N66幻方新构型及其性质的分析研究毕业论文.doc

课题：幻方新构型及其性质的研究目 录1 前言 .41.1 选题理由.51.2 研究目的.52 幻方新构造法一：仿天体型构造任意大奇数阶幻方.72.1 奇数阶幻方与宇宙天体排布的猜想. 822 仿天体型法构造步骤.93 幻方新构造法二：蝶型双曲线构造单偶阶幻方.133.1 单偶阶幻方与舒文中双曲线构造法.143.2 蝶型双曲线法构造步骤.154 幻方新构造法三：奇换偶移构造全偶阶幻方.95.构奇数阶幻方的几个性质5.1 太极图. . 105.2 漂亮的蛛网图.105.3 奇！中心对称图.115.4 妙！具有可拆性的同心性.155.5 程序源文件（略）6 研究结论与意义.166.1 创新点.166.2 发明专利.176.3 专家鉴定与推荐.19参考文献.20摘 要幻方在统计学，实验设计等方面起了重要作用，是新时代数学主流的一部分。幻方是进入组合数学的“入口”之一，它所使用的数学方法极具特色”(引齐民友语)，至今仍有很多未解决的难题。研究者借助于，银河系中恒星的分布规律，运用“幻心加幻框”原理设计出“仿天体型”法，过程简单方便记忆；同时运用“平移补空”原理设计了仿蝴蝶风筝构型的“蝶形双曲线”法，可以构造任意大的半偶阶幻方；创造奇换偶移规律构造全偶阶幻方。 对“仿天体型”法构造的奇数阶幻方的性质进行研究，发现该法所构幻方中有很多“巧合”和不可思议的图形，显示出该构造法的神奇和独特。更运用计算机技术编写“仿天体型”法程序，可以填写出了任意阶同心幻方，破解了幻方的“世界之最”。关键词： 幻方 仿天体型 蝶型双曲线 神奇性质AbstractThe thesis devises the Anthropological Imitation with the theory of “幻心加幻框”according to the distribution patterns of stars in galaxy. Arbitrary Odd Order Magic squares can be constructed. The procedures are simple, indigeous and easy to be remembered ;meanwhile the use of pan fill empty imitating butterfly kite is realized during configuration of the butterfly hyperbolic law which can be constructed arbitrarily large semi-magic square; of imitation-day body method to construct the Odd Order Magic Square nature of the magic found in the nature of prescription, there are many wonderful coincidence and the incredible graphics, showing the magic and unique construction method. Two structures are new innovative construction methods, and can complete the construction of arbitrarily large magic square, for which the use of like-day shape method fills out the worlds largest 115 Magic Square (data: the worlds top mathematical volumes, the greatest magic square filled out is Sun Da who constructed 105 Magic Square).Key words: magic square magic, Anthropological Imitation, butterfly hyperbolic, Magic nature幻方新构型及其性质的研究1 前言把1到9这九个自然数，放进33的方格阵中，使得每行、每列、每条对角线的三个数字之和都等于15，这就是古老而神奇的河洛数，即河图、洛书。幻方，我国古代称为纵横图，也叫洛书、河图。在国外称为魔方（Magic square），属于数学中组合数学分支之一，往往联系着数的神秘主义。幻方随着电子计算机技术的迅速发展，组合数学的兴盛，它更引起了数学界越来越大的兴趣。