数字信号处理课程设计-IIR和FIR数字滤波器的设计及其结构研究.doc

德州学院 物理与电子信息学院 2011级 电子信息科学与技术 目 录 摘要及关键词. 2 一、数字滤波器设计的意义. 2 二、IIR数字滤波器设计. 2 2.1 IIR数字滤波器基本过程. 2 2.1.1模拟滤波器的设计原理. . 3 2.1.2模拟滤波器的设计方法 . 3 2.2 IIR数字滤波器设计方法. 4 2.2.1脉冲响应不变法. 4 2.2.2双线性变换法. 5 2.3两种设计方法的优缺点比较. 6 三、线性相位FIR数字滤波器设计.6 3.1基本特性. . 6 3.2设计方法. 7 3.2.1窗函数法. 7 3.2.2频率取样法. . 8 3.3两种设计方法的优缺点比较. 9 四、IIR和FIR数字滤波器的基本结构研究.9 4.1IIR数字滤波器基本结构. 9 4.1.1直接形结构. 9 4.1.2级联型结构. 11 4.1.3并联型结构. 11 4.2 FIR数字滤波器基本结构. 12 4.2.1FIR系统的直接实现形式. 12 4.2.2FIR系统的级联实现形式. 12 五、IIR和FIR数字滤波器的主要优缺点.13 5.1IIR数字滤波器的主要优点. 13 5.2 IIR数字滤波器的主要缺点.13 5.3 FIR数字滤波器的主要优点.14 5.4 FIR数字滤波器的主要缺点.14 5.5数字滤波器比较概括性总结. 14 六、设计滤波器.14 6.1要求. 14 6.2 步骤.15 6.2.1 双线性变换法.15 6.2.2脉冲响应不变法. 16 七、参考文献.171 IIR和FIR数字滤波器的设计及其结构研究摘 要： 数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件和程序。经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。根据数字滤波器冲激响应的时域特性，可以分成无限脉冲响应数字滤波器(简称IIR)和有限脉冲响应数字滤波器(简称FIR)，IIR和FIR数字滤波器的设计方法及其结构各不相同。关键词 FIR数字滤波器 IIR数字滤波器1、 数字滤波器设计的意义随着信息技术的迅猛发展，数字信号处理已成为一个极其重要的学科和技术领域。在通信、语音、图像、自动控制和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。数字滤波 (Digital Filter，DF)是数字信号处理的重要环节，它在数字信号处理中占有着重要的地位，它具有可靠性好、精度高、灵活性大、体积小、重量轻等优点。随着数字技术的发展，数字滤波器越来越受到人们的重视，广泛地应用于各个领域。数字滤波器的输入输出信号都是数字信号，它是通过一定的运算过程改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分来实现滤波的，这种运算过程是由乘法器、加法器和单位延迟器组成的。根据数字滤波器冲激响应的时域特性，可将数字滤波器分为两种即无限长冲激响应(IIR)滤波器和有限长冲激响应(FIR)滤波器。由数字信号处理的一般理论可知IIR滤波器的特征是具有无限持续时间的冲激响应，而FIR滤波器使冲激响应只能持续一定的时间。滤波器的功能是用来移除信号中不需要的部分，比如随机噪声；或取出信号中的有用部分，如位于某段频率范围内的成分。因此研究不同数字滤波器的设计原理和稳定性分析对于满足军事、航空、民营等等各个领域的信号处理要求具有十分重要的意义1。二、IIR数字滤波器设计2.1 IIR数字滤波器基本过程2.1.1模拟滤波器的设计原理 常用的IIR滤波器设计是以模拟滤波器设计为基础。模拟滤波器的设计就是求出满足技术指标的连续系统的的系统函数。模拟滤波器的技术指标与数字滤波器类似，有通带截频，通带最大衰减，阻带截频，阻带最小衰减。在设计模拟滤波器时，先将待设计的模拟滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器技术指标，然后设计模拟低通滤波器，再通过频率变换将模拟低通滤波器转换为所需要的滤波器2。IIR滤波器设计方法有间接法和直接法，间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。模拟滤波器设计是基础，模拟滤波器到数字滤波器的转换是核心。而模拟滤波器的设计都是通过低通滤波器来实现，比较常用的模拟低通滤波器有Butterworth(巴特沃斯)和Chebyshev(切比雪夫)等。借助于模拟滤波器的数字滤波器设计流程如图2.1所示。2.1.2模拟滤波器的设计方法模拟低通滤波器的设计是设计其他滤波器的基础。模拟高通、带通和带阻滤波器的设计过程是：先将希望设计的各种滤波器的技术指标转换为低通滤波器技术指标，然后设计响应的低通滤波器，最后采用频率转换法将低通滤波器转换成所希望的各种滤波器。