毕业设计（论文）-四角链的MerrifieldSimmons指标.doc

陕西理工学院毕业论文四角链的指标（陕西理工学院数学与计算机科学学院，数学与应用数学1101班，陕西 汉中723000）指导老师：摘要由若干个单位正方形序列且任意相邻两个正方形之间是由p1连接构成的连通图我们称为四角链.本文通过构造一类特殊的四角链，即由个单位正方形序列且任意相邻两个正方形之间是由p2连接构成的四角链在两种不同构联接位下的指标，并给出了具体表达式及其证明过程.关键词四角链; 指标; 数1. 预备知识图论这门古老的学科作为应用数学的一个分支有着非常广泛的应用. 我们通过图论中的匹配数以及化学图论的拓扑指数理论，可以推导出四角链的指标. 指标是化学图论中非常重要的指标，该指标与烷烃的物理化学性质，尤其是与它的沸点联系紧密. 对这些化学分子图的拓扑不变量和拓扑性质及其与化合物的物理化学性质之间的相关性的研究，从而解决一些与我们的生活和生产相关的化学问题，对于我们在预测、合成新的化合物、新的药品方面有很重要的应用.化学分子图的拓扑指数理论是组合化学的一个重要研究分支，如今，计算化学家通过大量的数据，用统计方法给出了分子的各种物理、化学性质和药物学性质.基于图的顶点间距离的拓扑指数，对刻画分子图以及建立分子结构与特征之间的关系有着重要的作用，同时被广泛用于预测化合物的物理化学性质和生物活性.随着科技飞速发展，制造业和医药领域对于新材料，新药物的需求与日俱增，为了能有目的地、快捷地合成新物质，组合化学再次成为研究的热点.分子拓扑指标具有很强的应用背景，其主要应用于以下四个方面：(1) 不同的化合物有不同的拓扑指标，因此可以通过拓扑指标来表示化合物的结构，尤其对于同分异构体的分辨具有重要的意义. (2) 通过统计学回归分析的方法，将分子的拓扑指标与分子体系的物理化学性质建立一一对应关系，其相关程度可以用标准差，相关系数等统计学方法来衡量，从而通过拓扑指标来预测分子的物理化学性质.(3) 分子的活性大小依赖于分子结构等因素，因此可通过拓扑指标来对活性的影响做定量研究.(4) 近些年来，由于生物学中研发新药的需要，分子图的拓扑指标的逆问题受到人们的重视. 人们经常需要寻找具有某种要求的化学或物理性质的需要. 也就是说，研究该问题对于有目的的合成新药具有一定的帮助.设简单图的点集和边集分别为和.为图的一条边，为图的一个顶点，我们将图删去边得到的图记为，图删去顶点及关联的边得到的图记为. 我们称为图的一个独立集，如果对任意的两个顶点都有成立，其中空集为任何图的一个独立集.本文中我们将数简记为，其满足，且. 其余文中未加说明的符号及术语参见文献1.指标是由美国化学家和于1989年在文献2中引入的化学拓扑指标. 它表示图中所有独立集的数目， 记为. 指标是化学图论中非常重要的指标，该指标与烷烃的物理化学性质，尤其是与物质的沸点有着密切的联系，对于我们在预测、合成新的化合物、新的药品方面有很重要的应用，有关的应用及部分最新研究成果参见文献2-4.关于两类四角链的匹配数与点独立集数的相关研究参见文献5. 关于-匹配和-独立集的极值四角链的相关研究参见文献6-8.关于 和指标的最大值和最小值的研究参见文献9-10. 本文研究了一类特殊的四角链，即由个单位正方形序列且任意相邻两个正方形之间由二阶路连接构成的连通图，在两种不同构联接位下的指标，并给出具体表达式及其证明过程. 定义1 我们称一个连通图为四角链，如果一个图由个单位正方形序列且任意相邻两个正方形之间由一阶路连接构成.如图a所示，用表示含有个单位正方形构成的四角链的全体. 设，一个四角链可由再联接一个单位正方形得到.每个链中的正方形有3个可联接位，但其中与接点距离相等的2个可联接位1和是同构的，所以实际上只有两种非同构的联接方式，如果 k = 1则称为1-位联接，如图a所示；如果k = 2则称为2-位联接，如图b所示.特殊情况，如果四角链中的每个单位正方形都以1-位联接的方式联接在前一个正方形上，我们简记为，如图1所示；如果四角链中的每个单位正方形都以2-位联接的方式联接在前一个正方形上，我们简记为，如图2所示.图1图2在证明主要结论之前，我们先介绍几个引理:引理11 设是一个图，对，令，则有.引理21若是图的连通分支，则有.引理31设为阶的路，则.引理41设为阶的圈，则.2.主要结论及证明关于本文构造的特殊四角链在两种非同构联接位下的指标，我们可得出以下的结论.