中考专项复习锐角三角函数.ppt

第二十三讲锐角三角函数 一 三角函数的定义在Rt ABC中 C 90 A B C的对边分别为a b c 则sinA cosA tanA 二 特殊角的三角函数值 1 三 直角三角形中的边角关系1 三边之间的关系 2 两锐角之间的关系 3 边角之间的关系 sinA cosB sinB cosA tanA tanB a2 b2 c2 A B 90 四 解直角三角形的应用1 仰角和俯角 如图1 在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角 视线在水平线 的叫做仰角 在水平线 的叫做俯角 上方 下方 2 坡度 坡比 和坡角 如图2 通常把坡面的铅直高度h和 之比叫做坡度 或叫做坡比 用字母 表示 即i 坡面与 的夹角叫做坡角 记作 所以i tan 水平宽度l i 水平面 3 方位角 指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90 的角叫做方位角 自我诊断 打 或 1 锐角三角函数是一个比值 2 直角三角形各边长扩大3倍 其正弦值也扩大3倍 3 由cos 得锐角 60 4 锐角 的正弦值随角度的增大而增大 5 锐角 的余弦值随角度的增大而增大 6 坡比是坡面的水平宽度与铅直高度之比 7 解直角三角形时 必须有一个条件是边 考点一求三角函数值 例1 2017 怀化中考 如图 在平面直角坐标系中 点A的坐标为 3 4 那么sin 的值是 世纪金榜导学号16104353 思路点拨 作AB x轴于点B 先利用勾股定理计算出OA 5 然后在Rt AOB中利用正弦的定义求解 自主解答 选C 作AB x轴于点B 如图 点A的坐标为 3 4 OB 3 AB 4 OA 5 在Rt AOB中 sin 名师点津 根据定义求三角函数值的方法 1 分清直角三角形中的斜边与直角边 2 正确地表示出直角三角形的三边长 常设某条直角边长为k 有时也可以设为1 在求三角函数值的过程中约去k 3 正确应用勾股定理求第三条边长 4 应用锐角三角函数定义 求出三角函数值 5 求一个角的三角函数值时 若不易直接求出 也可把这个角转化成和它相等且位于直角三角形中的角 题组过关 1 2017 湖州中考 如图 已知在Rt ABC中 C 90 AB 5 BC 3 则cosB的值是 2 2017 金华中考 在Rt ABC中 C 90 AB 5 BC 3 则tanA的值是 解析 选A 在Rt ABC中 根据勾股定理 得AC 再根据正切的定义 得tanA 3 2017 滨州中考 如图 在 ABC中 AC BC ABC 30 点D是CB延长线上的一点 且BD BA 则tan DAC的值为世纪金榜导学号16104354 解析 选A 设AC a 则AB a sin30 2a BC a tan30 a BD AB 2a tan DAC 4 2017 泸州中考 如图 在矩形ABCD中 点E是边BC的中点 AE BD 垂足为F 则tan BDE的值是 解析 选A 四边形ABCD是矩形 AD BC AD BC 点E是边BC的中点 BE BC AD BEF DAF EF AF EF AE 点E是边BC的中点 由矩形的对称性得 AE DE EF DE 设EF x 则DE 3x DF tan BDE 考点二特殊锐角三角函数值的应用 例2 已知 均为锐角 且满足 0 则 思路点拨 根据非负数的性质求出sin tan 的值 然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数 进一步求和 自主解答 0 sin tan 1 又 均为锐角 30 45 则 30 45 75 答案 75 名师点津 熟记特殊角的三角函数值的两种方法 1 按值的变化 30 45 60 角的正余弦的分母都是2 正弦的分子分别是1 余弦的分子分别是1 正切分别是 2 特殊值法 在直角三角形中 设30 角所对的直角边为1 那么三边长分别为1 2 在直角三角形中 设45 角所对的直角边为1 那么三边长分别为1 1 题组过关 1 2017 天津中考 cos60 的值等于 解析 选D 由特殊角的三角函数值得cos60 2 2016 无锡中考 sin30 的值为 解析 选A sin30 3 2017 六盘水中考 三角形的两边a b的夹角为60 且满足方程x2 3x 4 0 则第三边长的长是 世纪金榜导学号16104355 解析 选A 解方程x2 3x 4 0 得x1 2 x2 假设a 2 b 如图所示 在直角三角形ACD中 CD cos60 DB 2 AD