|PF1|2+|PF2|2-4c2=|PF1|PF2|.式平方,得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=4a2.由,得|PF1|PF2|=4b23.由和运用基本不等式,得|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22,即4b23a2.由b2=a2-c2,得43(a2-c2)a2,解得e=ca12.e0,-2k1-k20-2k-1.即k的取值范围是k|-2k-1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),则x=x1+x22=kk2-1,y=1k2-1,故直线l的方程为y=12k2+k-2(x+2).令x=0时,则b=22k2+k-2=22k+142-178.-2k-1,u=2k2+k-2为减函数,-1u2-2.u0,b2+2.即b的取值范围是b|b2+2.19(10分)设F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过F1且斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.(1)求椭圆E的离心率;(2)设点P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求椭圆E的方程.解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=43a.直线l的方程为y=x+c,其中c=a2-b2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组y=x+c,x2a2+y2b2=1.化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0,则x1+x2=-2a2ca2+b2,x1x2=a2(c2-b2)a2+b2.因为直线AB斜率为1,所以|AB|=2|x2-x1|=2(x1+x2)2-4x1x2,得43a=4ab2a2+b2,故a2=2b2.故E的离心率e=ca=a2-b2a=22.(2)设AB的中点为N(x0,y0),由(1)知x0=x1+x22=-a2ca2+b2=-23c,y0=x0+c=c3.由|PA|=|PB|得kPN=-1,即y0+1x0=-1,得c=3,从而a=32,b=3.故椭圆E的方程为x218+y29=1.20(10分)如图,M是抛物线y2=x上的一点,动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点,且MA=MB.(1)若M为定点,证明:直线EF的斜率为定值;(2)若M为动点,且EMF=90,求EMF的重心G的轨迹方程.(1)证明设定点M(y02,y0),直线ME的斜率为k(k0),由|MA|=|MB|可知直线MF的斜率为-k,即直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).由y-y0=k(x-y02),y2=x,消去x,得ky2-y+y0(1-ky0)=0.解得yE=1-ky0k,则xE=(1-ky0)2k2.同理可得yF=1+ky0-k,xF=(1+ky0)2k2.故kEF=yE-yFxE-xF=1-ky0k-1+ky0-k(1-ky0)2k2-(1+k