高源在奇妙的幻方一书中指出：爱因斯坦的相对论的成立，用过中国的河洛数；刘子华受河图洛书的启示，推算出了第十颗行星的存在，并称为木王星，40年后，美国科学家以科学手段测出了太阳系中的这第十颗行星；蔡福裔则利用太极八卦、河洛原理对化学元素周期表进行改造，从中发现了宇宙尚存在大量新元素的线索。更有许多著名的世界大数学家都是幻方爱好者、研究者。大数学家欧拉就用其一生发明了，一种奇数阶幻方的填写，即欧拉法。幻方，是趣味的、神秘的，世界之最(数学分册)报告，世界最大的奇数阶幻方是美国人孙达填出的105阶幻方。幻方，至今仍有很多未解决的难题和不解之谜。吴文俊院士、杨乐院士都指出：信息技术将给数学本身带来一场根本性的变革。也指出组合数学的发展很有生命力，很有前途，呼吁中国应该重视这个方面的研究。万哲先院士更举例说明华罗庚、许宝禄、吴文俊等中国老一辈的数学家不仅重视组合数学，同时还对组合数学中的一些基本问题作了重大贡献。1.1 选题的确定幻方分奇数阶和偶数阶幻方，偶数阶又分单偶阶和双（全）偶阶，其中奇数阶幻方被研究的最多，单偶阶的构造最为复杂。1.2 研究目的1、研究奇数阶幻方和半偶阶幻方以及全偶阶幻方并给出新的构造法；2、研究新构造法构造出来的幻方的特殊性质；3、编程实现新构造法对任意数幻方的快捷构造；4、用自己的构造法，填写出大于105阶的幻方，破解“世界之最”。2 幻方新构造法 一：奇数阶幻方的“仿天体型”构造法2.1 宇宙天体排布猜想与奇数阶幻方的构造 图1 银河图片观赏几幅图片，显示出的恒星排列似乎有种规律（参见图1），联想到奇数阶幻方（以下简称幻方）的构造，有了幻方新构型的猜想：1)、图片显示宇宙有一个中心，银河系也有一个中心。相似的幻方也可以有一个中心，特别是奇数阶幻方，这个中心数应该是奇数阶幻方的中间数；2)、银河系所有的恒星及天体构成图形犹如纺锤体倾斜状（左重右轻），或像一副斜放的打击乐器“钹”。相似的幻方中有主对角线，该对角线上的数字排列应有右上小、左下大的排列特点；3)、银河系中所有恒星由中心向外伸展出三条旋臂，成“ ”形状，顺时针由里向外旋转，最后形成了螺旋状纺锤体，猜想幻方也有数字可按“ ”形状，顺时针由里向外、从小到大螺旋状的填数，而且河图、洛书中的1、2、3这三个数似乎也有这样的排布趋势。4)、幻方中其他的数字填法应该以相应的配对数来呈现出一定的规律。2.2 “仿天体型”法构造奇数阶幻方步骤（以n=7，7阶幻方为例）1) 定中心：将中间数Qn（当n=7时，Q7=25），填入7阶方框图正中心（图2）。2) 右主对角线上的n个数：取n=7，上的数以中间数为中心，向右上递减，向左下递增排列，即22、23、24、25、26、27、28呈现左重右轻排列（见图2）。3) 旋转，以中间数为中心，由里向外，由小到大，顺时针依“ ”形三条旋臂旋转在相应的空格里，填上从1开始的连续自然数。n=7时，为1到9，从紧挨中间数正下方空格内填数字“1”，开始由里向外填写，组成一条顺时针的旋开螺旋线。（见图3）4) 填写配对数：以中间数为中心对称，填“ ”螺旋线上数字的配对数。即把已填入1，2，3，的各自的配对数分别按以中间数Qn为中心对称的规则填入，当n=7时，19的配对数分别为49，48，41，如图4。5) 把剩下的数定义为剩余数，平分为2段，前段从小到大，后段从大到小，前后段数字正好互为配对数。对于n=7，前段数是10、11、20、21，后段数对应为前段数的配对数，即40、3930、29。 填写前段数的要求：由里向外，填满内一层方框再填外一层方框。先左至右，再由下至上。（其配对数即后段数填写的位置在其同行或同列上，以方阵的中行或中列为对称的位置上）。这样，剩余数前段数按从小到大的顺序在同层方框中分别先呈水平 “之”字形的排列，再走竖直“之”字形的排列（见图5）。我惊奇的发现，填完全部的剩余数，幻方正好完成。对n=7，前段数的最后一个21，而后段数逆序的最后恰好是29。全部的49个数，一个不多一个不少，没有重复也没有余空，全部填写完毕。至此，n=7的幻方已经构成（见图6）所示。推理可知，n阶幻方的“剩余数”的前段数字的具体个数：对于5阶方框是左右、上下各有一对数（图6中，分别是10和11、12和13）；7阶方框就是左右、上下各有2对数（图6中，分别是14-15 、16-17和18-19、20-21）；依次类推9阶方框是左右、上下各有3对数；11阶方框是左右、上下各有4对数；n阶方框是左右、上下各有 (n-3)/2 对数字。