高等气体动力学第8章－黏性流动与湍流模型基础

高等气体动力学2008.3.17第八章 黏性流动与湍流模型基础*8 黏性流动与湍流模型基础（8学时）8.1 黏性流动的一般特征8.2 控制方程组8.3 NS方程组的精确解8.4 附面层理论#8.5 湍流流动的基本方程#8.6 湍流模型初步81黏性流动的一般特征p 黏性流动与无黏流动的区别主要表现在三个方面： 运动的有旋性 涡旋的扩散性 能量的耗散性一、黏性流体运动的有旋性p 一般地，黏性流体运动总是有旋的。p 以不可压流为例。不可压黏性流体运动的基本方程组是(8-1-1)p 可见，涡量场与黏性流动存在着对应关系。所以，在物面的附面层、分离区、尾迹区等受黏性控制的区域，必然分布着涡量。p 涡量是由速度梯度引起的，速度梯度越大，涡量也越大。p 流体的黏性应力取决于应变速率的大小，特别是剪切应变速率，所以涡量与黏性流动存在着因果关系。p 在物面上，剪切应变是由黏性流体的无滑移边界条件产生的，这就是说无滑移边界条件产生了涡量。同时，边界上生成的涡量由于黏性而扩散到流体内部，并借助于对流而向下游输运。二、环量和涡通量的变化p 根据式(5-3-2)，绕封闭流体线C的环量随时间的变化可以写成(5-3-2)联系(5-3-2c)式，上式右端第二项为零，即有(8-1-2)p 将动量方程(1-3-29)代入上式，可得(8-1-3)p 对于正压流体、彻体力有势，上式右端第一和第三项为零，有(8-1-4)p 显然，对无黏流体，上式右端为零，即得到开尔文定理(5-3-4)式。p 考虑不可压缩流体，(8-1-4)式右端第二项为零，则有(8-1-5)p 根据斯托克斯定理，可以将线积分改写成面积分，则有因为所以(8-1-6)这就是不可压缩正压黏性流体，且彻体力有势时的速度环量变化率。p 设流场中任一封闭流体线C围成面积A，定义涡通量为通过A的涡量，即p 绕封闭流体线C的环量则为(8-1-7)即环量与涡通量是相同的，所以涡通量随时间的变化就是环量随时间的变化(8-1-8)这就是不可压缩的正压黏性流体当彻体力有势时的涡通量变化率。对无黏流体，涡通量不随时间变化，即涡通量是守恒的，即第五章给出的赫姆霍兹定理。p 上式表明，在黏性存在的情况下，涡通量不再守恒，因而涡旋可以产生、扩散、衰减或消失。p 综上所述，当流体为黏性流体、非正压流体或彻体力无势时，都会破坏涡旋的守恒，而且在这三个影响因素中，黏性更是经常起作用的因素，因为真实流体都是有黏性的。所以，一般来说黏性流体总是有旋的。p 流体的涡旋还可以扩散，即从涡旋强度大的地方向强度小的地方扩散，并直到涡旋强度平衡时为止。82控制方程组p 黏性流动的控制方程组已由第一章给出。一、积分形式连续方程(1-3-20)动量方程(1-3-25)能量方程(1-3-37)二、微分形式连续方程(1-3-21)或(1-3-23)动量方程(1-3-27)或(1-3-28)能量方程(1-3-38)或(1-3-39)或内能形式(1-3-41)(1-3-43)三、矩阵形式(1-3-47)或(1-3-48)，或(1-3-49a)(1-3-50a)(1-3-50b)(1-3-50c)83 NS方程组的精确解一、不可压库特剪切流p 最简单的流动是不可压流体的平行流动，它只有一个不为零的速度分量。p 在直角坐标系中，假设运动方向沿x轴，则其控制方程组为连续方程，(8-3-1)该方程表明，运动速度与x无关，即(8-3-2)假设彻体力就是重力，则fe=g。引进一个新的压强函数p*，令(8-3-3)则动量方程为(8-3-4)能量方程(8-3-5)p 库特剪切流：如图8-1所示，两个无限大平板平行放置，间距为2b，上板温度为常数Te，并以速度Ue沿x轴匀速运动；下板温度为常数Tw，保持静止不动。