相似三角形---射影定理的运用.doc

相似三角形-射影定理的推广及应用 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（）：t中，若为高，则有DAD、或。（证明略）二、变式推广逆用如图（）：若中，为高，且有或或，则有或，均可等到为直角三角形。（证明略）一般化，若不为直角三角形，当点满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2）如图（）：中，D为上一点，若，或，则有，可得AB；反之，若中，为上一点，且有，则有，可得到，或。（证明略）三、应用例如图（），已知：等腰三角形中，高、交于点，求证：分析：易证=900-CHBD，联想到射影定理变式（2），可得，又，故有结论成立。（证明略）例如图（）：已知中，为弧中点，过点的弦被弦分为和两部分，求。分析：易得到，满足射影定理变式（2）的条件，故有，易求得(解略)例3已知：如图（5），中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，交的延长线于点，求证：。证明：连，垂直平分，平分，又C公共，。射影定理练习【选择题】1、已知直角三角形中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，交AB于E，且AD=3.2cm，则DE= （ ）A、1.24cm B、1.26cm C、1.28cm D、1.3cm2、如图1-1，在Rt中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长 A、1B、2C、3 D、4 3、在Rt中，于点D，若，则（）A、 B、 C、 D、4、如图1-2，在矩形ABCD中，则（）A、 B、 C、 D、【填空题】5、中，于点D，AD=6，BD=12，则CD=，AC= ，= 。6、如图2-1，在Rt中，AC=6，AD=3.6，则BC=【解答题】7、已知CD是的高，如图3-1，求证：8、已知，是正三角形，求证：9、如图3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，E是垂足，求证：10、如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DHBM且与AC的延长线交于点E求证：（1）AEDCBM；（2）AECM=ACCD11、已知：如图，等腰ABC中，AB=AC，ADBC于D，过点B做射线BG，交AD、AC于E、F两点，与过点C平行于AB的直线交于点G。 求证： （1）BE2=EFEG （2）若过点B的射线交ADAC 的射线、的延长线分别于、两点，与过C平行于的直线交于点，则（）的结论是否成立，若成立，请说明理由。参考答案1、C2、B3、C4、C 5、 6、 87、证明：在Rt中，由射影定律得，在中，又，8、证明：如图所示，在中，9、证明：在和中，所以所以，因为AB=a，BC=b，所以10、 证明：（1）ABC是直角三角形，A+ABC=90，CDAB，CDB=90，即MCB+ABC=90，A=MCB，CDAB，2+DMB=90，DHBM，1+DMB=90，1=2，又ADE=90+1，CMB=90+2，ADE=CMB，AEDCBM；（2）AEDCBM，AE：AD=CB：CM，AECM=ADCB，ABC是直