模拟滤波器设计流程如图2.2所示3。 Butterworth模拟低通滤波器简称BW型低通滤波器，其幅度响应的模拟定义为，式中N为滤波器阶数，为滤波器的3dB截止频率，即。当时，Butterworth模拟低通滤波器称为归一化Butterworth模拟低通滤波器。Chebyshev I型模拟低通滤波器简称CB I型模拟低通滤波器，其幅度响应的模方为。式中N为滤波器阶数，和是滤波器的参数，是N阶Chebyshev多项式，定义为。Chebyshev II型模拟低通滤波器简称CB II型模拟低通滤波器，其幅度响应的模方为 ，式中N为滤波器阶数，和是滤波器的参数4。2.2 IIR数字滤波器设计方法 将模拟滤波器变换为数字滤波器的主要方法有脉冲响应不变法和双线性变换法。2.2.1脉冲响应不变法基本原理： 脉冲响应不变法是一种将模拟滤波器转换为数字滤波器的基本方法。它通过对模拟滤波器的单位冲激响应等间隔抽样来获得对应数字滤波器的单位脉冲响应，即，其中T是抽样间隔。设计方法： （1）将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标。 利用模拟频率和数字频率的关系如式(2-1) (2-1)将数字滤波器的频率指标转换为模拟滤波器的频率指标。 （2）设计通带截频、通带衰减、阻带截频、阻带衰减的模拟滤波器。 （3）利用脉冲响应不变法将模拟滤波器的H( s)转换为数字滤波器的 H( z)。脉冲响应不变法设计流程如图2.3所示。2.2.2双线性变换法基本思想：将模拟滤波器的转换为数字滤波器的时，不是直接从域到域，而是先将非带限的映射为带限的，再通过脉冲响应不变法将域映射到域，即。从频域来看模拟角频率与数字角频率的关系需通过建立，即5。设计方法： (1)由式(2-2)将数字滤波器的频率指标转换为模拟滤波器的频率指标。 (2-2)(2)设计通带截频、通带衰减、阻带截频、阻带衰减的模拟滤波器。(3)利用双线性变换法将模拟滤波器的H( s)转换为数字滤波器的 H( z)。遵循公式如式(2-3)。 (2-3)2.3两脉冲响应不变法的优、缺点：脉冲响应不变法的优、缺点： 脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位冲激响应能完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域逼近良好，而且模拟角频率和数字角频率之间呈线性关系。该方法最大的缺点是有频率响应的混叠效应，所以只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且阻带衰减越快，混叠效应越小。双线性变换法的优、缺点：双线性变换最突出的优点是避免了频率响应的混叠失真，缺点是频率响应的非线性失真，模拟角频率和数字角频率之间的关系如式(2-2)在零频率附近与之间的关系近似于线性，随着的增加，与之间的关系出现严重非线性，使数字滤波器频率响应不能保真地模仿模拟滤波器频率响应。双线性变换法的非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，否则变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有较大畸变6。三、线性相位FIR数字滤波器设计3.1基本思想FIR滤波器的设计是建立在对期望滤波器频率特性的某种近似基础之上的 目前有许多方法可以设计FIR滤波器，比如窗函数设计法、频率取样法等。其中 窗函数设计法是滤波器设计的主要方法之一，由于运算简便，物理意义直观，已成为工程实际中应用最广泛的方法，常见的窗函数有：矩形窗、三角形窗、布莱克曼窗、切比雪夫窗等。3.2设计方法3.2.1窗函数法基本思想： 窗函数法是用一具有有限长度样值响应、并具有线性相位的系统函数逼近理想滤波器的系统函数。就是根据给定的滤波器技术指标，选择滤波器的阶数N和合适的窗函数。用有限长度的窗口函数序列来截取一个无限长的序列获得一个有限长序列，即，并且要满足以下两个条件： (1)窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带； (2)尽量减小窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量集中于主瓣，使峰尖和纹波减小，就可增多阻带的衰减。 这就给窗函数序列的形状和长度选择提出了严格的要求。常见的窗函数有：矩形窗、汉宁(Hanning)窗、布莱克曼窗、海明(Hamming)窗等。