电大1009【离散数学】(本)小抄分栏精编版即打印即用.doc

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1若集合A=1，2，B=1，2，1，2，则下列表述正确的是( a )AAB，且AB 2设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图一所示，则下列结论成立的是 ( d )D（d）是强连通的3设图G的邻接矩阵为则G的边数为( b ) B54无向简单图G是棵树，当且仅当( a )AG连通且边数比结点数少1 5下列公式 ( c )为重言式 C(P(QP)(P(PQ)1若集合A=a，b，B= a，b， a，b ，则（a）AAB，且AB 2集合A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8上的关系R=|x+y=10且x, yA，则R的性质为（ b ） B对称的3如果R1和R2是A上的自反关系，则R1R2，R1R2，R1-R2中自反关系有（ b ）个 B2 4如图一所示，以下说法正确的是 ( d ) D(d, e)是边割集5设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（ c ）C(x)(A(x) B(x) 1设A=a, b，B=1, 2，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1=, ，R2=, , ，R3=, ，则（ b ）不是从A到B的函数 BR2 2设A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为 (b )B无、2、无、23若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ a ）A1024 4设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当（ c ）时，K中存在欧拉回路 Cn为奇数 5已知图G的邻接矩阵为 ，则G有（ d ） D5点，7边1若集合A a，a，1，2，则下列表述正确的是( c )CaA 2设图G，vV，则下列结论成立的是 ( c ) C 3命题公式（PQ）R的析取范式是 ( d ) D（PQ）R4如图一所示，以下说法正确的是 ( a )Ae是割点 5下列等价公式成立的为( b ) BP(QP) P(PQ)1若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( d ) D连通图2集合A=1, 2, 3, 4上的关系R=|x=y且x, yA，则R的性质为（ c ）C传递的 3设集合A=1，2，3，4，5，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集上的元素5是集合A的（ b ） B极大元 4图G如图一所示，以下说法正确的是 ( c ) C(a, d) ,(b, d)是边割集5设A（x）：x是人，B（x）：x是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（ a ） A(x)(A(x)B(x) 1若集合A a，a，则下列表述正确的是( a ) AaA 2命题公式（PQ）的合取范式是 ( c ) C（PQ） 3无向树T有8个结点，则T的边数为( b ) B74图G如图一所示，以下说法正确的是 ( b ) Bb, c是点割集5下列公式成立的为( d ) DP(PQ)Q1“小于5的非负整数集合”采用描述法表示为（a）AxxN, x5 2设R1，R2是集合A=a,b,c,d上的两个关系，其中R1=(a,a),(b,b),(b,c), (d,d)，R2=(a,a),(b,b),(b,c),(c,b),(d,d)，则R2是R1的_b_闭包 B对称 3设函数f：RR，f(a)=2a+1；g：RR，g(a)=a2，则_c_有反函数 Cf 5无向完全图K4是_a_ A汉密尔顿图 6在5个结点的完全二叉树中，若有4条边，则有(b)片树叶 B3 7无向树T有7片树叶，3个3度结点，其余的都是4度结点，则T有_c_个4度结点 C1 8与命题公式P（QR）等值的公式是_a_ A(PQ)R 9谓词公式中量词x的辖域是_b_ B 10谓词公式的类型是_c_ C永真式 1设A=1,2,3,4，B=1,3，C=-1,0,1,2，则_a_A 2若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为_b_ B10243设集合A=1,2，B=a,b，C=，则_c_ C, 4设A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为(d) D无、2、无、25有5个结点的无向完全图K5的边数为_a_ A10 6设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当_b_时，K中存在欧拉回路 Bn为奇数 7一棵无向树T有5片树叶，3个2度分支点，其余的分支点都是3度顶点，则T有_c_个顶点 C11 8命题公式（PQ）R的析取范式是(_b_) B （PQ）R9下列等价公式成立的是_b_ B P(QP) P(PQ)二、填空题（每小题3分，本题共15分）6命题公式的真值是 T （或1） 7若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为 W|S| 8给定一个序列集合000，001，01，10，0，若去掉其中的元素 _0 ，则该序列集合构成前缀码9已知一棵无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T的树叶数为 5 10(x)(P(x)Q(x)R(x，y)中的自由变元为R(x，y )中的y6若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为1024 7设A=a，b，c，B=1，2，作f：AB，则不同的函数个数为 8 8若A=1,2，R=|xA, yA, x+y=10，则R的自反闭包为, 9结点数v与边数e满足 e=v-1 关系的无向连通图就是树10设个体域Da, b, c，则谓词公式(x)A(x)消去量词后的等值式为A (a) A (b)A（c）6设集合Aa，b，那么集合A的幂集是,a,b,a,b 7如果R1和R2是A上的自反关系，则R1R2，R1R2，R1-R2中自反关系有 2 个 8设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 4 条边后使之变成树9设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为 3 10设个体域Da, b，则谓词公式(x)A(x)（$x）B（x）消去量词后的等值式为(A (a)A (b)(B（a）B（b）) 6设集合A=0, 1, 2, 3，B=2, 3, 4, 5，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为，7设G是连通平面图，v, e, r分别表示G的结点数，边数和面数，则v，e和r满足的关系式v-e+r=2 8设G是有6个结点，8条边的连通图，则从G中删去 3 条边，可以确定图G的一棵生成树9无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且所有结点的度数全为偶数10设个体域D1,2，则谓词公式消去量词后的等值式为A(1)A(2)6若集合A=1，3，5，7，B=2，4，6，8，则AB=空集（或） 7设集合A=1，2，3上的函数分别为：f=,，g=,，则复合函数gf =, , ,8设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点度数之和为2|E|（或“边数的两倍”） 9无向连通图G的结点数为v，边数为e，则G当v与e满足 e=v-1 关系时是树 10设个体域D1, 2, 3， P(x)为“x小于2”，则谓词公式(x)P(x) 的真值为假（或F，或0） 6设集合A=2, 3, 4，B=1, 2, 3, 4，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为，7如果R是非空集合A上的等价关系，a A，bA，则可推知R中至少包含，等元素8设G是有4个结点，8条边的无向连通图，则从G中删去 5 条边，可以确定图G的一棵生成树9设G是具有n个结点m条边k个面的连通平面图，则m等于n+k-210设个体域D1, 2，A(x)为“x大于1”，则谓词公式的真值为真（或T，或1）11设集合A=1,2,3，用列举法写出A上的恒等关系IA，全关系EA： IA = _ IA =,； EA =,12设集合Aa，b，那么集合A的幂集是,a,b,a,b13设集合A=1,2,3，B=a,b，从A到B的两个二元关系R=,，S=,，则R-S=_ R-S=14设G是连通平面图，v, e, r分别表示G的结点数，边数和面数，则v，e和r满足的关系式v-e+r=215无向连通图G是欧拉图的充分必要条件是结点度数均为偶数16设G是有6个结点，8条边的连通图，则从G中删去 3 条边，可以确定图G的一棵生成树17设G是完全二叉树，G有15个结点，其中有8个是树叶，则G有_14_条边，G的总度数是_28_，G的分支点数是_7_18设P，Q的真值为1，R，S的真值为0，则命题公式的真值为_0_19命题公式的合取范式为析取范式为20设个体域为整数集，公式真值为_1_11设集合A=1,2,3,4，B=3,4,5,6，则： _3,4_，_1,2,3,4,5,6_12设集合A有n个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 13设集合A=a,b,c,d，B=x,y,z，R=,则关系矩阵MR14设集合A=a,b,c,d,e，A上的二元关系R=,，S=,，则RS=,15无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且_所有结点的度数全为偶数16设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为 3 17设正则二叉树有n个分支点，且内部通路长度总和为I，外部通路长度总和为E，则有E=_ I+2n18设P，Q的真值为0，R，S的真值为1，则命题公式的真值为_1_19已知命题公式为G(PQ)R，则命题公式G的析取范式是(PQ)R20谓词命题公式(x)(P(x)Q(x)R(x，y)中的约束变元为_x_三、逻辑公式翻译（每小题4分，本题共12分）11将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消”翻译成命题公式设P：所有人今天都去参加活动，Q：明天的会议取消， P Q 12将语句“今天没有人来” 翻译成命题公式设 P：今天有人来， P 13将语句“有人去上课” 翻译成谓词公式设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课， ($x)(P(x) Q(x) 