2223242526272885225369147 图2 中间数和右主对角线填法 图3 三旋臂的填法84354624941444725369148445742843225462324924414447253692614827445287428321943302122145384613233635102492440154144472536916392614811343327124374517281831720294219211415161718204 按逆时针旋转的螺旋线，以及配对数的填法图6 7阶同心幻方 图5 先左后右先上后下之行图 115132497234473637258612275592438575617567781639652627641328140691855707376794136912541968421801463282962431546677205352442160723587430453150331048354671图7 用“仿天体型”构造出的9阶幻方3 幻方新构造法二，蝶型双曲线法构造半偶阶幻方3.1 半偶阶幻方与舒文中双曲线法1) 幻方分为奇数阶和偶数阶幻方。偶阶幻方又分全偶阶（4m型）和半偶阶（4m+2型）两种，构造过程截然不同，特别是半偶阶幻方在三种幻方中构造最 图15 舒文中双曲线法构造6阶幻方，幻和111为复杂。全偶阶和半偶阶又分别可称为二重偶阶和一重偶阶或双偶阶和单偶阶。2) 舒文中用双曲线法构造出六阶幻方，方法是：第一步：将1-24分成四端，即1至6、7至12、13至18、19至24四段数字，每段数字均从上往下排；第二步：按照双曲线的形状，左右交替（数字均从上往下排；顺序是先外层后里层），排成两层；第三步：将最后2组（25-36）“镶边”，各数依次按自下而上，左右、右左（织布式）填写；第四步：以中间的六阶幻方为主体，将左右突出的部分平移到对应空白的地方，得到六阶幻方（图15）。3.2 蝶型双曲线法构造任意半偶阶幻方然而，经过演算对于10阶、14阶、18阶都不适用，舒文中的双曲线法仅能构造出六阶幻方，该法不适用于任意的半偶阶幻方的构造。对此，我试用了多种调整都没有结果。一次偶然到江边游玩，看到形象的蝴蝶风筝飞在天上，一下联想到幻方的构造，重新开始试验，得到了“蝶型双曲线法”。 具体步骤如下：1) 仿照风筝的构造，首先设计出2条“龙骨”（重要不同点），即2条主对角线，但是不同于奇数阶幻方，对角线不交叉，而是折线型“ ”，填法是先从右上角“ ”到右下角（为了叙述方便这条定义为右中线），再从左上角到左下角“ ”（相应的定义为左中线）。2 ) 仿照舒文中双曲线法，改为六阶幻方的对称双曲线仅有一对（)，左1条，右1条（舒文中是采用左右各2条，而没有龙骨线）；对于十阶幻方来说，对称双曲线共有3对（)，左3条，右3条；对于十四阶幻方来说，对称双曲线共有5对（)，左5条，右5条，。对于4m+2型单偶阶幻方，对称双曲线条数为：阶数 n-4。这些双曲线构成了一幅蝴蝶展翅的构图，十分形象。3 ) 左、右中线（龙骨）的数字确定：将六阶幻方的所有数字分为6组，分别是：1-6、7-12、13-18、19-24、25-30、31-36，取中间的13-18和10-24为龙骨，最后2组25-36为“镶边”；对于十阶幻方分为10组数字：1-10、11-20、21-30、91-100，取中间的41-50和51-60为龙骨，最后2组81-90、91-100为“镶边”。（相应的对于14阶的龙骨数字为78-89和99-112，镶边依然是最后2组），余类推。4) 对称双曲线的连接（以10阶为例）：从1开始到10，11-20、,71-80 中的 41-50和51-60分别为左、右中线，故从40 跳接 61。每组数字从第2组开始是上-下，下-上，上-下）按数序就近连续的“一笔连续划”（见图16）。舒文中采用的是固定的由上到下的连接（不连续）。（见图15）。5) 最后2组，即“镶边”组，填写仿舒文中的方法，依次从小到大对“蝴蝶”的翅膀进行“花边”的镶接，接法是：由下至上，先左-右、再右-左， (如蝶穿花)的往返填写在左右边缘的格子中。即：81-100的数填入如（图17）所示。 图16 蝶型双曲线构造法16050806120214070313041511071110 100131705141713011999723269524272291298963336853437328139593434675444742714949253566554575261591896366556467625169088737645747772417878583863584878231886849396259497922198381104061605080212082图17 蝶型双曲线法构造10阶幻方511001317071301199416952972322912984272336853963139543732843467549394447427149253566554575261591896366556467625169073764578887477724173863588581886487823625984939221983497960811040618021208250图18 10 阶幻方，幻和5056） 将4个对应“蝴蝶”角平移进入对应的幻方方框的对应空格，即得到10阶幻方，这就是著名的令杨辉遗憾的“百子图”啊。