取图示坐标系。图8-1 库特剪切流p 显然，库特剪切流为定常流动，并且这种流动完全是由黏性剪切引起的。p 控制方程组变成，(8-3-6)(8-3-7)(8-3-8)p 下板和上板的边界条件为(8-3-9)p 积分动量方程(8-3-7)式，注意p*仅是x的函数（由(8-3-4)可看出，p*关于y和z的偏导数为零），有(8-3-10)求出速度对y的导数du/dy，代入能量方程(8-3-8)式，并积分得(8-3-11)引入如下无量纲量(8-3-12)式中，Br、Pr和Ec分别为布伦克曼数、普朗特数和埃克尔特数。于是，式(8-3-10)和(8-3-11)可改写成无量纲速度和无量纲温度的形式(8-3-13)这就是库特剪切流的解。p 库特剪切流的速度分布如图8-2所示。图8-2 库特剪切流速度分布从图上可以看出： B0、y=0时，u=U，v=0(8-3-58)t0、y时，u=0，v=0，p=p(8-3-59)p 积分连续方程（控制方程组的第1式），并代入边界条件，可得v=0。将此结果代入y方向动量方程（控制方程组的第3式），积分并应用边界条件，可得p=p。所以，x方向动量方程（控制方程组只有第2式）变成(8-3-60)其初边值条件为初始条件：t=0、y0时，u=0(8-3-61)边界条件：t0、y=0时，u=U(8-3-62)t0、y时，u=0(8-3-63)p 式(8-3-60)是典型的扩散方程。引入如下的无量纲自变量和无量纲速度f，(8-3-64)则式(8-3-60)及其初边值条件变成(8-3-65)，(8-3-66)p 积分式(8-3-65)可得(8-3-67)式中，erf称为高斯误差函数，其数值可查表。p 速度分布如图8-5所示。可见，流场中给定点处的速度随时间而增加，且只有当t时速度才能达到平板的速度U；在给定时刻，速度随离开板面的距离增加而减小，且只有当y时速度才减小到0。图8-5 速度分布p 有了速度分布以后，可以求得平板上的剪切应力，即(8-3-68)8-4 附面层理论p 以二维定常不可压缩流的附面层理论为例讨论。p 关于附面层理论所涉及到的一些概念、不同情况下的附面层方程，以及附面层的解法等参阅赵学端“黏性流体力学”。一、大雷诺数下物体绕流的特性p 附面层理论研究的是大雷诺数流动；p 雷诺数定义为(8-4-1)式中，U为流速；L为物体（外流，如绕流）或内流场（内流，如管流）的特征尺寸；为黏性系数。p 雷诺数是一个无量纲数，其物理意义是：表示流动惯性力与黏性摩擦力相对大小的度量。所以，大雷诺数流动也就是惯性力远大于黏性力影响的流动。p 因此，在大雷诺数情况下，黏性影响很小，使用无黏流方程能够成功地解决很多实际问题。p 但是，理论和实验都表明，无论雷诺数多么大，在物面附近的流动总是与无黏流有着本质的差别，黏性对物面附近流动的影响总是不能忽略的。从控制方程组来看，忽略黏性项的无黏流方程的解不能满足黏性流在壁面上的无滑移条件。p 所以，对物面附近的流动，不能使用无黏的欧拉方程组求解。p 针对黏性流的这种特点，普朗特提出了边界层（也称为附面层）概念。他认为，流体的黏性影响只局限于贴近物面附近的一个流动薄层中，这个薄层称为附面层，而在此薄层之外，可以忽略黏性的影响，并可使用无黏流方程求解。普朗特根据附面层很薄这一特点，对黏性控制方程组进行了合理简化，从而得到了附面层方程，建立了附面层理论。p 对附面层的感性认识可以通过观察翼型绕流来获得，如图8-6所示。图8-6 翼型绕流的流动图画-附面层；-尾迹流；-外部势流可以看出，整个绕流场可以分成附面层、尾迹区和外部势流三个区域。