线性代数复习题答案.doc

7Jason Testarossa第 7 页2019-12-29线性代数复习题答案WORD使用不熟练因此有些东西写不出来（打的我快吐了.）。答案仅供参考，错误在所难免，会数学的同学帮忙校验一下吧。祝大家门门考试全通过。一、计算排列76843521的逆序数。解：在排列76843521中 7排在首位，逆序数为0； 6的前面比6大的数有一个7，故逆序数为1； 8是最大数，逆序数为0； 4的前面比4大的数有7、6、8，故逆序数为3； 3的前面比3大的数有7、6、8、4，故逆序数为4； 5的前面比5大的数有7、6、8，故逆序数为3； 2的前面比2大的数有7、6、8、4、3、5，故逆序数为6； 1的前面比2大的数有7、6、8、4、3、5、2，故逆序数为7； 于是这个排列的逆序数为t=0+1+0+3+4+3+6+7=24二、计算下列n阶行列式的值： D=解：=n-1a+(n-1)b三、设,，E为三阶单位矩阵，求矩阵。解：AX=2X+E （A-2E）=E 又A-2E=由于(A-2E|E)= X=（类题：已知,用初等变换法求A的逆矩阵。）A-1=* A*|A|=（3*1*3）+（2*5*3）+（1*3*2）-（3*5*2）-（2*3*3）-（3*1*1）=9+30+6-30-18-3=-6A*=A-1=四、当为何值时非齐次线性方程组，有唯一解、无解、无穷多组解？并在有无穷多解时求其通解。解：因系数矩阵A为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式|A|0|A|=（+1）（-2）2因此，当-1且2时，方程组有唯一解。当= -1时，B= 知R(A)=2，R(B)=3，故方程组无解。 当=2时，B= 知R(A)= R(B)=1，故方程组有无限多个解，且通解为： （CR）类题：当为何值时非齐次线性方程组（本人表示打公式真费劲，所以照搬原始课件版，另一种解法见上题。）有唯一解、无解、无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。解： 其通解为这时又分两种情形：五、设，求。解：AT =AT B=六、（10分）设（1）求A的秩。 （2）求A的一个最高阶非零子式。解：因为行阶梯形矩阵有2个非0行，所以R（A）=2A的行阶梯形矩阵记A=（a1,a2,a3,a4），则矩阵A0=（a1,a2）的行阶梯形矩阵为知R（A0）=2，故A0中必有2阶非零子式，计算A0的前二行构成的子式因此这个子式便是A的一个最高阶非零子式。=（-1）2+1*2=-20七、 求下列非齐次线性方程组的通解。 解：对增广矩阵B进行初等变换B=由于R(A)=R(B)=1，故方程组有解，且有方程组的通解为：其中x2，x4任意。（类题：求下列非齐次线性方程组的通解。 ）解：对增广矩阵B进行初等变换B=由于R(A)=R(B)=2，故方程组有解，且有方程组的通解为：其中x2，x3，x4任意。八、已知向量组（1）求该向量组的秩。 （2）求该向量组一个极大线性无关组。解：A=可见R(a1,a2,a3)=2，向量组a1,a2,a3线性相关，同时可见R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关，因此a1,a2是向量组a1,a2,a3的一个最大无关组。此外由R(a1,a3)=2及R(a2,a3)=2可知a1,a3和a2,a3都是向量组a1,a2，a3的最大无关组。（类题：已知向量组 a) 求该向量组的秩。 （2）求该向量组一个极大线性无关组。）解：A=可见R(a1,a2,a3，a4)=2，向量组a1,a2,a3,a4线