sin60 AB 4 2015 庆阳中考 在 ABC中 若角A B满足 1 tanB 2 0 则 C的大小是 A 45 B 60 C 75 D 105 解析 选D 由题意得 cosA tanB 1 则 A 30 B 45 则 C 180 30 45 105 考点三解直角三角形 例3 2016 连云港中考 如图 在 ABC中 C 150 AC 4 tanB 世纪金榜导学号16104356 1 求BC的长 2 利用此图形求tan15 的值 精确到0 1 参考数据 1 4 1 7 2 2 思路点拨 1 过点A作AD BC交BC的延长线于D 由 ACB的度数 ACD的度数 AC 4 AD的长 CD的长 tanB BD的长 BC的长 2 在BC边上取M 使CM AC 连接AM AMC MAC 15 tan15 化简 得结论 自主解答 1 过A作AD BC 交BC的延长线于点D 如图1所示 在Rt ADC中 AC 4 ACB 150 ACD 30 AD AC 2 CD AC cos30 4 在Rt ABD中 tanB BD 16 BC BD CD 16 2 在BC边上取一点M 使得CM AC 连接AM 如图2所示 ACB 150 AMC MAC 15 tan15 tan AMD 0 27 0 3 名师点津 解直角三角形的类型及方法 1 已知斜边和一个锐角 如c A 其解法 B 90 A a csinA b ccosA 或b 2 已知一直角边和一个锐角 如a A 其解法 B 90 A c b 或b 3 已知斜边和一直角边 如c a 其解法 b 由sinA 求出 A B 90 A 4 已知两条直角边a和b 其解法 c 由tanA 得 A B 90 A 题组过关 1 2017 烟台中考 在Rt ABC中 C 90 AB 2 BC 则sin 解析 在Rt ABC中 C 90 AB 2 BC sinA A 60 sin 答案 2 2017 广州中考 如图 Rt ABC中 C 90 BC 15 tanA 则AB 世纪金榜导学号16104357 解析 因为BC 15 tanA 所以AC 8 由勾股定理得 AB 17 答案 17 3 2016 上海中考 如图 在Rt ABC中 ACB 90 AC BC 3 点D在边AC上 且AD 2CD DE AB 垂足为点E 连接CE 求 世纪金榜导学号16104358 1 线段BE的长 2 ECB的余切值 解析 1 AD 2CD AC 3 AD 2 在Rt ABC中 ACB 90 AC BC 3 A 45 AB DE AB AED 90 ADE A 45 AE AD cos45 BE AB AE 2 即线段BE的长是2 2 过点E作EH BC 垂足为点H 在Rt BEH中 EHB 90 B 45 EH BH EB cos45 2 又BC 3 CH 1 在Rt ECH中 cot ECB 即 ECB的余切值是 考点四解直角三角形的应用 考情分析 利用解直角三角形解决实际问题是各地中考的热点 这一类题的题型通常以解答题为主 利用直角三角形求物体的高度 宽度 解决航海问题等 命题角度1 利用直角三角形解决和高度 或宽度 有关的问题 例4 2017 鄂州中考 小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度 他从食堂楼底M处出发 向前走3米到达A处 测得树顶端E的仰角为30 他又继续走下台阶到达C处 测得树的顶端E的仰角是60 再继续向前走到大树底D处 测得食堂楼顶N的仰角为45 已知A点离地面的高度AB 2米 BCA 30 且B C D三点在同一直线上 1 求树DE的高度 2 求食堂MN的高度 思路点拨 1 先在 ABC中求AC的长 再求出 ACE 90 在 ACE中求CE的长 最后在 CDE中求DE的长 2 延长NM交BC于点G 先求GB BC CD的长 得到GD的长 再在 DNG中求NG的长 最后求MN的长 自主解答 1 由题意 得AF BC FAC BCA 30 EAC EAF CAF 30 30 60 ACE 180 BCA DCE 180 30 60 90 AEC 180 EAC ACE 180 60 90 30 在Rt ABC中 BCA 30 AB 2 AC 2AB 4 在Rt ACE中 AEC 30 AC 4 EC AC 4 在Rt CDE中 sin ECD ECD 60 EC 4 sin60 ED 4sin60 4 6 米 答 树DE的高度为6米 2 延长NM交BC于点G 则GB MA 3 在Rt ABC中 AB 2 AC 4 BC 在Rt CDE中 CE 4 DE 6 CD GD