（见图18，图17为待移状态）4 幻方新构造法三奇换偶移规律构造全偶阶幻方4.1、构造方法步骤一：幻核的构造幻核是个四阶幻阵，其幻和记作N，且，幻核是由数字18及其配对数这16个数字构成。这16个数字是以中横线为界排列的。12345678-7-6-5-4-3-2-11-1-24-467-78-6-55-332a b c 图-19 配对数调换构造幻核的通式图步骤二：构造6阶、10阶、14阶.（4m+2型）幻方1、方框填法。（以6阶、10阶为例）口诀“方框排列调配对，列换行动2对移，旋转填（幻）核即幻方”。 自然数从9-28（10阶为33-68，）顺序排列填满方框（图-20-1）； 配对数调整，使配对数的和=+1；具体调整分别以中横线和中竖线为对称轴互调下行和尾列位置上的数（4个角上的数不动）。（见图-20-2） “列换行动2对移”，（见图-20-2中双箭头所示）。具体是：（奇）列换（10-27、12-25）“2行动”（15-22、19-18） “2对移”（11-20、17-26） “4数”旋转（逆时针）13-21、21-24、24-16、16-13。见图-20-3 10阶幻方也是单偶阶幻方，10阶方框构造，仿照6阶方框的法则，即：【自然数从33-68顺序排列填满方框（图-20-1）】； 【配对数调整，（见图-20-2）】； 【“列换行动”具体是：奇列上下数对换（34-60、36-65、38-63、40-62）； “行动”，中横线向上数第4行（43-58）和向下数第2行（53-48）； “2对移”（35-52、49-66）】； 【4数旋转（41-55、55-60、60-46、46-41）】。 对于14阶、18阶、22阶.4m+2阶单偶阶同心方框：“列换行移”是，从10阶起：“列换”相同（都是奇列）； “2行动”是以中横线为界：10阶是向上隔3行（6阶是隔1行）、14阶向上隔4行、18阶向上隔5、22阶向上隔6与此类推；向下则是6阶隔0行、10阶隔1行、14阶隔2行与此类推；“2对换”的数字是，第一行第2列分别与6阶时是尾列2行、10阶是尾列4行、14阶是尾列6行与类推；“4数旋转”是固定位置的4个数依次逆时针旋转。2、构造幻方对于6阶方框回填进4阶幻方，即得6阶幻方。取n=6，有19=-17；20=-16；21=-15；22=-14；23=-13；24=-12；25=-11；26=-10；27=-10；28=-9；可得6阶幻方通式图（图-22），该通式图也是六阶幻核，将其填入8阶方框中得8阶幻方。 取n=10，有51=-49；.。124=-32；可得10阶通式图（图略），该通式图也是10阶幻核，将其填入下面的12阶方框中得12阶幻方。 910111213141516171819202122232425262728910111213141522172019182116232726252428 927202516142215261118191324231017122128927112513142215172018192116231026122428图20（1、2、3、4） 6阶方框构造步骤图3367356537633961414258434556475449525150485355465744593466366438624060683334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667683360526237643966414258434556475449355150485355465744593466366438624060680一二34567890336035623764396644421584324556347544665255150648537414685760959344936643862405568图21-（1、2、3、4） 10阶幻方方框构造步骤图9-9-16-111614-141-1-2415-10-467-711188-6-55-1713-332-12-13101712-15-8图22 6阶幻方（6阶幻核）构造通式图步骤三、构造8阶、12阶、16阶4m型幻方 双偶阶幻方的构造要比单偶阶幻方简单得多，用通式法也更为简单。1、方框填法（以8阶、12阶为例）口诀变为“排列方框调配对，列换行动2对移，无需旋转填幻方”。 自然数从19-46（12阶为51-94，）顺序排列填满方框（图-23-1）； 配对数调整。（见图-23-2） “列换行动2对移”，（见图-24-2中双箭头所示）。