11将语句“如果你去了，那么他就不去”翻译成命题公式设P：你去，Q：他去， PQ 12将语句“小王去旅游，小李也去旅游”翻译成命题公式设P：小王去旅游，Q：小李去旅游， PQ 13将语句“所有人都去工作”翻译成谓词公式设P(x)：x是人，Q(x)：x去工作， (x)(P(x)Q(x) 11将语句“他不去学校”翻译成命题公式设P：他去学校， P 12将语句“他去旅游，仅当他有时间”翻译成命题公式设 P：他去旅游，Q：他有时间， P Q 13将语句“所有的人都学习努力”翻译成命题公式设P(x)：x是人，Q(x)：x学习努力， （x）(P(x)Q(x) 11将语句“尽管他接受了这个任务，但他没有完成好”翻译成命题公式设P：他接受了这个任务，Q：他完成好了这个任务， P Q 12将语句“今天没有下雨”翻译成命题公式设P：今天下雨， P 11将语句“他是学生”翻译成命题公式设P：他是学生， 则命题公式为： P 12将语句“如果明天不下雨，我们就去郊游”翻译成命题公式设P：明天下雨，Q：我们就去郊游， 则命题公式为： P Q 11将语句“今天考试，明天放假”翻译成命题公式设P：今天考试，Q：明天放假 则命题公式为：PQ 12将语句“我去旅游，仅当我有时间”翻译成命题公式 设P：我去旅游，Q：我有时间， 则命题公式为：PQ 将语句“如果明天不下雨，我们就去春游”翻译成命题公式 将语句“有人去上课” 翻译成谓词公式设命题P表示“明天下雨”，命题Q表示“我们就去春游”. 则原语句可以表示成命题公式 PQ. 设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课 则原语句可以表示成谓词公式 ($x)(P(x) Q(x) 四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）14P（PQ）P为永真式正确 P（PQ）P是由P（PQ）与P组成的析取式，如果P的值为真，则P（PQ）P为真， 如果P的值为假，则P与PQ为真，即P（PQ）为真，也即P（PQ）P为真，所以P（PQ）P是永真式 15若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在正确 对于集合A的任意元素x，均有R（或xRa），所以a是集合A中的最大元14如果R1和R2是A上的自反关系，则R1R2是自反的正确 R1和R2是自反的，x A， R1， R2， 则 R1R2， 所以R1R2是自反的 v1v2v3v5v4dbacefghn图二15如图二所示的图G存在一条欧拉回路 正确 因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数 14设N、R分别为自然数集与实数集，f：NR，f (x)=x+6，则f是单射正确 设x1，x2为自然数且x1x2，则有f(x1)= x1+6 x2+6= f(x2)，故f为单射 15设G是一个有6个结点14条边的连通图，则G为平面图错误 不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v3，则e3v-6” 13下面的推理是否正确，试予以说明 (1) （x）F（x）G（x） 前提引入 (2) F（y）G（y） US（1）错误 （2）应为F（y）G（x），换名时，约束变元与自由变元不能混淆 14若偏序集的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在 错误 集合A的最大元不存在，a是极大元 13下面的推理是否正确，试予以说明 (1) （x）F（x）G（x） 前提引入 (2) F（y）G（y） US（1）错误 （2）应为F（y）G（x），换名时，约束变元与自由变元不能混淆 14如图二所示的图G存在一条欧拉回路错误 因为图G为中包含度数为奇数的结点 13如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G是欧拉图错误 当图G不连通时图G不为欧拉图 14若偏序集的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，最小元是f 错误 集合A的最大元与最小元不存在，a是极大元，f是极小元， 五计算题（每小题12分，本题共36分）16设集合A=1，2，3，4，R=|x, yA；|x-y|=1或x-y=0，试（1）写出R的有序对表示；R=,（2）画出R的关系图；1234关系图为 （3）说明R满足自反性，不满足传递性因为,均属于R，即A的每个元素构成的有序对均在R中，故R在A上是自反的。 因有与属于R，但不属于R，所以R在A上不是传递的。 17求PQR的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式P（RQ）P(RQ) PQR （析取、合取、主合取范式） (PQR)(PQR) (PQR) (PQR)(PQR) (PQR) (PQR) （主析取范式） 18设图G=，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1, v2)，(v1, v3)，(v2, v3)，(v2, v4)，(v3, v4)，(v3, v5)，(v4, v5) ，试(1)画出G的图形表示；(2)写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数；(4) 画出图G的补图的图形v1v2v3v4v5ooooo（1）G的图形表示如下： （2）邻接矩阵 （3）deg(v1)=2v1v2v3v4v5ooooodeg(v2)=3deg(v3)=4deg(v4)=3deg(v5)=2 （4）补图16设谓词公式，试（1）写出量词的辖域； （2）指出该公式的自由变元和约束变元（1）$x量词的辖域为， z量词的辖域为, y量词的辖域为 （2）自由变元为与中的y，以及中的z约束变元为x与中的z，以及中的y 17设A=1,2,1,2，B=1,2,1,2，试计算（1）（A-B）； （2）（AB）； （3）AB（1）A-B =1,2 （2）AB =1,2 （3）AB=，, 18设G=，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) ，试（1）给出G的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形1）G的图形表示为： （2）邻接矩阵： （3）v1，v2，v3，v4，v5结点的度数依次为1，2，4，3，2 （4）补图如下：16试求出（PQ）R的析取范式，合取范式，主合取范式（PQ）R(PQ)R (PQ)R（析取范式） (PR) (QR)（合取范式） (PR)(QQ) (QR)(PP) (PRQ)(PRQ) (QRP)(QRP) (PQR)(PQR) (PQR) （主合取范式） 17设A=a, b, 1, 2，B= a, b, 1, 1，试计算（1）（A-B） （2）（AB） （3）（AB）-（AB）（1）（A-B）=a, b, 2 （2）（AB）=a, b, 1, 2, a, b, 1 （3）（AB）-（AB）=a, b, 2, a, b, 1 18图G=，其中V= a, b, c, d, e，E= (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) ，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形； （2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值（1）G的图形表示为： （2）邻接矩阵： （3）粗线表示最小的生成树， 权为7： 15求（PQ）（RQ）的合取范式（PQ）（RQ） （PQ）（RQ） (PQ)（RQ） (PRQ)(QRQ)(PRQ) R 合取范式 16设A=0，1，2，3，4，R=|xA，yA且x+y0，S=|xA，yA且x+y3，试求R，S，RS，R-1，S-1，r(R)R=, S=, RS=， R-1=， S-1= S， r(R)=IA oooo （10分）权为13+23+22+32+42=27 （12分）ooooo122334751217画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权 权为13+23+22+32+42=27 15求（PQ）R的析取范式与合取范式（PQ）R （PQ）R (PQ)R （析取范式） (PR)(QR) （合取范式） 16设A=0，1，2，3，R=|xA，yA且x+y0，S=|xA，yA且x+y2，试求R，S，RS，S -1，r(R)R=, S=, RS=， S -1= S， r(R)=IA=, 17画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权最优二叉树如图三所示ooooooooo1223347512 图三权为13+23+22+32+42=27 15设谓词公式，试（1）写出量词的辖域； （2）指出该公式的自由变元和约束变元（1）$x量词的辖域为， z量词的辖域为, （2）自由变元为中的y， 约束变元为x与z 16设集合A=1,1,2，B=1,1,2，试计算（1）（A-B）； （2）（AB）； （3）AB（1）A-B =1,2 （2）AB =1 （3）AB=， 17设G=，V= v1，v2，v3，v4 ，E= (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4) ，试（1）给出G的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形（1）G的图形表示为(如图三)： （2）邻接矩阵： （3）v1，v2，v3，v4结点的度数依次为1，2，3，2 （4）补图如图四所示： 21化简下列集合表示式： = = = 设E为全集 = = = = A 22设，求，并画出其图像 = = 的图像如下图1所示的阴影部分 图1 图2 = = 的图像如上图2所示的阴影部分 23设G=，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) ，试： 给出G的图形表示； 画出其补图的图形 G的图形表示见图3； G的补图的图形，见图4 图3 图4 24构造权为2，3，4，4，5，5，7的最优树。最优树如下图5所示21设A，B和C是全集E的子集，化简下列集合表示式： = = = = = 22设A1,2,3，用列举法给出A上的恒等关系IA，全关系EA，A上的小于关系 及其逆关系和关系矩阵. LA的逆关系 . 23图G=，其图形如右图1所示。 写出G的邻接矩阵； 画出G的权最小的生成树以及计算出其权值 G的邻接矩阵为： G的权最小的生成树如右上图1所示 最小的生成树的权为：1+1+5+2+3=12 六、证明题（本题共8分）19试证明（$x）（P（x）R（x） （$x）P（x）（$x）R（x）证明： （1）（$x）（P（x）R（x） P （2）P（a）R（a） ES(1) （3）P（a） T(2)I （4）（$x）P（x） EG(3) （5）R（a） T(2)I （6）（$x）R（x） EG(5) （7）（$x）P（x）（$x）R（x） T(5)(6)I 19试证明集合等式A (BC)=(AB) (AC) 证明：设S= A