高考数学一轮总复习集合函数导数专题17含参数导数题型规律总结（1）文（含解析）.docx

专题17含参数导数题型规律总结（1）一、本专题要特别小心：1.图形考虑不周陷阱；2.思维定式陷阱（与等式有关的构造函数）；3. 已知条件中含有导函数值而无从下手；4.恒成立中的最值陷阱5. 含有导函数的式子中的和差构造陷阱6.与三角函数有关的构造函数7.忽视分母造成解集不完备8.与指数函数对数函数有关的构造二【知识点】1.函数的极值(1)若可导函数f(x)在xx0处导数值为0，且在xx0处的左边f(x0)0，在xx0处的右边f(x0)0，则f(x)在xx0处有极大值.(2)若可导函数f(x)在xx0处导数值为0，且在xx0处的左边f(x0)0，在xx0处的右边f(x0)0，则f(x)在xx0处有极小值.(3)可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点不一定是极值点，如yx3在x0处导数值为零，但x0不是极值点.2.函数的最值(1)连续函数f(x)在闭区间a，b上必有最大值与最小值.(2)最值的求法：先求f(x)在(a，b)上的极值，再将各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.3.极值与最值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是函数在整个区间上的函数值的比较.(2)函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值.(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值(单峰函数)，则极大值即是a，b上的最大值，极小值即是a，b上的最小值.三【题型方法总结】（一）分类讨论函数单调性例1. 已知函数（为实数）。（）若在处取得极值，求的值；（）讨论函数的单调性。【答案】() （）见解析【解析】()， 由在处取得极值，有，（）易知令，解得当时，有，有，故在上单调递增；当时，有，随的变化情况如下表： 极大极小由上表可知在和上单调递增，在上单调递减； 同当时，有，有在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减。练习1. 已知函数()当时,讨论函数的单调区间；()当时,求证：【答案】（）详见解析；（）详见解析.【解析】()当时, ,当时,在上恒成立函数在单调递减；当时,由得,由得,的单调递减区间为,单调递增区间为,综上,当时,的单调递减区间为,无单调递增区间,当时,的单调递减区间为,单调递增区间为(II)证明：, ,即,欲证即证明,令,则,显然函数在上单调递增,即,在上单调递增,时, ,即,当时,成立练习2. 设函数，.求函数的单调区间；当时，若函数没有零点，求的取值范围.【答案】 当时，的增区间是，当时，的增区间是，减区间是； 【解析】，当时，在区间上单调递增，当时，令，解得；令，解得，综上所述，当时，函数的增区间是，当时，函数的增区间是，减区间是；依题意，函数没有零点，即无解，由1知：当时，函数在区间上为增函数，区间上为减函数，只需，解得实数a的取值范围为练习3.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）函数的定义域为当时， 在上单调递增；当时，令，得若单调递增；若单调递减；综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，等价于：当时，.令，令，判别式，又故存在，使得，此时.随的变化与的变化情况如下： 当时，在上单调递减，满足条件.此时. 当时，在上单调递增，且不满足条件.综上所述：当时，实数的取值范围为.练习4.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）函数的定义域为当时，在上单调递增；当时，由，得若单调递增；若单调递减；综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，等价于：当时，.令，令，判别式，又故存在，使得，此时.随的变化与的变化情况如下：当时，在上单调递减，满足条件.此时.当时，在上单调递增，不满足条件.综上所述：当时，实数的取值范围为.（二）分参法求参数范围例2. 已知函数()当时，求的极值；()若在区间上是增函数，求实数的取值范围。【答案】() 极小值，无极大值（）【解析】【分析】()将代入原函数，再对求导，用导数的方法判断的单调性，进而可得出其极值；()先对求导，根据题意得到在恒成立；分离参数得到在恒成立，再设，只需用导数的方法求出在上的最大值即可.解：（I）当时，令，有随的变化情况如下表： 极小由上表易知，函数在时取得极小值，无极大值；（II）由，有， 由题设在区间上是增函数，可知在恒成立；故在恒成立，设，则只需， ，令，有，随的变化情况如下表： 极小又，故，故 实数的取值范围为。练习1. 已知函数（为实数）（I）讨论函数的单调性；（II）若在上的恒成立，求的范围；【答案】（I）见解析；（）【解析】分析：() 求得函数的导数令，解得或，根据根的大小三种情况分类讨论，即可求解（II ）依题意有在上的恒成立，转化为在上的恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解【详解】() 由题意，函数，则 令，解得或，当时，有，有，故在上单调递增； 当时，有，随的变化情况如下表： 极大极小由上表可知在和上单调递增，在上单调递减； 同当时，有，有在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减（II ）依题意有在上的恒成立，即在上的恒成立，故在上的恒成立，设，则有（*）易得，令，有，随的变化情况如下表： 极大由上表可知，又由（*）式可知，故的范围为（三）恒成立问题中讨论参数求参数范围例3. 已知函数（1）求函数在点处的切线方程；（2）若在时恒成立，求的取值范围。【答案】（1）（2）【解析】（1）求得函数的导数，得到，利用直线的点斜式方程，即可求解其切线的方程；（2）利用导数求得函数在单调递增，在单调递减，求得函数，进而由，即可求解的取值范围。【详解】（1）由题意，函数，则，可得，又，所以函数在点处的切线方程为。 （2）因为，令，解得，当时，当时，所以函数在单调递增，在单调递减，所以，若，在恒成立，即恒成立，所以，所以的取值范围是。