西南交大数值分析题库插值拟合.doc

题库分类填空题1. 绪论部分(1). 设x=3.214, y=3.213，欲计算u=, 请给出一个精度较高的算式u= . u=(2). 设y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分别为x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作为y的近似值,其绝对误差限的估计式为: e | |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|(3). 要使的近似值的相对误差限0.1%, 应至少取_位有效数字？0.410, a1=4, er10-(n-1) 0.1%故可取n4, 即4位有效数字。(4). 要使的近似值的相对误差限0.1%, 应至少取_位有效数字？0.410, a1=4, er10-(n-1) 0.1%故可取n3.097, 即4位有效数字。(5). 对于积分In=e-1xnexdx试给出一种数值稳定的递推公式_。In-1=(1-In)/n , In0易知 I0=1-e-1In=1-nIn-1 故In-1=(1-In)/n0k时，差商f x, x1,xn0，当nk时，该差商是k-n次多项式。证明：因注意到nk时， f(n)(x)=0，n=k时， f(n)(x)=k!ak，ak为f(x)的k次项系数。(7f)nk-1 由差分定义递推,查n=k-1,k-2, (3f)ok!(6). (c10分)设g(x)和h(x)分别是f(x)关于互异节点x1, xn-1以及互异节点x2, xn的插值多项式，试用g(x)和h(x)表示f(x)关于互异节点x1, xn的插值多项式.解：令q(x)=Ag(x)(x-xn)+Bh(x)(x-x1)为待定n次多项式，A,B为待定系数，注意到g(xk)=f(xk), k=1,n-1h(xk)=f(xk), k=2,n -(7f)带入得A=1/x1-xn,B=1/xn-x1,带入ok!(7). (a10f)设lk(x)是关于互异节点x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函数，证明(1) m=0,1,n(2) 0 m=1,2,n证明：由插值唯一性定理知(1)。展开知（2）(8). (a10f)证明对于不超过k次的多项式p(x)有 knlk(x)是关于互异节点x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函数证明：由插值唯一性定理知。(9). (a10f)设p(x)是任意首次项系数为1的n+1次多项式，lk(x)是关于互异节点x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函数证明 其中证明：插值余项直接计算ok!(10). (a10f)已知函数y=f(x)在点x0的某邻域内有n阶连续导数，记xk=x0+kh (k=1,2,n), 证明证明：因 x(x0,x0+nh)注意到n阶导数连续性，两边取极限ok!(11). (c10f)用等节距分段二次插值函数在区间0,1上近似函数ex, 如何估算节点数目使插值误差10-6 .解：考虑子区间xi-1,xi二次插值余项令x=xi+1/2+s(h/2)上式化简为令 得h0.028413故子区间个数为N=2/h70.4, 取N=71故插值节点数为2N+1=143 (12). (b10分)设f(x) 在区间a,b上有二阶连续导数，P1(x)为其以a,b为节点的一次插值多项式，证明证明：利用插值余项结果可得线性插值多项式P1(x)在子区间a,b上的余项估计式，再估计最值ok!(13). (b10分)已知s(x)是0,2上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定s(x)=中的参数b,c,d解：利用边界条件s/(2-0)=0 及样条函数定义可得b=-1,c=-3,d=1(14). (b10分)判断下面2个函数是否是-1,1上以0为内节点的三次样条函数。设(1) S(x)=(2) S(x)= 解：(1)是，(2)否。(15). (a10f)令f(x)=x7+ x4+3x+1求f20, 21,27及f20, 21,28解：f20, 21,27=1f20, 21,28=0(16). (a10f)证明n阶均差有下列性质：(1) 若F(x)=cf(x), 则Fx0, x1,xn=c fx0, x1,xn(2) 若F(x)=f(x)+g(x), 则Fx0, x1,xn= fx0, x1,xn+ gx0, x1,xn证明：其中，ak=ok!