具体是：奇列换（20-45、22-43、24-41）“行动”（有三行31-34、33-32、37-28） “2对移”（21-38、27-44）19202122232425262728293031323334353637383940414243444546192021222324252627382936313433323530372839454443424140461945214323412526273829363431323335302837392044224224404619453843234125264421293634313233353028373920272242244046图23 8阶方框构造步骤图 12阶方框构造，仿8阶方框进行：【自然数从51-94顺序排列填满方框（图-24-1）】；【配对数调整，（见图-24-2）】【“列换行动”具体是：奇列上下数对换（52-93、54-91、56-89、58-87、60-85）； “行动”，有3行，即中横线向上、向下各数第1行和向下数第4行（79-66）；“2对换”（93-92、53-80）】【“列换行动”中，“行动”的3行，从12阶开始是中横线向上、向下各数第1行和向下数第4行，16阶是中横线向上、向下各数第1行和向下数第5行，20阶向下数第6行，余类推；“2对换”是上行第2列的数字和尾列的3行动的数字，且是相同规律分别从中横线向上数第4行（12阶幻方）、第5行（16阶幻方）、第6行（20阶幻方），余类推】图-25。515253545556575859606162636465194538432341252666674421686929367071343172733233747535307677283778793920272242244046808182838485868788899091929394515253545556575859606162638265194538432341252680674421786929367671343174733233727535307077283768793920272242244046668164839392919089888786858494519353915589578759856162638265194538432341252680674421786929367674343171723233737535307077283768663920272242244046798164835292549056885886608494519380915589578759856162638292194538432341252653674421786929367674343171723233737535307077283768663920272242244046798164835265549056885886608494图24 12阶（16、20、24）方框构造步骤图5 用“仿天体型”构造出的奇数阶幻方的几个性质5.1 神秘的太极图图25 太极图从幻方中任取一个方阵（以图7的9阶幻方为例，取五阶幻阵）。以41为圆心过39、77、43、5为四点作一个大圆，然后过分别以40和42为圆心过39、6、41、78四点和过43、76、41、7四点作小圆。两个小圆在中间点41相接，并在39与43两点和大圆相切，连接39、6、41、76、43的两段的圆弧，将大圆分成两半，上为阳，下为阴，再将两个小圆的圆心42、40两点画为阴、阳两点，便构成了古太极图（图25）。 5.2 漂亮的蛛网图看9阶幻方（图7）的中间“米”字线上，由里逐层向外网圈上的数字是“奇偶奇偶”依次相间的（图26）。每圈数字之和分别为414、418、418（即除里圈周值为414外，其他各圈周值均为418），而41正是中间数。图26 蛛网图5.3 奇！中心对称图再看9阶幻方“米”字线（即两条大对角线和中行中列构成“米”字）上的数字，它们还具有完美的中心对称性质：任意两个与幻方中心等距离的数之和都等于82。如4+78=82、12+70=82、75+7=82五阶幻方，沿、线7个数的和为287由任何一层方框的九个方位点，可以构成许多以中间数为对称中心的中心对称图形。实际上太极图就是一个中心对称图形，只不过是由曲线构成。在诸多的中心对称图形中，最让我注目的是卍与卐。“卍”读万，是佛教的符号，而“卐”是希特勒纳粹的符号。这一东一西，一善一恶，风马牛不相及的两者，竟在用“仿天体型”幻方中出现了共同点。沿线的数字之和由里逐层向外分别是205、287、369、451，同层的沿线数字之和相等！而205、287、369、451分别是中心数41的五、七、九和11倍！ 三阶幻方，沿、线5个数和为205七阶幻方，沿线9个数和为369 图27 中心对称图5.4 妙！