p 在附面层内，流动速度从壁面上的零值急剧增加到与自由来流U同量级的值，物面法线方向上的速度梯度非常大，因此即使黏性系数很小的流体也能产生很大的黏性摩擦力；同时，很大的速度梯度也将使附面层内的流体有很大的涡旋强度，即附面层内流动是有旋的。p 当附面层内的流体离开物体流入下游时，将在物体后面形成尾迹区。尾迹区的开始部分是带有一定强度的涡旋流，速度梯度也较显著。但是，由于流体不再受物体的阻碍，没有新的涡旋产生，因此随着远离物体，原有的涡旋将逐渐扩散和衰减，速度分布渐趋均匀，直到在远下游处，尾迹区完全消失。p 在附面层和尾迹区之外，速度梯度很小，即使黏性系数很大，黏性影响也是有限的，可以忽略。所以，附面层和尾迹区之外的流动是无黏的、无旋的，即可以按势流处理。p 由此可见，采用附面层概念可以将流动分成附面层内与尾迹区的黏性有旋流动和其外的无黏无旋势流，对这两种流动可以分别进行处理，然后将它们综合起来获得整个流场的解。p 附面层与外部势流的分界线（面）定义了附面层的厚度。附面层厚度取决于雷诺数的大小，雷诺数越大附面层越薄，反之越厚。此外，沿流动方向附面层是逐渐发展的，即从物体前缘开始附面层是逐渐加厚的，所以附面层厚度是一个变化的量。p 附面层中的流动状态可以是层流，也可以是湍流，这取决于雷诺数。全部为层流时称为层流附面层，当雷诺数增大到一定程度时，层流附面层将从转捩点开始转变为湍流，称为混合附面层或湍流附面层。二、附面层的厚度p 附面层外的势流区也叫主流区，其速度为Ue（当附面层很薄时，可以看成此处的无黏流速度）。因为附面层与主流区之间并没有明显的分界线（面），所以附面层厚度只能人为规定。例如，通常将速度增大到99%Ue处作为附面层的边界。这样定义的厚度是有条件的，有时称为条件厚度，用表示。p 如图8-7所示，设L为物体特征长度，U为流动的特征速度，则以上定义的厚度具有如下量级(8-4-2)即附面层厚度与雷诺数的平方根成反比，当Re1时，L。图8-7 薄平板的层流附面层例如： 20的水沿L=1m的平板以U=1m/s的速度流动，=/=0.0110-4m2/sRe=1061mm； 标准状态下的空气沿L=1m的平板以U=10m/s的速度流动，=/=0.1510-4m2/sRe71051.2mm；p 附面层位移厚度*取图中虚线围成的体积为控制体，运用二维不可压定常流动的连续方程，即展开后，有(8-4-3)或令则有由于Y的任意性，上式不是一个确定的值。令Y，上式给出惟一值，即(8-4-4)称为附面层位移厚度。p 注意附面层位移厚度*只是x的函数，因为积分后自变量y消失。p 附面层位移厚度的物理意义：由于黏性作用，附面层内的流体被阻滞，流速变慢，因此为了满足连续方程，流道必须扩张才能让给定的流体通过，附面层位移厚度就是流线向外位移的距离，它表示附面层向外排移了厚为*的无黏流体的流量。p 由于附面层的存在，流线向外位移了*的距离，所以附面层边界上的流速Ue不同于无黏流在此处的流速U。但通常情况下，*很小，它所引起的势流速度Ue的变化是很小的，并且与来流速度的差也很小，可以近似为来流速度U。p 附面层动量损失厚度仍取同一控制体，并假设压强为常数，运用x方向的二维不可压定常流动的动量方程，即式中，Df是壁面的黏性摩擦力。上式可改写成(8-4-5)由式(8-4-3)知(8-4-6)将上式代入式(8-4-5)，得(8-4-7)上式表明，壁面摩擦阻力与附面层内的流体损失的动量相平衡。定义(8-4-8)称为附面层动量损失厚度，它也只是x的函数。于是有(8-4-9)p 附面层位移厚度与动量损失厚度的比值称为形状因子，即(8-4-10)p 附面层几个厚度之间的关系是(8-4-11)三、附面层微分方程p 选取图8-8所示坐标系，推导二维定常不可压缩流的平壁附面层微分方程组。