(17). (a10f)回答下列问题：（1）什么叫样条函数？（2）确定n+1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要多少？（3） 三转角法中参数mi的数学意义是什么？答：（1）略（2）4n个（3） mi=S/(xi) 即样条函数在节点xi处的一阶导数。(18). (a10f)回答下列问题：（1）何谓Hermite 插值问题？（2）Hermite 插值与一般多项式插值有什么区别？第 2 章 拟合(1). 采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的 (9) 问题.(2). 在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数. 在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (11) 范数. 无穷范数 |f|；2-范数(3).3. 计算题(1). (b10f)设f(x)-a,a的最佳一致逼近多项式为P(x),试证明(1) f(x)是偶函数时P(x)也是偶函数；(2) f(x)是奇函数时P(x) 也是奇函数。证明：（1）令t=-x, 考查|f(x)-P(x)|= |f(-t)-P(-t)|= |f(t)-P(-t)|, 故P(-x)也是f(x)-a,a的最佳一致逼近多项式，由最佳一致逼近多项式的唯一性知P(-x)=P(x).（2）略。(2). (a10f)试确定0,1区间上2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x), 该多项式唯一否？解： p(x)=(3/2)x, 唯一。(3). 求f(x)=2x3+x2+2x-1在-1,1上的最佳二次逼近多项式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T1(x)=cosq=xT2(x)=cos2q=2x2-1T3(x)=cos3q=4x3-3xT4(x)=cos4q=8x4-8x2+1解: f(x)=2x3+x2+2x-1-P(x)=2.T3(x)= T3(x)故P(x)= f(x)-T3(x)= 2x3+x2+2x-1-2 x3+3x = x2+x-1(4). 求f(x)=2x4在-1,1上的3次最佳一致逼近多项式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T1(x)=cosq=xT2(x)=cos2q=2x2-1T3(x)=cos3q=4x3-3xT4(x)=cos4q=8x4-8x2+1解：P(x)= 2x2-1/4(5). 求f(x)=2x4在0,2上的3次最佳一致逼近多项式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T1(x)=cosq=xT2(x)=cos2q=2x2-1T3(x)=cos3q=4x3-3xT4(x)=cos4q=8x4-8x2+1解：令x=t+1, t-1,1, f(x)=g(t)=(t+1)4故g(t)的3次最佳一致逼近多项式为P3(t)=4t3+7t2+4t+7/8故f(x)的3次最佳一致逼近多项式为P(x)=P3(x-1)= 4x3-5x2+2x-1/8(6). 设f(x)Ca,b, ,证明f(x)的最佳零次一致逼近函数为s(x)=(M+m)/2 ,其中M和m分别为f(x)在a,b上的最大与最小值。(7). 证明a,b上的正交函数系H=h1(x), h2(x), hm(x)是线性无关的函数系。证：写出线性组合式子 2分作内积求系数2分(8). （10分）求f(x)=lnx ,x1,2上的二次最佳平方逼近多项式的法(正规)方程组。（要求精确表示，即不使用小数）解：取F=span1,x,x2,a,b=1,2 法方程组为 计算知解之得：a0=-1.142989, a1=1.382756,a2=-0.233507最佳平方逼近多项式为P2(x)=-1.42+1.38x-0.233x2平方误差为|f-P2|22=(f,f)-a0(f,j0) a1(f,j1) a2(f,j2)0.410-5 (9). 