多项式理论在初等数学中的应用毕业论文.doc

多项式理论在初等数学中的应用毕业论文1 判断能否分解因式多项式的因式分解是指在给定的数域上，把一个多项式表示成若干个不可约多项式的乘积.我们知道，一个多项式可能在一个数域上不可约，但在另一数域上可约.例如多项式在有理数域上不可约，因为它不能分解成有理数域上两个一次多项式的乘积，但这个多项式在实数域上可约，因为.因为在初等数学中，我们接触最多的是有理数域上的多项式且多项式次数不超过次，所以本文将在有理数域上对因式分解作进一步探讨.1.1 待定系数法按照已知条件把原式假设为若干个因式的乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，根据恒等原理，建立待定系数的方程组，求出待定系数.例1 判断在有理数域上能否分解因式.解 令，因为，所以无一次因式.若一个整系数多项式在有理数域上可约，那么总可以分解成次数都小于的两个整数系数多项式的乘积.则可设，其中为整数.即 比较等式两端的对应项系数，得 由知 或，若，则 但；若，则，但 ，所以不可约.即在有理数域上不能分解因式.1.2 艾森斯坦判断法 定理1 （艾森斯坦判断法）设是一个整系数多项式.若是能够找到一个素数使（i) 最高次项系数不能被整除； (ii) 其余各项的系数都能被整除；（iii) 常数项不能被整除，那么多项式在有理数域上不可约. 例2 判断在有理数域上能否分解因式. 解 令，易找到素数，满足上述条件， ，故在有理数域上不可约.即在有理数域上不能分解因式. 艾森斯坦判断法不是对于所有整系数多项式都能应用的，因为满足判断法中条件的素数不一定存在.若是对于某一多项式找不到这样的素数，那么可能在有理数域上可约，也可能不可约.例如，对于多项式与来说，都找不到一个满足判断法的条件素数，但显然前一个多项式在有理数域上可约，而后一个多项式不可约.虽然有时对于某一多项式来说， 艾森斯坦判断法不能直接应用，但是我们可以把适当变形后，就可以应用这个判断法，例如，令 得，因为，所以在有理数域上不可约. 以上通过待定系数法和艾森斯坦判断法，我们就可以知道多项式能否分解因式.2 分解因式 在初等数学中，我们接触的分解因式常用的方法都比较简便、特殊，如提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，拆项法，添项法等，这里我将介绍多项式理论中的三种方法来解决较高次多项式的因式分解问题.2.1 综合除法 综合除法用以寻找所给整系数多项式的一次因式，有因式的充要条件是，就是的一个根.当是有理数时，可用综合除法试除予以确定.这种方法的依据是：如果整系数多项式有因式（，是互质的整数）则一定是的约数，一定是的约数. 具体做法是： （1）先写出整系数多项式的首项系数和常数项的所有因数，然后以的因数为分母，的因数为分子，做出所有可能的既约分数（包括整数），如果有有理根，则必在这些既约分数中，因此它们是可能的试除数. （2）从上述既约分数中合理地选择试除数.首先，1与 -1永远在有理数中出现，计算.若，则是的有理根.若有理数是的有理根，则只需对那些使商与都是整数的来进行试除.（假定都不等于零，否则可以用或除而考虑所得的商式.） （3）选好试除数后，即用综合除法试除. 例3 在有理数域上分解多项式. 解 这个多项式的最高次项系数的因数是，常数项的因数是.所以可能的有理根是.我们算出，.所以都不是的根.另一方面，由于都不是整数，所以都不是的根.但都是整数，所以有理数2在试验之列，应用综合除法 | 所以是的一个根，同时我们得到.容易看出，不是的一个重根.从而应用综合除法分解多项式可以使解题思路清晰，解题过程简洁，不易出错，但它必须建立在多项式有有理根的基础上.