图8-8 沿平壁的二维层流附面层p 忽略彻体力时，二维定常不可压流的控制方程组为连续方程(8-4-12)动量方程(8-4-13)(8-4-14)p 设L和U分别为x方向的特征长度和特征速度，和V分别为y方向的特征长度和特征速度，来流静压p为特征压强，L/U为特征时间，定义如下无量纲量，(8-4-15)，(8-4-16)适当选取特征量，可以使上述无量纲量都具有1的数量级。p 将上述无量纲量代入连续方程(8-4-12)，可得(8-4-17)因为无量纲速度的偏导数具有1的数量级，所以改写上式，并将式(8-4-2)代入，有，(8-4-18)p 将无量纲量代入动量方程(8-4-13)和(8-4-14)，并利用上式，可得各项的数量级(8-4-19)(8-4-20)以上两式中，各项下面是其数量级。压强的数量级由惯性力和黏性力决定，在附面层中，惯性力和黏性力为同一量级，所以压强的数量级与第二项黏性力的相同，即(8-4-21)(8-4-22)p 比较式(8-4-19)和式(8-4-20)中各项的数量级，略去高阶小量，并化回有量纲形式，有连续方程(8-4-23)动量方程(8-4-24)(8-4-25)p 上式说明，在附面层法线方向上没有压强梯度，即附面层法线截面内的压强是常数。因此，在附面层流动方向上，压强的分布规律与附面层外主流的压强分布相同。p 附面层内的黏性流动与主流区的无黏流动相互影响。一方面，根据位移厚度的定义，无黏流所绕流的物体等同于原物体叠加厚度为*的附面层后的等效物体，其形状只有在获得附面层的解之后才能确定，所以主流区的无黏势流取决于附面层流动；另一方面，主流区的压强分布和速度分布是求解附面层流动的边界条件，所以附面层流动也取决于主流区流动。p 正是由于附面层内流动与主流区流动的相互影响，因此两者的求解耦合在一起需要迭代求解。p 作为一级近似，由于Re很大时附面层很薄，所以在用势流理论求解无黏主流区流动时，可以忽略位移厚度的影响，将外部绕流当成附面层不存在时绕原物体的流动，即主流区的流动可以单独求解。当获得主流区无黏流的解以后，再用附面层方程求解附面层内的流动。一般情况下，这种近似方法能满足工程问题的精度要求，但在分离点附近或附面层较厚时，这种方法将导致较大误差。p 在一级近似下，物面上的无黏流就是附面层外边界上的流动，其动量方程是(8-4-26)式中，Ue(x,t)和pe(x,t)就是附面层外边界上的速度分布和压强分布，在求解附面层方程时认为它们都是已知的。将上式代入附面层微分方程可得(8-4-27)(8-4-28)这就是沿平壁的二维不可压层流的附面层方程，通常称为普朗特附面层方程。p 附面层方程的初、边界条件由于方程中不再存在关于x的二阶导数，故只需给出某截面x0上的初始速度分布，下游边界条件不再需要；由于速度分量v只出现在连续方程中，且为一阶导数，故v只需一个边界条件。所以边界条件 物面上无滑移条件：y=0时，u=v=0； 附面层外边界：y=时，u=Ue；或y=时，u=Ue；注：y=的边界条件称为有限厚度理论，y=的边界条件称为渐近理论。由于速度在这两个边界处相差极小，故这两个边界条件无本质差别。 附面层入口边界：x=x0时，u=u(x0,y,t)。初始条件t=t0时，u=u(x,y,t0)，v=v(x,y,t0)。p 普朗特附面层方程与原始的N-S方程相比，未知数从原来的3个（p,u,v）简化成2个(u,v)，方程数目从原来的3个也简化成2个，且只包含1个黏性项。这种简化也使方程组的数学性质发生了变化，即从原来的椭圆型变成了抛物型。p 但是，附面层方程组的求解仍是困难的，因为它仍是一个二阶非线性偏微分方程组。