2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.5距离（选学）学案新人教B版.docx

32.5距离(选学)学 习 目 标核 心 素 养1.掌握向量长度计算公式(重点)2.会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距和面到面的距离(重点、难点)通过学习空间距离的求解，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离2点到平面的距离(1)连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中，垂线段最短(2)一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离3直线与它的平行平面的距离(1)如果一条直线平行于平面，则直线上的各点到平面所作的垂线段相等，即各点到的距离相等(2)一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离4两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段(2)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离思考：线面距、面面距与点面距有什么关系？提示1在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2,3,6，则点M到顶点P的距离是()A7B8C9D10A以P为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP|7.2设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于()A. B.C. D.CM点坐标为，|MC|.3已知平面的一个法向量n(2，2,1)，点A(1,3,0)在内，则P(2,1,4)到的距离为()A10 B3C. D.D(1，2,4)，d.空间两点间的距离【例1】如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a)(1)求MN的长(2)a为何值时，MN的长最小？思路探究建立坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求解解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)因为CMBNa(0a)，且四边形ABCD，ABEF为正方形，所以M，N，所以，所以|.(2)由(1)知MN，所以，当a时，MN.即当a时，MN的长最小，最小值为.计算两点间的距离的两种方法(1)利用|a|2aa，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用|AB|求解(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时1如图所示，在120的二面角AB中，AC，BD且ACAB，BDAB，垂足分别为A，B，已知ACABBD6，试求线段CD的长解ACAB，BDAB，0，0，又二面角AB的平面角为120，60，|CD|2|2()22222()362262cos 60144，CD12.点到直线的距离探究问题1如何理解与认识点到直线的距离？提示点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题(1)点在直线上时，点到直线的距离为0.(2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离即点到直线的距离可转化为两点间的距离2如何用向量法求点到直线的距离？提示设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，向量在向量s上的射影的大小为|s0|，则点A到直线l的距离d.【例2】已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AA11，AB4，BC3，ABC90，求点B到直线A1C1的距离思路探究建立坐标系，利用向量法求解解以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线A1C1的方向向量为(4,3,0)，而(0,3,1)，所以点B到直线A1C1的距离d.1(改变问法)本例条件不变，所求问题改为：若M，N分别是A1B1，AC的中点，试求点C1到MN的距离解如本例解法建系(图略)则M(2,0,1)，N，C1(0,3,1)，所以直线MN的方向向量为，(2,3,0)，所以在上的投影为，所以C1到MN的距离为d.2(变换条件)若将本例中的条件改为“正三棱柱ABCA1B1C1且所有棱长均为2”，如何求B到A1C1的距离解以B为原点，分别以BA，过B垂直于BA的直线，BB1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A1(2,0,2)，C1(1，2)，所以A1C1的方向向量(1，0)，而(1，2)，所以点B到直线A1C1的距离为d.用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段；(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点；(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算的准确性.点到平面的距离【例3】如图所示，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离思路探究本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求解解法一：设点A到平面A1BD的距离为h，则VBAA1Daaaa3，VAA1BDh(a)2a2h，VAA1BDVBAA1D，ha，点A到平面A1BD的距离为a.法二：如图所示，建立空间直角坐标系B1 xyz，则A1(a,0,0)，A(a,0，a)，D(a，a，a)，B(0,0，a)，则(a，a,0)，(0，a，a)，(a,0,0)设平面A1BD的一个法向量n(x，y，z)，则即令y1，则xz1，n(1，1,1)n(a,0,0)(1，1,1)a.点A到平面A1BD的距离da.用向量法求点面距的方法与步骤(1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；(2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；(3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n；(4)得答案：代入公式d求得答案.提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量.2如图所示，已知ABC是以B为直角的直角三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求点A到平面SND的距离解建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(1,4,0)，(0，2,2)，(1,4，2)设平面SND的法向量为n(x，y,1)n0，n0，n(2,1,1)，(0,0,2)点A到平面SND的距离为.1思考辨析(1)可以用|2，求空间两点A、B的距离()(2)设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到的距离为d.()(3)若直线l与平面平行，直线l上任意一点与平面内任意一点的距离就是直线l与平面的距离()提示(1)(2)(3)直线上任意一点到平面的垂线段的长度2已知平面的一个法向量n(2，2,1)，点A(x,3,0)在平面内，则点P(2,1,4)到平面的距离为，则x()A1B11C1或11 D21C(x2,2，4)，而d，即，解得x1或11.3若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B1 C.D.D如图，A1C1平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与平面ABCD所成的角是60，AB1.BB1.即点A1到平面ABCD的距离为.4在RtABC中，C3