层层同幻具有可拆性如果依次去掉所构幻方的最外面一层数字后，分别得到(n-2)、(n-4)、(n-2m)的k阶方阵，这些方阵仍保持幻方的基本性质，如，7阶幻方去掉最外层的数字，剩下5阶方阵，演算每行每列每条对角线上的数字之和均等于125。这是同心幻方的特点，即用“仿天体型”构造的幻方是奇数阶同心幻方，具有“可拆性”，即“层层同幻”。而一般方法构造的幻方是一拆就撒啊！6 研究结论与意义6.1 创新点为证明研究结果的新颖性，对“幻方新构型的研究”，进行国内文献检索，共查询了国内6种数据库及工具书，查出相关文献15篇。上述文献1-9基于多种手段研究了奇数阶幻方、奇数阶面幻方、幻立方及同心幻方的构造方法，文献10-14研究了一些幻方的性质，文献15告知世界之最的最大幻方是105阶，由美国人孙达(音译)构造。 经综合对比分析可知，我们的研究具有以下创新点：1）“仿天体型”法，确系一种可以构造任意大奇数阶幻方的新方法，并给予了数学证明。2）“蝶型双曲线法”可以构造任意大的4m+2型单偶阶幻方，也是一种新方法。3）奇换偶移规律构造全偶阶幻方，是一种新的构造原理。4）115阶是目前构造出来的最大幻方，可以说已经实实在在的破解了幻方的“世界之最”。6.2 专家鉴定与推荐 1) 中国科学院武汉物理与数学研究所，周焕松研究员和王继平博士后，先后2次对2种幻方构造法及其数学证明分别给予了鉴定，充分肯定我们的研究。（见附录2、3）。 2) 武汉大学原校长、著名数学家和教育家齐民友教授在阅读了论文后，立即组织一批研究生一起听取我们的报告，亲笔写下了推荐书，认为幻方“研究很有特色，不仅提出了新型的幻方，而且有一些思路和方法有独创性，或者有可能发展为较有力、较系统的工作”。3) 武汉大学数学与统计学院教授、湖北省数学学会副秘书长陈士华教授在阅读了研究报告后，给予热忱推荐。（见附录4） 4) 我的研究成果和其他同学的幻方研究成果，汇集一起在指导老师的帮助下编为一本约40万字的幻方探秘一书，2010年7月由中国地质大学出版社。参考文献 何超、何建勋偶阶同心幻方的简明快捷构造方法及其证明 1991年中国人工智能学会、计算机视觉与智能控制学会，第二届学术会议论文集计算机视觉与智能控制91 R.A.Brualdi,Introdnctory combiatories,new york 1977组合学导论 林淑飞，改进镶边法构造任意阶幻方T he improved edging method to construct arbitrary magic square2008年 第32卷 第04期孙泽瀛数学趣谈香港青年出版社1987年 王永健著的世界之最数学分册（江苏人民出版社出版，1981年1月第一版） 杨富锋构造奇次同心幻方的一种方法The Method of Creating Odd Rank Concentric Magic Square2006年 第36卷 第05期 梁培基双重幻方数学研究与评论1982年第2期 徐桂芳全对称幻方和全对称幻立方的构造方法西安交通大学学报1981年第2期 舒文中幻方科学出版社1991年 孙友、孙群策、孙群力幻方专辑1993年，发 高源奇妙的幻方1995年，出版发行 方金生、方志幻方游戏2008年附件1：中国发明专利受理通知书 专利号201010106581.9附件2：专家鉴定和推荐意见1、 中国科学院物理与数学研究所周焕松研究员和王继平博士后的评价意见 大胆的构思，奇妙的结果关于对“仿天体型”法构造任意大奇数阶同心幻方一文的评价 该文给出了一种简单而新奇的方法来构造任意大奇数阶同心幻方，特别是借助银河系所有恒星的分布规律，完成了整个幻方的构造。该想法大胆而奇特，构造过程避免了复杂的公式运算，所得的结果与已有文献结果相比较，还具有文中所介绍的“可拆性”的特点。才该文的写作可以看出，作者具有丰富的课外知识，大胆开放的思维方式和刻苦专研的精神，值得称赞和大力提倡。 周焕松 王征平 博士后 中科院物理与数学研究所 2009年3月6日附件2：专家鉴定和推荐意见2、 中国科学院物理与数学研究所周焕松研究员和王继平博士后的评价意见 （第2次评价，2页） 对幻方2种新构造法的评定 高中学生万逸凡等长期坚持不懈的潜心研究组合数学中的幻方课题，借助宇宙构图的“仿天体型”方法可构造任意大奇数阶同心幻方。该方法最大优点是避免复杂的公式运算，而且构造出的幻方具有“层层同幻”的特点。半年多之后，这名学生最近又给出了构造任意大半偶阶幻方的新构造方法。需要指出的是，构造任意大偶数阶幻方的过程比构造任意大奇数阶幻方的过程复杂许多。偶数阶幻方又分为全偶阶（4m型）和半偶阶（4m+2型）两种，构造过程截然不同，其中构造半偶阶要比构造全偶阶困难得多。和已有的文献结果相比较，他所给出的方法更加简明有效。这名学生的这种刻苦钻研的精神值得称赞和鼓励。 中科院武汉物理与数学研究所 博士后：王继平 研