四、附面层的分离现象p 实验表明，物体绕流时，附面层可能会从物面上分离出来，从而在物体后面形成尾涡区，导致很大的尾涡阻力。如图8-9所示的圆柱绕流，在分离点S之后出现分离流动。图8-9 圆柱绕流时的分离流动p 分析分离流动产生的原因，有助于防止分离或推迟分离，从而减小阻力。p 对于定常流动，根据附面层动量方程(8-4-24)式，在物面上有(8-4-29)上式表明，在物面附近，速度分布斜率的变化只取决于沿附面层的压强梯度。又由附面层外边界上的动量方程(8-4-26)式知(8-4-30)可见，沿附面层的压强梯度取决于无黏主流区沿附面层的速度变化。根据速度的变化方向，压强梯度可以是 正值：压强沿流动方向增大称为逆压梯度； 负值：压强沿流动方向减小称为顺压梯度。p 图8-9所示圆柱绕流，从前驻点O开始到最小压强点M的前半部分流动是加速流动压强减小顺压梯度；从最小压强点M开始到后缘点F的后半部分流动是减速流动压强增大逆压梯度。所以，从前驻点O流到后缘点F的过程中，压强梯度改变符号。p 由物面上的附面层动量方程(8-4-29)式可知，在流动过程中，压强梯度改变符号必然导致速度分布斜率的变化，如图8-10和图8-11所示。图8-10 附面层分离示意图图8-11(a) 顺压梯度流动 顺压梯度流动 在附面层内边界即物面上：； 式(8-4-29) 从物面到附面层外边界：； 由此可见，始终有附面层内速度分布是无拐点的、向外凸的光滑曲线不会发生分离。 逆压梯度流动 在附面层内边界即物面上： ； 式(8-4-29) 在附面层外边界上：； 由此可见，在y=0范围内的符号发生变化，在某点P必有即附面层内速度分布出现拐点P，如图所示。图8-11(b) 逆压梯度流动图8-11 附面层内速度分布 在拐点P上方，速度分布外凸；在拐点P下方，速度分布内凹。 在流动过程中，伴随着黏性影响的逐渐累积拐点的位置也逐渐变化： 开始时，在最小压强点M处：，即拐点位于物面上； 再向下游流动时拐点离开物面向外移动，但仍有，只不过由于，即u增大的幅度减小了； 继续向下游流动，随着继续减小，必在某点S出现； 在此之后，因为所以； 因为在物面上u=0，所以u0即出现回流回流将附面层推离物面附面层分离现象。 出现的点S称为分离点，在该点处：，u=0； 回流形成的真空使下游流体倒流，当回流遇到其上方的顺流时，便跟随顺流向下游流去形成涡旋区； 在涡旋区中，回流与顺流的分界线是一条u=0的流线称为零流线，它起始于分离点S。 附面层分离后，回流将在顺流的携带下流向下游，并和物体后的流动混合形成尾涡区产生尾涡阻力。p 当附面层分离后，在分离点以及分离点后的附面层厚度大幅度增加速度分量u和v的数量级发生变化，v与u相比不再是小量，L的条件也不再满足附面层理论失效只能用完整的N-S方程组求解。同时，在分离点之前的流动也已受到分离流的影响外部势流发生明显变化，已不同于无分离时、势流在附面层外边界的速度分布和压强分布。p 综上所述，附面层分离是逆压梯度和黏性作用的综合结果。一方面，只有黏性作用而没有逆压梯度，不会发生分离，换句话说，顺压梯度永远不会产生分离；另一方面，只有逆压梯度而没有黏性作用，也不会发生分离。 如图8-12所示的自由滞止流，流体垂直撞击到墙壁，故有逆压梯度，但由于撞击前没有壁面的黏性作用，不会产生分离；图8-12 自由滞止流 如图8-13所示的减速滞止流，在流动的对称流线上放置一个垂直于墙壁的平板，则流体既受滞止时的逆压梯度又受到平板的黏性作用，因而在平板与墙壁相交的拐角处产生尾涡附面层从平板上分离。图8-13 减速滞止流p 还需要指出的是，逆压梯度和壁面黏性摩擦力的存在仅是发生分离的必要条件，而非充分条件，是否分离还要看它们作用的大小。