GB BC CD 在Rt GDN中 NDG 45 NG GD 3 4 MN NG MG NG AB 3 4 2 1 4 米 答 食堂MN的高度为 1 4 米 命题角度2 利用直角三角形解决航海问题 例5 2017 十堰中考 如图 海中有一小岛A 它周围8海里内有暗礁 渔船跟踪鱼群由西向东航行 在B点测得小岛A在北偏东60 方向上 航行12海里到达D点 这时测得小岛A在北偏东30 方向上 如果渔船不改变航线继续向东航行 有没有触礁的危险 思路点拨 作AC BD于点C 设AC x海里 由三角函数计算BC CD的长 进而求得AC的长 通过比较AC的长度与8海里的大小关系进行作答 自主解答 作AC BD于C 由题意知 ABC 30 ADC 60 设AC x海里 则BC x海里 DC x海里 因为BC CD x x 12 所以x 6海里 因为6 8 所以渔船不改变航线继续向东航行 没有触礁的危险 命题角度3 利用直角三角形解决坡度问题 例6 2017 达州中考 如图 信号塔PQ座落在坡度i 1 2的山坡上 其正前方直立着一警示牌 当太阳光线与水平线成60 角时 测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2米 落在警示牌上的影子MN长为3米 求信号塔PQ的高 结果不取近似值 世纪金榜导学号16104359 思路点拨 过点M作MF PQ于点F 过点Q作QE MN于点E 分别解Rt QEN和Rt MFP 求出EN PF即可求出PQ的高 自主解答 过点M作MF PQ于点F 过点Q作QE MN于点E i 1 2 设EN k QE 2k 由勾股定理可得QN k 2 EN 2 FM QE 4 FQ ME MN NE 3 2 1 在Rt PFM中 FPM 180 90 60 30 PMF 60 PF FM tan60 4 PQ FQ PF 1 4 米 答 信号塔PQ的高为 1 4 米 名师点津 解决解直角三角形的实际问题 有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来 再根据以下方法和步骤解决 1 根据题目中的已知条件 将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题 画出平面几何图形 弄清已知条件中各量之间的关系 2 若三角形是直角三角形 根据边角关系进行计算 若三角形不是直角三角形 可通过添加辅助线构造直角三角形来解决 解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型 正确画出图形找准三角形 题组过关 1 2017 温州中考 如图 一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶13米 已知cos 则小车上升的高度是 A 5米B 6米C 6 5米D 12米 解析 选A 在直角三角形中 小车水平行驶的距离为13 cos 12米 则由勾股定理得到其上升的高度为 5 米 2 2017 烟台中考 如图 数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度 在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45 向前走20米到达A 处 测得点D的仰角为67 5 已知测倾器AB的高度为1 6米 则楼房CD的高度约为 结果精确到0 1米 1 414 A 34 14米B 34 1米C 35 7米D 35 74米 解析 选C 设BB 交DC于点C 则 BB BC B C 解得DC 34 14 DC 34 14 1 6 35 7 3 2017 山西中考 如图 创新小组要测量公园内一棵树的高度AB 其中一名小组成员站在距离树10米的点E处 测得树顶A的仰角为54 已知测角仪的架高CE 1 5米 则这棵树的高度为 米 结果保留一位小数 参考数据 sin54 0 8090 cos54 0 5878 tan54 1 3764 世纪金榜导学号16104360 解析 由题知BD CE 1 5 在Rt ADC中 由锐角三角函数可得AD CDtan ACD 10tan54 10 1 3764 13 764 所以AB AD BD 13 764 1 5 15 264 15 3 答案 15 3 4 2017 天津中考 如图 一艘海轮位于灯塔P的北偏东64 方向 距离灯塔120海里的A处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于