窗函数法设计FIR滤波器的步骤：(1) 根据过渡带宽及阻带衰减要求，选择窗函数的类型并估计窗口长度N(或阶数M=N-1)，窗函数类型可根据最小阻带衰减As独立选择，因为窗口长度N对最小阻带衰减As没有影响，在确定窗函数类型以后，可根据过渡带宽小于给定指标确定所拟用的窗函数的窗口长度N，设待求滤波器的过渡带宽为w，它与窗口长度N近似成反比，窗函数类型确定后，其计算公式也确定了，不过这些公式是近似的，得出的窗口长度还要在计算中逐步修正，原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择较小的N，在N和窗函数类型确定后，即可调用Matlab中的窗函数求出窗函数wd(n)。(2) 根据待求滤波器的理想频率响应求出理想单位脉冲响应hd(n)，如果给出待求滤波器频率应为Hd，则理想的单位脉冲响应可以用下面的傅里叶反变换式求出：(3-1)采用离散傅里叶反变换（IDFT）即可求出。 (3)用窗函数wd(n)将截断，并进行加权处理，得到(3-2)如果要求线性相位特性， 则h(n)还必须满足：(3-3)根据上式中的正、负号和长度N的奇偶性又将线性相位FIR滤波器分成四类。要根据所设计的滤波特性正确选择其中一类。例如：要设计线性相位低通特性可选择h(n)=h(N-1-n)一类，而不能选h(n)=-h(N-1-n)一类。 (4) 验算技术指标是否满足要求，为了计算数字滤波器在频域中的特性，可调用freqz子程序，如果不满足要求，可根据具体情况，调整窗函数类型或长度，直到满足要求为止7。3.2.2频率取样法基本思想： 频率取样法是从频域出发 ，对理想的频响 进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响应。在实际使用时，为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值H(k)要满足一定的约束条件，具有线性相位FIR滤波器，其单位采样响应函数h(n)是实序列，且满足h(n)=(h-1-n)，由此得到幅频和相频特性就是对H(k)的约束。频率取样法设计FIR滤波器的步骤：(1)根据所要求的滤波器类型，根据是偶数还是奇数，指定，在阻带内，。(2)根据构成滤波器的和，并考察的指标是否满足要求。3.3 两种设计方法的优缺点比较窗函数法的优、缺点： 窗函数法的优点是简单，有闭合形式的公式可循，因而很实用。窗函数法是从时域出发，通过一定的窗函数截取有限长的单位脉冲响应来逼近理想单位脉冲响应。窗函数法的缺点是： （1）加窗后，会使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响的主瓣宽度。 （2）在处会出现肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少。 （3）会出现吉布斯(Gibbs)效应。 （4）较为复杂时，不容易由反傅里叶变换求得。边界频率因为加窗的影响而不易控制。频率抽样法的优、缺点：频率取样法设计滤波器的最大优点是直接从频率域进行设计，比较直观，也适合于设计具有任意幅度特性是滤波器，它十分适用于窄带滤波器的设计。频率取样法设计的缺点是由于频率抽样点的分布必须符合一定规律，在规定通、阻带截止频率方面不够灵活。比如当截止频率不是整数倍数时会产生较大逼近误差。4、 IIR和FIR数字滤波器的基本结构研究4.1 IIR数字滤波器基本结构IIR滤波器的单位脉冲响应hk为无限长序列，系统函数H(z)在有限z平面上存在极点，其运算结构的特点是含有反馈环路，即在结构上是递归型的。在给定滤波特性的情况下，IIR滤波器所用的项更少，此外，IIR滤波器还能实现窄带频响。IIR滤波器的实现结构并不唯一，同一系统函数(或差分方程)可以有各种不同的结构形式。基本结构主要有三种，即直接型、级联型和并联型。4.1.1直接形结构IIR数字滤波器的系统函数可以看成系统函数分别为和的两个系统级联，即： （4-1）其中 ， 分别画出两个子系统的信号流程图，将其级联后得到如图4-1所示的直接型信号流程图，这种结构成为直接I型结构。 图4.1 IIR数字滤波器直接I型结构交换两级联子系统的连接次序不影响整个系统的特性，即： （4-2） 将图4-1中的左右两个子系统对调，并将系统的延时器和系统的延时器共用，即可得到图4-2琐事流程图，这种结构成为直接II 型结构。 图4.2 IIR型数字滤波器直接II型结构4.1.2级联型结构 （4-3）（a）基于直接II型的级联型结构 （b）基于转置直接II型的级联型结构 图4.3直接II型级联结构 4.1.3并联型结构 将滤波器系统函数展开成部分分式之和即可获得并联型结构。 （4-4） (a)基于直接II型的并联型结构 (b)基于转置直接II型的并联型结构 图4.4 直接II型并联型结构4.2 FIR数字滤波器基本结构有限脉冲响应（简称FIR）系统的单位脉冲响应h(n)为有限长序列，系统函数H(z)在有限z平面上不存在极点，其运算结构中没有反馈支路，即没有环路。