如翼型绕流，当攻角较小时，逆压梯度也较小，不发生分离；当攻角较大时，逆压梯度也增大，就可能出现分离。如图8-14所示。 (a)无分离流动 (b)分离流动图8-14 翼型绕流照片五、附面层积分方程p 在满足相似性条件（第九章简单介绍）下，直接积分附面层微分方程，可以得到附面层流动的精确解。p 但在很多情况下，相似性条件得不到满足，因此很难直接积分，这时可使用附面层积分方程获得近似解。这里只介绍定常流动的附面层动量积分方程。p 用Ue乘以附面层微分方程组中的连续方程(8-4-27)可将其改写成(8-4-31)用连续方程(8-4-27)将动量方程(8-4-28)（定常情况）改写成(8-4-32)式中，(8-4-33)p 将连续方程(8-4-31)式和动量方程(8-4-32)两式逐项相减，得(8-4-34)p 上式的边界条件为：y=0时：u=0，v=0，=wy=时：u=Ue，=0p 利用边界条件积分上式，得(8-4-35)p 根据附面层位移厚度和动量损失厚度的定义，上式可改写成(8-4-36)式中，H为形状因子。p 上式称为卡门动量积分方程，它有3个未知数，即*、和w，故需补充两个关系式才能求解。p 附面层积分方程求解的思路是：根据附面层特性和主要边界条件，近似给出一个单参数（称为型参数）速度分布，用以代替附面层内的实际速度分布，然后代入积分方程，通过积分获得型参数的变化规律，进而再确定其它参数。p 显然，解的精度依赖于所选择的速度分布的合理程度，故积分解法只能是近似解法。8-5 湍流流动的基本方程一、湍流现象与特征p 自然界中的实际流动绝大部分是三维的湍流流动，如河流、大气运动等。湍流是流体黏性运动最复杂的形式；p 湍流的核心特征是其在物理上近乎于无穷多的尺度和数学上强烈的非线性，这使得人们无论是通过理论分析、实验研究还是计算机模拟来彻底认识湍流都非常困难；p 回顾计算流体力学的发展，流体运动的求解从易到难的排列是：势流黏性层流湍流，所以在流体力学发展历史中，早期研究主要是限于势流和层流；p 特别是上世纪80年代CFD非常活跃，发展了一系列高精度、高分辨率数值格式，从控制方程看，相当成功地解决了Euler方程的数值模拟，可以说Euler方程数值模拟方法的精度已接近它有效使用范围的极限；同时，还发展了一大批有效的网格生成技术及相应的软件，实现了工程计算所需要的复杂外形的计算网格生成。p 随着计算机的发展，80年代开始了可压缩雷诺平均方程以及三维定常黏性流动的模拟。90年代进入了非定常黏性流场的模拟；p 黏性流场具有高雷诺数、非定常、不稳定、剧烈分离流动的特点，需要继续寻求计算精度更高的数值方法以及更实用可靠的网格生成技术；p 目前，最为重要的关键性研究方向是湍流机理的研究。通过建立相应的数学模型及理论方法，将之运用到工程实际问题，仍是解决湍流问题的重要途径之一。p 湍流是无数不规则的不同尺度的涡旋相互掺混地分布在流动空间，涡旋形状与大小瞬息万变。欣兹将湍流定义为“流动状态的不规则性，流动的各种参数随时间和空间作随机变化，但有明确的统计平均值。”p 湍流产生原因的简单解释：在流场中总会存在一些小的、甚至无限小的扰动，如流体性质的微小变化、壁面的粗糙度、自由表面的影响、以及某种因素引起的微小变化等，在一定条件下（通常是低雷诺数），这些扰动将逐渐衰减，流动保持层流状态；当雷诺数增大时，小扰动将趋于增长，即流动是不稳定的，有可能发展为湍流。当雷诺数很大时，所有的流场结构都将变成湍流。p 著名的雷诺实验，如图8-15所示。图8-15 雷诺实验示意图p 圆柱绕流在低雷诺数下，流动相当规则，只有小部分杂乱运动，常称为“卡门涡街”。如图8-16所示；图8-16 低雷诺数下圆柱绕流的流动图画在中等雷诺数下，圆柱下游3040d处，流动逐渐紊乱，流体微团的运动呈现不规则状态。