练习1. 已知函数f（x）=x2-（a+1）x+alnx+1（）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极大值；（）求a的范围，使得f（x）1恒成立【答案】（）极大值为；（）【解析】（）x=3是f（x）的极值点，解得a=3当a=3时，当x变化时，x（0，1）1（1，3）3（3，+）f（x）+0-0+f（x）递增极大值递减极小值递增f（x）的极大值为；（）要使得f（x）1恒成立，即x0时，恒成立，设，则，（）当a0时，由g（x）0得单减区间为（0，1），由g（x）0得单增区间为（1，+），故，得；（ii）当0a1时，由g（x）0得单减区间为（a，1），由g（x）0得单增区间为（0，a），（1，+），此时，不合题意；（iii）当a=1时，f（x）在（0，+）上单增，不合题意；（iv）当a1时，由g（x）0得单减区间为（1，a），由g（x）0得单增区间为（0，1），（a，+），此时，不合题意综上所述：时，f（x）1恒成立练习2. 已知函数，其中是自然对数的底数.若，求函数的极值；若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围。【答案】（I）函数有极小值，无极大值. （II）.【解析】由题意得，则，令，解得，令，解得，则函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数有极小值，无极大值.（II）令，则.令，则，易得在上单调递增，则在上单调递增，.当，即时，在上恒成立，则在上单调递增，满足题意；当时，当时，又在上单调递增，使得，当时，函数在上单调递减，不满足题意. 综上所述，实数的取值范围是.练习3. 已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）的减区间为，增区间为.（2）【解析】【分析】（1）对函数，进行求导，判断函数的单调性，进而求出的单调区间。（2），即，构造设，则只需在恒成立即可，对进行求导，分类讨论，根据的单调性，求出满足条件的的取值范围。【详解】解：（1）当时，当时，是减函数，是增函数，所以，的减区间为，增区间为.（1）当时，即.设，则只需在恒成立即可.易知，因为，所以.当时，此时在上单调递减，所以，与题设矛盾；当时，由得，当时，当时，此时在上单调递减，所以，当时，与题设矛盾；当时，故在上单调递增，所以恒成立.综上，.练习4. 已知为函数的极值点.（1）求的值及函数的单调区间；（2）若，当时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1) ；函数的单调增区间是，单调减区间是. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据题意有，解得，从而求得，解关于导函数大于零小于零的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据题意，得到不等式，即，令，通过讨论的范围，求导得到函数的单调性，从而确定的具体范围即可.【解析】（1），为的极值点，解得，由得，此时函数单调递增；由得或，此时函数单调递减，函数的单调增区间是，单调减区间是.（2）由（1）得， 令，则，.当时，函数在区间上是减函数，不等式在区间上不能恒成立； 当时，由得，（i）若，即，则，函数在区间上是增函数，；（ii）若，即，则当时，函数单调递减，当时，则，函数单调递增，即，又，.由得，的取值范围是.练习5.已知函数.（1）求函数在区间上零点个数；（其中为的导数）（2）若关于的不等式在上恒成立，试求实数的取值范围.【答案】(1) 只有一个零点；(2) 【解析】（1）函数的导数，则在区间递增，又，则函数在区间上只有一个零点；（2）若关于的不等式在上恒成立，整理得，即求函数在的最小值由的导数，由的导数为，可得时，函数递增，时，函数递减，则，即，当时， ，则在递增，可得，则.（四）存在或者有解求参数例4. 设函数.（1）当时，求函数的零点个数；（2）若，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1），即，则，令解得.当在上单调递减；当在上单调递增，所以当时，.因为，所以.又，所以，所以分别在区间上各存在一个零点，函数存在两个零点.（2）假设对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则.当，即时，且不恒为0，所以函数在区间上单调递增.又，所以对任意恒成立.故不符合题意；当时，令，得；令，得.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即当时，存在，使，即.故符合题意.综上可知，实数的取值范围是.练习1.已知函数.（1）设，讨论函数的单调性；（2）若不等式有解，求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【分析】（1）由题可得求导得，令，由的单调性得的单调性。（2）不等式有解，则设，求的最小值，从而求的取值范围。【解析】（1）因为.所以.设，则，即在上单调递增，所以所以，当时，则单调递增；当时，则单调递增.（2）因为，.所以.设，则.由于在上单调递增，且.所以当时，则单调递减；当时，则单调递增.所以.综上，的取值范围是.练习2. 已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若,求的取值范围.【答案】（1）减 （2）【解析】（1）由题， 当递增；当递减；所以的单调增区间为，单调减区间为（2）由题，因为,，即 由（1）可得即（五）由函数零点求参数例5. 已知函数，.（）当时，求的最小值；（）若有两个零点，求参数的取值范围【答案】（）0；（）.【解析】（）,定义域 当时, ,由于 在恒成立故 在单调递减, 在单调递增. 故 （）当时, 在单调递减, 在单调递增,只有一个零点当时, ,故在恒成立,故在单调递减, 在单调递增,故当时, 没有零点. 当时,令 ,得,在单调递减, 在单调递增., 在有两个零点， 在单调递减,在 单调递增,在单调递减,在单调递增， ,又 此时有两个零点，综上有两个零点,则练习1已知函数(1)若，当时，求的单调区间；(2)若函数有唯一的零点，求实数a的取值范围.【答