所以，有限脉冲响应滤波器可以设计成在整个频率范围内均可提供精确的线性相位，而且总是可以独立于滤波器系数保持有限输入有限输出（BIBO）稳定，因此在很多领域，这样的滤波器是首选的。FIR滤波器的实现形式通常有以下几种：直接型，级联型，多相实现和线性相位FIR滤波器结构。4.2.1FIR系统的直接实现形式直接型结构的输入输出关系如下： (4-5)通常在这种结构中需要N+1个乘法器和 N个两输入加法器来实现。其结构图可以表示为图4.5 直接型结构4.2.2FIR系统的级联实现形式级联型结构的输入输出关系如下： (4-6)高阶FIR传输函数可以由一阶或二阶传输函数级联实现，它是通过对式(4-5)进行因式分解得到的。 (4-7)其中，当N为偶数时，K=N/2；当N是奇数时，K=(N+1)/2且=0。由于级联形式是规范型结构，所以需要用N个两输入的加法器和N+1个乘法器来实现 N阶有限脉冲响应传递函数。图4.6 级联型结构 有限脉冲响应滤波器的另一种实现是基于传输函数的多相位分解所得到的并联结构。一般情况下，L支N阶多相分解的传输函数具有以下形式： (4-8)式中 ， (4-9)注意，在有限脉冲响应传输函数的多相实现中，子滤波器也是有限脉冲响应滤波器，并且子滤波器可以用直接或级联型方法实现。5、 IIR和FIR数字滤波器的主要优缺点5.1IIR数字滤波器的主要优点(1)设计方法简单。通常只要将技术指标代入设计方程组就可以设计出原型滤波器，然后再利用相应的变换公式求得所需要的滤波器系统函数的系数。(2)在满足一定技术要求和幅频响应的情况下，IIR数字滤波器设计成为具有递归运算的环节。所以它的阶次一般比FIR数字滤波器低，所用的存储单元少，滤波器体积也小10。5.2 IIR数字滤波器的主要缺点(1)只能设计出有限频段的低、高、带通和带阻等选频滤波器。除幅频特性可以满足技术要求外，它们的相频特性往往是非线性的，这就会使信号产生失真。(2)由于IIR数字滤波器采用了递归型结构，系统存在极点，因此设计系统函数时，必须把所有的极点放在单位圆内，否则系统不稳定。而且有限字长效应所带来的运算误差，可能会使得系统产生寄生振荡。5.3 FIR数字滤波器的主要优点 （1）可以设计出具有线性相位的FIR数字滤波器，从而保证信号在传输过程中没有失真。(2)由于FIR数字滤波器没有递归运算，因此不论在理论还是实际应用中，都不会因为有限字长效应所带来的运算误差使得系统不稳定。(3)FIR数字滤波器可以采用快速傅里叶变换实现快速卷积运算，在相同阶数的条件下运算速度快。5.4 FIR数字滤波器的主要缺点(1) 虽然可以采用加窗方法或频率采样等简单方法设计FIR数字滤波器，但往往在过渡带上和阻带衰减上难以满足要求，因此不得不多次迭代或者计算机辅助设计，从而使得设计过程变得复杂。在相同频率特性情况下，FIR数字滤波器阶次比较高，因而所需要的存储单元多，从而提高了硬件设计成本。5.5数字滤波器比较概括性总结本次课程设计首先给出了滤波的概念、分类及模拟滤波器设计，接着讨论了无限冲激响应和有限冲激响应数字滤波器的各种设计方法，重点是按照频域技术指标为依据的滤波器设计。对于无限冲激响应，介绍了冲激响应不变法、双线性映射法、IIR滤波器的频率变换设计法、IIR数字滤波器的直接设计法。对于有限冲激响应，介绍了FIR滤波器窗函数设计法、FIR滤波器频率采样设计法。另外通过课程设计我进一步见识到了Matlab功能的强大，内含各种丰富的函数可以让程序设计的简单，但是由于对Matlab不太熟悉，设计程序时还是走了些弯路，但后来还是通过查找资料找到了一个还算简单的设计，也算是得到了收获，我也会在以后的学习中注重对Matlab的学习与使用。6、 设计滤波器6.1要求：分别用双线性变换和脉冲响应不变法设计一个数字低通滤波器。模拟低通滤波器用BW型低通滤波器。设系统的抽样频率为44.1kHz。所设计出的数字滤波器要能取代下列指标的模拟低通滤波器。6.2 步骤：6.2.1 双线性变换法：程序：fp=2000; %通带截止频率fs=10000; %阻带起始频率Fs=44100; %抽样频率Ap=0.5;As=50;wp=2*pi*fp;%计算归一化角频率ws=2*pi*fs;N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s);%计算阶数和截止频率num,den=butter(N,wc,s);numd,dend=bilinear(num,den,Fs);w=linspace(0,pi,512);h=freqz(numd,dend,w);norm=max(abs(h);nume=numd/norm;plot(w/pi,20*log10(abs(h)/norm);w=wp,ws;h=freqz(numd,dend,w);fprintf(Ap=%.4fn,-20*log10(abs(h(1);fprintf(Ap=%.4fn,-20*log10(abs(h