如果多项式需要试除的因子过多，则每个因子都要进行一次相应的综合除法，这就给计算增加了困难.2.2 待定系数法用待定系数法分解因式，首先要根据题设条件，判定原式分解后形成的因式乘积的形式，然后再列方程（组）确定待定系数的值. 例4 在有理数域上分解多项式. 解 先用综合除法，可能的试除数是，试除结果都被排除，因此原式在有理数域上没有一次因式.假定原式含有的二次因式，设 比较等式两端对应项的系数，得方程组 上面的同是原式常数项的因数，因此和的值可能有下面四组.或或 或将代入式 得 将、联立，解得.但是不满足式,因此不是方程的解.将代入，得 将、联立，解得.并且满足，因此是方程组的解.所以待定系数法比较简单，也容易理解，但会涉及到解多个方程组，计算量往往会加大.只有在分解因式前先观察最高次项系数与常数项系数，再找出多项式的所有有理根，才能有效降低待定系数法的难度.2.3 分离重因式法设有典型分解式，若,有且不能被 整除.利用最大公因式法得.令比较上述有关式子可知.上述意思是若用除以，则得商是一个与具有完全相同的不可约因式而没有重因式的多项式.由此得思想：若将能分解的话，便知的不可约因式，再确定每个不可约因式在的重数（作带余除法直至不能整除）例5 在有理数域上分解多项式.解 第一步：求，第二步：求， 第三步：由带余除法得：第四步：分解：第五步：确定每个因数的重数， 分离重因式法是线性代数中的一种基本方法，用途十分广泛，但它必须建立在多项式有重因式的基础上，否则就无法使用. 因式分解是一项重要的基本技能训练，在分式运算，解方程和各种恒等变换中都要经常用到因式分解，所以对因式分解我们应给予足够重视.3 一元高次方程 定理2 设中次多项式在复数域C中有个根 则根与系数的关系是 定理3 （代数基本定理）任何次多项式在复数域上至少有一个根. 定理4 若实数多项式有一个非实的复数根，那么的共轭根也是的根，并且与有同一重数.换句话说，实系数多项式的非实的复数根两两成对.3.1 已知方程的所有的根，求方程.例6 求所有以有理数为根的方程解 利用根与系数的关系知满足 （i）若(或)，由知，代入得（或） （ii）若，但，由得，代入得，显然，是方程的根；（iii）若均不为0，由得代入得这个方程有且仅有一个有理根，从而，.显然有根1和重根. 综上所述，所求方程为或或例7 求有单根与以及二重根的四次多项式. 解 由根与系数的关系知： ， ， ， .因此所求多项式是或（）.3.2 已知方程的部分根，求解方程. 例8 已知方程有一个根是，解此方程. 解 因为实系数方程的虚根成对出现，故也是上述方程的根，由代数基本定理可知此方程有个根,设此方程其余两根为、，由根与系数的关系得解得,即是所给方程的二重根，所以原方程的根为,. 此题还可用综合除法求得是所给方程的二重根，然后再利用实系数多项式的非实复根两两成对理论求出方程的另一根.3.3 已知方程组，求方程组的解. 形如方程组 其中，都是一元高次方程，求方程的解.对于这类题，我们可以考虑从方程组的公共根出发，利用辗转相除法求和的最大公因式，再令其等于零. 例9 解方程组 解 令，对，施行辗转相除法，求得，令，得.即原方程组的解是.4 多项式的恒等 定理5 （多项式恒等定理）数域F上的两个多项式 恒等的充要条件是它们的次数相同，且同次项系数对应相等即，且 例10 对于任意的实数,不等式恒成立，求满足条件的. 解 要使上述不等式成立，只要是一个实数式的平方加上一个正数,于是令则由定理5知所以当，且时，原不等式恒成立. 例11 若为任意实数，证：直线系必经过定点 证明 将上述直线系转化成关于的恒等式此恒等式对于任意实数是恒成立的，所以由定理5知 解得 故直线系必经过定点（1，-2）.定理6 如果数域上有两个次数不大于的多项式和，对于的个不同的值都有相等的值，那么它们恒等，即. 例12 求证其中为互不相等的复数. 