理学高等数学——am定积分的概念性质PPT课件.ppt

7 1 7 2定积分的概念和性质 第一部分定积分的概念 实例1 求曲边梯形的面积 一 问题的提出 a b y f x 如图 设y f x 在区间 a b 上非负 连续 由直线x a x b y 0 及曲线y f x 所围成的图形 称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 1 已知矩形面积 高 底 将 a b 分成n个小区间 称为子区间 过每个分点作平行于y轴的直线段 把曲边梯形分成n个小曲边梯形 记分点为 2 在每个小区 xi 1 xi 上任取一点 i 小曲边梯形面积 长度 3 曲边梯形面积 将 a b 分得越细 近似公式越精确 于是 思路 把整段时间分割成若干小段 每小段上速度看作不变 求出各小段的路程再相加 便得到路程的近似值 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值 实例2 变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动 已知速度V V t 是时间间隔 T1 T2 上t的连续函数 计算在这段时间内物体所经过的路程S 1 区间分划 在 T1 T2 内任意插入若干个分点 将 T1 T2 分成n个小段 t0 t1 t1 t2 tn 1 tn 2 求近似 在每个子区间 ti 1 ti 上任取一点 i 由时刻ti 1到时刻ti走过的路程为 Si 3 作和 总路程 将时间间隔 ti 1 ti 分得越细 近似公式越精确 于是 上述两个问题 尽管背景不同 意义不同 但其实质都是计算一种和式的极限 事实上 就是求给定函数的定积分 总之 二 定积分定义 1 定义 设函数f x 在 a b 上有界 将 a b 任意分成n个子区间 分点为 在每个子区间 xi 1 xi 上任取一点 i i xi 1 xi 函数f x 在 a b 上的定积分 记成 则称函数f x 在 a b 上可积 这个极限值就称为 积分上限 积分下限 积分和 1 定积分是积分和式的极限 是一个数值 注意 2 注意在定积分的定义中的两个任意性 函数可积 即意味着极限值与对区间的分割方式及在区间 定积分值只与被积函数f x 及积分区间 a b 有关 而与积分变量的记法无关 即有 定理1 定理2 定理3 问题 三 积分存在定理 可积的充分条件 1 若当x a b 时 A y f x 连续函数f x 0 四 定积分的几何意义 2 若当x a b 时 连续函数 y f x A f x 0 一般 曲边梯形的面积 而 的几何意义则是曲边梯形面积的代数和 a b A1 A2 A3 A4 3 若当x a b 时 连续函数f x 既取得正值 又取得 负值时 其中Ai表示 第部分图形 的面积 例1由定积分的几何意义可得 a 例1由定积分的几何意义 指出下列积分的值 a a 例1由定积分的几何意义可得 例1由定积分的几何意义可得 解 因为y x2在 0 1 上连续 定积分存在 将区间 0 1 等分成n等份 分点为 例2 于是 例3 用定积分表示下列极限 解 例4将和式极限 表示成定积分 解 原式 第二部分定积分的性质 2019 12 29 43 对定积分的补充规定 3 定积分与积分区间和被积函数有关 而与积分变量无关 即 性质1 设f x g x 在 a b 上可积 则f x g x 在 a b 可积 且 证 推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数的积 定分的代数和 即 性质1可以推广到有限多个函数的情形 性质2 设f x 在 a b 上可积 则kf x 在 a b 可积 且 证 性质3 设f x 在 a b 上可积 a c b 则f x 分别 此时 c称为内分点 在 a c c b 上可积 且 b a c 性质3表明定积分对积分区间具有可加性 这个性质可用于求分段函数的定积分 推论 设f x 在 a c 上可积 a b c 则 此时 c称为 a b 的外分点 或f x 在 c b 上可积 c a b 总之 不论的相对位置如何 性质3总成立 性质4 设在 a b 上 f x 1 则 性质5 设f x 在 a b 上可积 且f x 0 则 推论1 如果在 a b 上可积 且f x g x 则 例5在下列两个定积分之间添加适当的不等号 2 1 例6 比较积分的大小 解 设 表明 单调增加 且 从而 即 证得 解 显然 于是 练习 推论2 证 即 性质6 设M和m分别是f x 在 a b 上的最大值 证 即 及最小值 则 此性质可用于估计积分值的大致范围 例如 解 例7 解 例8 例9证明 证 设 令 得驻点x 0 又 最小值为 即 性质7 定积分中值定理 设f x 在 a b 上连续 则 证 由于f x 在 a b 上连续 所以f x 在 a b 上存在最大值M 最小值m 得 由介值定理 a b 使 即 在 a b 上至少存在一个点 使得 性质7的几何意义 解 由积分中值定理知有 使 例10 如果函数f x 在闭区间 a b 上连续 我们称为函数f x 在 a b 上的平均值 如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f t t为时间 则表示该地 该日的平均气温 如已知某河流在某处截面上各点的水深为h x a为河流在该截面处水面之宽度 则该河流在该截面处的平均水深为 小结 定积分的实质 特殊和式的极限 定积分的思想和方法 求近似以直 不变 代曲 变 取极限 3 定积分的性质 注意估值性质 积分中值定理的应用 4 典型问题 估计积分值 不计算定积分比较积分大小 练习求连续函数 使它满足 解 等式 两边在 0 1 上积分得 常数 1 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细