如图8-17所示；图8-17 中等雷诺数下圆柱绕流的流动图画在大雷诺数下，紧邻圆柱下游存在大小不等、相互掺混的涡旋，流动呈现出明显的不规则性和随机性，这就是湍流状态。如图8-18所示。图8-18 大雷诺数下圆柱绕流的流动图画p 湍流的基本特征湍流场似乎充满着许多不同尺度的、相互掺混的涡旋，单个流体微团的运动类似于分子的完全不规则的瞬态变化；湍流的各种物理量虽然是随时间和空间变化的随机量，但呈现出某种规律的统计学特征；湍流场中任意两个空间点的物理量具有某种程度的相关性，而不同的相关性特征依赖于不同的湍流结构和边界条件，因而不同的湍流呈现出千变万化的流动图画。p 值得指出的是，湍流中流体微团的不规则运动不同于分子的运动，表现在：分子在常温常压下是稳定的个体，而湍流中的流体微团则是由很多分子组成的，伴随着涡旋的不断产生、成长、分裂和消失，微团是瞬息变化的；分子只有在碰撞时才发生能量的交换，而在湍流中不断进行着大尺度涡旋形变分裂成较小尺度的涡旋，进而再分裂成更小尺度的涡旋，能量传递发生在这种逐级形变分裂所形成的“级串”中；分子运动的平均自由程与边界条件无关，而湍流的涡旋运动与边界条件有着密切关系。湍流中由黏性决定的最小涡旋尺度不可能小到使其中的流动不再成为连续流动，即不可能小到连续介质不再成立的程度，所以最小尺度的涡旋必定大于分子平均自由程。p 综上所述，湍流是一种在时间和空间上都有某种准周期性和连续性特征的随机运动。经典湍流理论就是在准周期性和连续性假设基础上寻求湍流各种随机物理量的统计平均值，但截至目前，还没有一个能适用于所有湍流运动的模化理论。二、湍流分类p 壁面湍流：是受固壁连续影响的湍流，如管内湍流、渠道湍流、绕流湍流等；p 自由湍流：不受固壁限制和影响的湍流，如自由射流湍流、尾迹中的湍流等；p 各向同性湍流：各种湍流量不随坐标系旋转而变化的湍流（即，无论在什么方向测量，给定点上的湍流量都具有同一值）。以速度为例，湍流场中任一空间点上各方向的速度脉动值无统计学意义上的特征差异，用数学形式表示，即(8-5-1)即各方向的湍流脉动动能相同。各向同性要求流场是均匀的，即任一点上的流动参数都相同。所以，凡是平均速度有变化的流场都不是各向同性湍流。这说明，各向同性湍流仅是一种理想情况。若只在某些个别空间点上满足各向同性条件，则称局部各向同性湍流；p 各向异性湍流：不满足各向同性条件的湍流。由于不同方向的脉动速度有差异，必定存在平均的脉动速度梯度，因而产生平均剪切应力，所以这种湍流又称为剪切湍流。三、时均值的定义和运算规则p 设湍流场中任一空间点上的某物理量A随时间快速脉动，其瞬时值可表示为(8-5-2)式中，为脉动量，为时间平均量，定义为(8-5-3)积分的时间尺度满足：湍流脉动的时间尺度T），eff+t，基于重整化群理论的亚网格模型就与SmagorinskyLilly模型相同，只是模型常数有区别；而在流场的低雷诺数区域，式(8-5-32)方括号中的第二项很小，即只有分子黏性在起作用。所以，基于重整化群理论的亚网格模型对流动转捩和近壁流动问题有较好的模拟效果。p 尽管大涡模拟法有其独特的优点，但用于实际三维湍流流动计算却有巨大的困难，具体表现在：亚网格模型需要极密的节点，因而需要庞大的计算机存储能力；大量计算数据和求解非线性偏微分方程组需要高速数值处理能力；需要非常可观的计算时间和经费。因此，用大涡模拟实际计算的例子不多，但是随着计算机的发展，这种方法将成为湍流数值模拟的下一个热点。3.直接数值模拟（DNS）。p 湍流的直接模拟是指对NS方程不用时均化，进行直接求解。