用定积分的定义或几何意义求下列定积分的值.doc

习题五(A)1、用定积分的定义或几何意义求下列定积分的值：(1) 解 将区间分成等份，得，取 作和 于是 由于在上连续故积分是存在的，且它与分法无关，同时也与点的取法无关。因此上述和的极限就是所求的积分值(下例如无特殊情况，不再说明) 即定积分 (2) 解 将区间等分，得，取 ，作和 于是由于是的一个子列，利用洛必达法则，可得，因此即：(3) 解 被积函数在区间上积分，在几何意义上表示为单位圆在第一象限上积分，即阴影部分面积，如图5-1所示,由于整个单元圆面积为，因此阴影部分面积为即 (4) 解 将区间分成等分，得，取 作和 于是 ， 即。2、不计算积分，比较下列各组积分值的大小： (1) 解 在上，由性质5，得 (2) 解 在上，由性质5，得 (3) 解 在上，,由性质5，得 (4) 解 在上，由性质5，得 3、判断下列函数在给定区间上是否可积：(1) 解 由于=在上连续(初等函数在其定义域内连续)，所以 在上可积(2) 解 由于，也即在区间-10,10上有界，且只有一个间断点，所以 在上可积。(3) 解 在无定义，则在上无界，所以在上不可积。4、定积分的性质估计下列定积分的值：(1) 解 由于在区间上的最大值和最小值分别为18,11，所以1111(2) 解 由于在区间上的最大值和最小值分别为，所以5求下列函数的导数：(1) 解 由于函数在区间上连续，所以由定理5.1得 (2)解 由于函数，在区间上连续，所以由定理5.1得(3) 解 由定积分性质3得于是： (4) 解 (5) 解 = 6计算下列定积分：(1) 解 (2)解 =- (3)解 (4)解 令1+，则于是 (5)解 (6)解 (7) 解 (8) 解 = (9) 解 (10) 解 7计算下列定积分：(1) 解 令,则 (2) 解 (3) 解 = (4) 解 令，则(5) 解 ，令,则原式= .或另解为：原式(6) 解 令，则.原式 (7 解 令，则上式 (8)解 令，则 上式 (9) 解 (10)解 8计算下列定积分：(1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 原式 (7) 解 令，即，则原式 (8) (解 (9)解 (10)解 令，则上式= 或另解为：令 则9、求下列极限(1) 解 由洛必达法则可知 原式 (2) 解 由洛必达法则可知原式= (3) 解 由洛必达法则可知，原式利用极限 ，可知上式=。10设函数在上连续，在内可导并且，试证明函数在是不减的。证明 由已知条件，于是知在上递增，由此得，因此函数在是不减的。11求下列平面图形的面积：(1) 曲线与直线，围成的图形。解 先求出曲线与直线的两交点：，曲线与直线围成的图形如图5-2所示。取横坐标为积分变量，它的变化区间为，在区间上求定积分，得所求面积为： (2) 曲线与直线，围成的图形。解 先求出曲线与直线的两交点，曲线与直线围成的图形如图5-3所示。取横坐标为积分变量，它的变化区间为，在区间上求定积分，得所求面积为： (3) 曲线与直线。解 先求出曲线与直线交点，解 方程组：得交点，曲线与直线围成的图形如图5-4所示。由对称性，得所求面积(4) 曲线与直线，围成的图形。解 求出曲线与直线的交点，曲线与直线围成的图形如图5-5所示。所求面积为：(5) 曲线与曲线围成的图形。解 先求出曲线与直线的交点，解方程组：得两交点，曲线与直线围成的图形如图5-6所示。所求面积(6) 曲线及其在点处的切线与直线围成的图形。解 曲线及其在点处的切线方程为。曲线与直线围成的图形如图5-7。取纵坐标为积分变量，它的变化区间为，在区间上求定积分，得所求面积为： (7) 曲线及围成的图形。解 先求出曲线与的交点，解方程组：得两交点，曲线与围成的图形如图5-8所示。容易看出，图形关于轴对称。所求面积(8) 曲线,与直线。解 曲线,与直线围成的图形如图5-9所示。所求面积为：。(9)曲线与直线及。解 曲线()与直及围成的图形如图5-10所示。取纵坐标为积分变量，它的变化区间为，在区间上求定积分，得所求面积为： (10) 圆与曲线。解 先求出曲线与圆的交点，解 方程组：得两交点，曲线与圆围成的图形如图5-11所示。容易看出，图形关于轴对称。所求面积为：。12求下列旋转体的体积：(1)直线与曲线围成的图形绕轴旋转所产生的立体。解 直线与曲线围成的图形如图5-12所示。所求体积为：(2)曲线与直线围成的图形绕轴旋转所产生的立体。解 曲线与直线围成的图形如图5-13所示。所求体积为：(3)曲线与射线围成的图形绕轴旋转所产生的立体。解 曲线与射线围成的图形如图所示。所求体积为：13已知销售某种产品件的边际收益是（元/件），求：(1)销售1000件该产品时的总收益；(2)销售500件该产品时，每件产品的平均收益。解 （1） 于是销售1000件该产品时的总收益为：(元)。 （2）(元)，此时每件产品的平均收益为40元。14某药厂生产某种药品千克时的边际成本为（万元/千克），又固定成本万元，试求总成本函数。解 =15已知生产某产品个单位时的边际成本为,固定成本为10，假设产品能够全部售出，且售出后边际收益为。求：(1)生产30个单位产品时的总成本.总收益及利润。(2)生产多少个单位时利润最大？此时最大利润是多少？解 (1) 总成本函数：= 总收益函数：总利润函数：易知生产30个单位产品时的总成本、总收益及利润分别为：305.5、351及45.5。16判断下列广义积分是否收敛，若收敛，求其值。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1) 收敛。 (2) 发散。(3)发散。 (4) 收敛。 (5) 收敛。 (6) 收敛。17求下列各值： (1) (2) (3) (4) 解 (1) (2) (3) (4) 令,则有 (B)一、单项选择题：1略。 2利用洛必达法则。 3略。4定积分中的被积函数为奇函数，且积分区间关于原点对称，因此其值为零。