证明 令它是一个二次式，但当分别以代入时有且，根据定理6，有 定理7 （拉格朗日插值恒等式）对于给定数域F里的个互不相同的数以及个不全为0的数，总有一个次数不超过的多项式使得且这个多项式可以唯一表示为 例13 求一个次多项式，使它在处与函数有相同的值.解 由题意得，由定理得. 例14 已知函数，满足，那么应满足 解 由拉格朗日插值多项式有 从而 又， 5 证明一类数是无理数 在初等代数中，我们是利用有理数与无理数的区别来证明无理数的（见证法二）这里我们可以考虑用多项式理论中的方法来解决.我们可以先构造等式，然后利用艾森斯坦判断法或待定系数法证明其在有理数域上的不可约性，说明多项式没有有理根，但它又是多项式的根，从而得出这个数是无理数. 定理8 若，是个不相同的素数，而是一个大于1的整数，那么是一个无理数.证明 设 令 则，取素数，|，但由艾森斯坦判断法知在有理数域上不可约，故无有理根，但是的根，从而只能是无理数. 例15 证明是无理数. 证法1 设 令，则， .令，则，|，.故在有理数域上不可约，即无有理根，但是的根，从而 只能是无理数. 证法2 设不是无理数，而是有理数.既然是有理数，它必然可以写成两个 整数之比的形式：，再假设和没有公因数可以约，所以可以认为为最简分数,即最简分数形式.把两边平方得即.由于是偶数，必定是偶数，设，由得.同理必然也为偶数.设，既然和都是偶数，它们必定有公因数，这与前面假设是最简分数矛盾.这个矛盾是由是有理数引起的.因此是无理数. 例16 证明是无理数. 证明 设令，为了能够利用艾森斯坦判断法，需把变形，为此令，故.取，|，|，|，由艾森斯坦判断法知，在有理数域上不可约.即无有理根，但是的根，所以只能是无理数. 例17 证明是无理数. 证明 设两边平方得即.令，取，.由艾森斯坦判断法知,在有理数域上不可约.即无有理根，但是的根,所以只能是无理数.6 结术语本论文主要是运用多项式理论知识对初等数学中的若干问题的进一步探讨,通过对多项式的理论和方法的介绍以及这些理论和方法在例题中的应用,我们看到在初等数学中我们认为棘手或无法解决的问题,用高等代数中的方法,得到了很好地解决.从而看出多项式理论在初等数学中的应用是十分广泛的.对于教师来说，掌握相当程度的高等数学知识并在教学中适当地加以渗透并运用,对提高数学教学质量是非常有益的,而且只有用高等数学的知识、观点和方法以一种居高临下的态势,审视初等数学教学内容,才能使初等数学的教学达到理想的境界.对于（特别是学有余力的）学生来说,体会并掌握解题的不同方法,不仅可以提高学生快速解题的能力,还有助于学生思维的发展,从而提高学生学习数学的兴趣,激发学生学习的热情.参考文献1 张禾瑞,郝鈵新.高等代数M.北京:高等教育出版社,2007:38-80.2 李长明,周焕山.初等数学研究M.北京:高等教育出版社,1995:69-82.3 张宗标,徐伟.一类一元多项式的标准分解式的解法J.考试周刊,2008,12(5):41. 4 杨琴.关于一元多项式的因式分解J.青海民族大学学报(教育科学版),2010,30(5):14-17. 5 宁波,高等代数同步辅导及习题全解M.徐州:中国矿业大学出版社,2009:51-65.6 潘铁.浅谈应用多项式的拉格朗日插值公式解题J.中等数学,2010,8(10):7-10. 7 张同君,陈传理.竞赛数学解题研究M.北京:高等教育出版社,2006:69-73.8 唐剑.浅谈高师高等代数课程对中学数学教学的指导作用J.中国西部科技,2011,10(34):72-73. 9 Orue Halil and Phillips M G,Explicit factorization of the Vandermonde m atrixJLinear Algebra Appl,2000.10 A.T.Lawrence,Fundemental Concepts