设f(x)在有限维内积空间Fspanj0,jn上的最佳平方逼近为p(x),试证明，f(x)-p(x)与F中所有函数正交。证明：查(f(x)-p(x), jj)=(f, jj)- (p(x), jj)注意到ak是法方程组的解。而法方程组两边的j-th 分量为 (jj,j0) (jj,j1) (jj,jn) =(p(x), jj)ok!(10). 设是在空间Fspanj0,jn中对f(x)Ca,b的最佳平方逼近,证明：(f-p, f-p)=(f,f)- 证：注意到ak是法方程组的解。而法方程组故k=1,n, (f(x)-p(x), jk)=0, -(5分)(p-f),p)=0 -(5分)(f-p, f-p)=(f,f)-2(f,p)+(p,p)=(f,f)-(f,p)+(p-f),p)=(f,f)-(f,p) -(5分)(11). 求下列矛盾方程组的最小二乘解解：x1=-29/12, x2=-39/12写出相应的法方程组ATAx=ATb 5分求解x1=-29/12, x2=-39/12 5分(12). 推导用最小二乘法解矛盾方程组Ax=b 的法方程组ATAx=ATb解：给出目标函数h (x)=|Ax-b|2 -5=xTATAx-2xTATb+bTb -5求偏导得到驻点方程组ATAx-ATb=0 -5(13). 证明：j0,jn为点集ximi=1上的线性无关族法方程GTGa=GTy有唯一解。其中证：充分性）。首先注意到若a0,a1,.,an为方程组a0j0+a1j1+anjn=0 （9）的解，则必为方程组(j0,j0) a0+ (j1,j0)a1 +(jn,j0)an=0(j0,j1) a0+ (j1,j1)a1 +(jn,j1)an=0.(j0,jn) a0+ (j1,jn)a1 +(jn,jn)an=0(10)的解。事实上，令j0, j1,jn 分别与(9)两端作内积得(10)，知也！设|GTG|0（10）仅有0解(9) 也仅有0解故j0,jn无关。证必要性）。 j0,jn无关 (9)仅有0解 即 a =(a0,a1,.,an)0Ga0aTGTGa=(Ga)T(Ga)=|Ga|220GTG正定|GTG|0|GTG|0.(14). 若j0(x), j1(x), jn(x)是点集x1,x2,xm上的离散正交族。为给定数据对(xi,yi) (i =1,2,m)的最小二乘拟和函数。证明：证：法方程系数矩阵为QTQ= 此时法方程为故(15). 若j0(x), j1(x), jn(x)是a,b上的正交族。为f(x)的最佳平方逼近。证明：证：法方程系数矩阵为QTQ= 此时法方程为故(16). 求函数f(x)=|x| 在-1,1上求关于函数族span1,x2,x4的最佳平方逼近多项式。解：由内积(f,g)= , 令j0=1，j1=x2, j2=x4, 计算知法方程得 解之得：a0=15/185=0.117a1=105/64=1.64a2=-105/128=-0.820最佳平方逼近多项式为: 0.117+1.64x2-0.820x4(17). 求函数f(x)= 在1,3上求关于函数族span1,x的最佳平方逼近多项式。解：由内积(f,g)= , 令j0=1，j1=x, 计算法方程得解之得：a0=(13/2)ln3-6=1.14a1=3-3ln3=0.295最佳平方逼近多项式为: 1.14-0.295x(18). 求a,b,c的值，使达到最小解：就是求f(x)=sinx关于函数族span1,x,x2 在0,p上的最佳平方逼近。由内积(f,g)= , 令j0=1，j1=x, j2=x2 计算知法方程为解之得：a0=-14/p, a1=72/p2, a2=-60/p3(19). 求a,b,c的值，使达到最小解：由唯一性知，a=0,b=0,c=3(20). 什么是非线性最小二乘拟合问题？(21). 回答下列问题：（1） 求解线性最小二乘问题遇到的主要困难是什么？（2） 用离散正交多项式进行拟合的主要优点是什么？(22). 回答下列问题：（1） 什么叫最佳多项式平方逼近？（2） 什么叫最佳多项式一致逼近？(23). 回答下列问题：（1） 最佳平方逼近多项式与最小二乘拟合多项式在计算方法上有何相似之处？（2） 二者区别是什么？(24).5. 数值积分6. 微分方程数值解答案 (2). (3). 插值节点函数值相等最小二乘拟和乃综合偏差最小。(4). 法方程组病态(5). (6). (7). 3(8). (9). -17/4正误题(1). ( ) 线性方程