定理2.1 对于任意的正整数，有(i)(ii)证明 如图1,图2所示，根据引理1可得： (i) 所以从而 故有 (ii) 从而 故有注： 定理2.2 对于任意的正整数，有(i)(ii)证明 (i)设，则矩阵的特征多项式为:所以矩阵A的一个特征值为矩阵A的另外一个特征值为.属于特征值的特征向量为;属于特征值的特征向量为.令;则:而 所以因此,有 故有 (ii)设，则矩阵的特征多项式为:所以矩阵A的一个特征值为 矩阵A的另外一个特征值为 属于特征值的特征向量为属于特征值的特征向量为令则: 而 .所以因此,有 故有3.小结本文主要研究了一类特殊的四角链，即由个单位正方形序列且任意相邻两个正方形之间由二阶路连接构成的连通图，在两种不同构联接位下的指标；根据前辈给出的四角链的 指标的计算过程和我们在图论中学到的图的定义以及 数来延伸推出该类特殊四角链的 指标表达式及其证明过程. 指标是化学图论中非常重要的指标，该指标与烷烃的物理化学性质，尤其是与物质的沸点联系紧密.通过对这些化学分子图的拓扑不变量和拓扑性质及其与化合物的物理化学性质之间的相关性的研究，对于我们解决一些与生活和生产相关的化学问题，以及对于我们在预测分子的物理化学性质、合成新的化合物、新的药品方面有着重要的应用. 致谢：到此，我的论文就完成了。本文经过选题，初稿，中期检查以及不断的修改，最终得以定稿；在选题以后，我查阅了大量资料，并在任老师的指导下开始进行撰稿写作，在论文写作期间我要感谢任老师给予我的悉心指导，每次遇到困难和问题老师总会细心讲解，认真指导，最终才使得我的论文顺利通过答辩并得以定稿，在此谨向任老师致以最诚挚的谢意和崇高的敬意！参考文献1 Bondy J A, Murty U S R. Graph Theory with ApplicationsM. New York; The Macmillan Press, 1976.2 Hosoya H. Topological indexJ. Bull Chem Soc Japan, 1971, 4:2 332-2339.3 Merrfield R E,Simmons H E. Topological Methods in ChemistryM. New York.Wiley, 1989.4 Gutman I, PolanskyE. Mathematical Concepts in Organic ChemistryM. Berlin.Springer, 1986.5 张莲珠. 两类四角系统的匹配数与点独立集数J. 数学研究. 999.6 Zeng Y Q,Zhang F J. Extremal polyomino chains on k-matchings and independent setsJ. Journal of Mathematical Chemistry, 2007, 42.7 Deng H YThe smallest Hosoya index in graphsJJournal of Mathematical Chemistry, 2008, 43:119-133.8 王守中,江蓉. 三角系统的匹配数与点独立集数J. 西南师范大学学报,2010,35;19-22.9 Wagner S，Gutman IMaxima and minima of the Hosoya IndexJActa Appl Math2010，12:323-346.10 Wagner S，Gutman IMaxima and minima of the Merrifield-Simmons indexJActa Appl Math2010，12:235-247.The Merrifield-Simmons index of quadrangular chainsWANG Mingming( Grade 11,Class 1101,School of mathematics and and computer sciences,Shanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shanxi)Tutor:Ren Shengzhang Abstract: Let Quadrangular chains be a connected graph that consist of several quadrangules whose two adjacent squares by ve