研究生固体物理三晶格振动与晶体的热学性质下PPT课件.ppt

3 6晶格热容 一 晶格振动对热容的贡献 在一定温度下 频率为 j的简谐振子的统计平均能量 第j个简谐振子的能量本征值 1 2 在一定温度下 晶格振动的总能量为 3 将对 j的求和改为积分 晶体的零点能 与温度有关的能量 4 g 晶格振动的模式密度 m 截止频率 晶格热容 g d 频率在 d 之间的振动模式数 5 二 晶格热容模型 Dulong Petit定律 经典统计理论的解释 能量均分定理 Dulong Petit定律 在常温下大多数固体的热容量差不多都等于6cal mol K 一摩尔晶体的振动能为 6 经典的能量均分定理可以很好地解释室温下晶格热容的实验结果 困难 低温下晶格热容的实验值明显偏小 且当T 0时 CV 0 经典的能量均分定理无法解释 2 Einstein模型 在一定温度下 由N个原子组成的晶体的总振动能为 假设 晶体中各原子的振动相互独立 且所有原子都以同一频率 0振动 即 7 定义Einstein温度 高温下 T E即 8 9 在低温下 T E即 当T 0时 CV 0 与实验结果定性符合 根据Einstein模型 T 0 但实验结果表明 T 0 CV T3 10 Einstein模型金刚石热容量的实验数据 11 3 Debye模型 假设 晶体是各向同性的连续弹性介质 格波可以看成连续介质的弹性波 这表明 在q空间中 等频率面为球面 为简单 设横波和纵波的传播速度相同 均为c 12 在 d 之间晶格振动的模式数为 13 定义Debye温度 对于大多数固体材料 D 102K 14 15 作变换 在高温下 T D 即 16 在低温下 T D 即 17 利用Taylor展开式 利用积分公式 18 这表明 Debye模型可以很好地解释在很低温度下晶格热容CV T3的实验结果 由此可见 用Debye模型来解释晶格热容的实验结果是相当成功的 尤其是在低温下 温度越低 Debye近似就越好 19 几种材料晶格热容量理论值与实验值的比较 20 在非常低的温度下 由于短波声子的能量太高 不会被热激发 而被 冷冻 下来 所以的声子对热容几乎没有贡献 只有那些的长波声子才会被热激发 对热容量有贡献 21 在q空间中 被热激发的声子所占的体积比约为 由于热激发 系统所获得的能量为 22 CV T3必须在很低的温度下才成立 大约要低到T D 50 即约10K以下才能观察到CV随T3变化 Debye模型在解释晶格热容的实验结果方面已经证明是相当成功的 特别是在低温下 Debye理论是严格成立的 但是 需要指出的是Debye模型仍然只是一个近似的理论 仍有它的局限性 并不是一个严格的理论 23 In的Debye温度 D随温度的变化 24 2019 12 29 25 三 模式密度g 在q空间中 处在 d 两等频面之间的振动模式数 只考虑其中第j支格波 为 由于 26 例 求一维单原子链晶格振动的模式密度 27 一维单原子链晶格振动的色散关系 28 29 3 7非简谐效应 一 晶格的自由能与状态方程 有dF dU d TS pdV SdT 状态方程 f p V T 0 自由能的定义 F U TS 热力学第一定律 dU TdS pdV 30 由统计物理可知 F2 kBTlnZ 晶格自由能F F1 F2 F1 U V 只与晶体的体积有关 而与温度 或晶格振动 无关 U V 实际上是T 0时晶体的内能 F2与晶格振动有关 即与温度有关 Z 晶格振动的配分函数 31 对于频率为 j的格波 其配分函数为 32 晶格自由能为 系统的总配分函数 33 34 其中 是表征频率随体积变化的量 设与 j无关 晶格状态方程 Gr neisenconst 与晶格振动的非简谐性有关 35 二 热膨胀 热膨胀指的是在不加压的情况下 晶体体积随温度升高而增大的现象 令p 0 有 平衡时 36 对于大多数固体 温度变化时 其体积变化不大 因此可将在静止晶格的平衡体积V0展开 只保留 V的一次项 有 37 为静止晶格的压缩模量 当温度变化时 上式右边主要是振动能发生变化 对温度求微商可得体积膨胀系数 Gr neisen定律 对许多固体材料的测量结果证实了Gr neisen定律 的值一般在1 2之间 38 由于 与晶格振动的非简谐性有关 若晶格振动是严格的简谐振动 就不会有热膨胀 以双原子分子为例来定性讨论热膨胀问题 受力 39 三 晶格的热传导 1 晶格热传导 用声子的输运过程半定量地说明晶格的热传导 在一定温度下 频率为 j的声子的平均声子数为 考虑一各向同性 均匀的绝缘棒 沿x方向放置 40 由 i声子所贡献的热流为 总热流密度 41 比较得 影响声子平均自由程的主要因素有 声子与声子间的相互散射 固体中的缺陷对声子的散射 声子与固体外部边界的碰撞等 42 2 声子间相互作用对声子平均自由程的影响 由于晶格振动非简谐性 不同格波间可以交换能量 才能达到统计平衡的 用 声子 语言表述 不同格波间的相互作用 表示为声子间的 碰撞 在热传导问题中 声子的碰撞起着限制声子平均自由程的作用 声子间的相互碰撞必须满足能量守恒和准动量守恒 以两个声子碰撞产生另一个声子的三声子过程为例 43 a 声子间的相互作用 Gn 0 N过程只改变动量的分布 而不改变热流的方向 不影响声子的平均自由程 这种过程不产生热阻 正规过程 或N过程 NormalProcesses 44 Gn 0 翻转过程或U过程 UmklappProcesses 在U过程中 声子的准动量发生了很大变化 从而破坏了热流的方向 限制了声子的平均自由程 所以U过程会产生热阻 45 b 温度对声子平均自由程的影响 高温下 即T D时 这时 平均自由程与T成反比 而高温下 晶格热容为常数 与T无关 所以 热导率K与温度T成反比 对于所有晶格振动模式 有 46 低温下 即T D时 对 起限制作用的是声子碰撞的U过程 而U过程必须有 q 可以与倒格子原胞的尺度