在理论上，NS方程组本来就是封闭的，并不需要建立有关模型；p 在直接模拟中，构造尺寸接近Kolmogorov尺度的网格，直接求解原始的非定常NS方程组，初始扰动可以通过随机扰动来实现，计算过程将自动出现流动线性稳定、层流向湍流过渡的非线性过程和湍流充分发展后的变化；p 直接模拟要求网格尺寸足够小，储存的数据特别多，最后还需要进行某种统计处理才能使用。鉴于现有计算机的发展水平，即使少数拥有世界上最大的超级计算机的科学大国，目前也还只能计算中等雷诺数且几何较为简单的湍流流动；p 直接数值模拟所用的数值方法主要是谱方法和伪普法，其优点是精度高，有精确的空间微分，无数值黏性，缺点是只适用于简单的几何形状。对几何边界复杂的流动，湍流脉动运动包含很多不同的涡运动，划分计算网格的尺度应小到足以分辨最小涡的运动。过多的网格节点使得计算量非常庞大，目前的计算机水平还不能满足要求。8-6 湍流模型初步一、湍流模型的引入p 湍流运动物理上近乎无穷多尺度的漩涡流动和数学上的强烈非线性，使得理论、实验和数值模拟都很难解决湍流问题。虽然NS方程组能够准确地描述湍流运动地细节，但求解这样一个复杂的方程会花费大量的精力和时间。因此，采用平均NS方程组来描述工程中遇到的湍流运动是经常的做法；p 对三维非定常随机不规则的有旋湍流流动的NS方程进行平均（时均化）后，得到的平均方程中增加了6个未知的雷诺应力项，导致湍流基本方程组的不封闭问题。根据湍流运动规律以寻找附加条件和关系式使方程组封闭就需要引入湍流模型，而且在平均过程中失去了很多流动的细节信息，为了找回这些失去的流动信息，也必须使用湍流模型。所以，湍流模型问题就是通过适当模化雷诺应力，使方程组重新封闭的问题；p 目前，虽然许多湍流模型已经取得了某些预报能力，但至今还没有得到一个有效的统一的湍流模型。二、湍流模型的发展历程p 湍流模型理论的思想可追溯到100多年前。为了求解雷诺应力，使方程封闭，早期的处理方法是模仿黏性流体应力张量与变形率张量的关联表达式，直接将脉动特征速度与平均运动的速度场联系起来；p 19世纪后期，布辛涅斯克提出用涡黏性系数的方法来模拟湍流流动，通过涡黏性系数将雷诺应力和平均流场联系起来，涡黏性系数的数值用实验方法确定；p 到二次世界大战前，发展了一系列的所谓半经验理论，其中包括得到广泛应用的普朗特混合长度理论，以及G.I泰勒涡量传递理论和Karman相似理论。他们的基本思想都是建立在对雷诺应力的模型假设上，使雷诺平均运动方程组得以封闭；p 1940年，我国流体力学专家周培源教授在世界上首次推出了一般湍流的雷诺应力输运微分方程，1951年西德Rotta又发展了周培源的工作，提出了完整的雷诺应力模型。他们的工作现在被认为是以二阶封闭模型为主的现代湍流模型理论的最早奠基工作。但因为当时计算机水平的落后，方程组实际求解还不可能；p 70年代后期，由于计算机技术的飞速发展，周培源等人的理论重新获得了生命力，湍流模型得到迅速发展，建立了一系列两方程模型和二阶矩模型，已能成功地模拟边界层和剪切层流动；p 但是，对于复杂的工业流动，比如大曲率绕流，旋转流动，透平叶栅动静叶互相干扰等，这些因素对湍流的影响还不清楚，成为21世纪湍流模型研究的主要内容。三、典型湍流模型简介p 在工程应用中，曾经出现过很多湍流模型，对这些湍流模型的分类也有不同的方法。p 按模型所使用的湍流量输运微分方程的数目来分类，有零方程模型、1方程模型、2方程模型和多方程模型。为了使时均N-S方程组封闭，需要增加n个其他方程才能时，则该模型就被称为n方程模型：零方程模型：雷诺应力是时均量的某种代数函数，不包含描述湍流量的输运微分方程；1方程模型：在零方程模型基础上，增加1个湍流量的输运微分方程使方程组封闭；2方程模型：在零方程模型基础上，增