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2006线性代数考研题 高数一1(5)设矩阵为二阶单位矩阵，矩阵满足则1(11) 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是 ( )。若 线性相关，则线性相关。 若 线性相关，则线性无关。 若 线性无关，则线性相关。 若 线性无关，则线性无关。2(12)设为三阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则 ( )。 3(20)已知非齐次线性方程组 有三个线性无关的解。(1)证明方程组系数矩阵的秩；(2)求的值及方程组的通解。3(21)设三阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量线性方程组的两个解。(1) 求的特征值与特征向量(2) 求正交矩阵 和对角矩阵，使得= 。高数二1(6) 设矩阵为2阶单位矩阵，矩阵满足，则2(13) 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是 ( )。若 线性相关，则线性相关。 若 线性相关，则线性无关。 若 线性无关，则线性相关。 若 线性无关，则线性无关。2(14) 设为三阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则 ( )。 3(22) 已知非齐次线性方程组 有三个线性无关的解。(1)证明方程组系数矩阵的秩；(2)求的值及方程组的通解。3(23) 设三阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量线性方程组的两个解。(1) 求的特征值与特征向量(2) 求正交矩阵 和对角矩阵，使得= 。高数三1(4) 设矩阵为2阶单位矩阵，矩阵满足，则2(12) 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是 ( )。若 线性相关，则线性相关。 若 线性相关，则线性无关。 若 线性无关，则线性相关。 若 线性无关，则线性无关。2(13) 设为三阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则 ( )。 3(20)设4维向量组 问为何值时，线性相关？当线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。3(21) 设三阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量线性方程组的两个解。(1) 求的特征值与特征向量(2) 求正交矩阵 和对角矩阵，使得= 。高数四1(4)已知为2维列向量，矩阵若行列式，则1(5) 设矩阵为2阶单位矩阵，矩阵满足，则2(12) 设为三阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则 ( )。 3(20) 设4维向量组 问为何值时，线性相关？当线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。3(21) 设三阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量线性方程组的两个解。(1) 求的特征值与特征向量(2) 求正交矩阵 和对角矩阵，使得= 。2005线性代数高数一1(5)设均为三维列向量，记矩阵。如果，则2(11) 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充分必要条件是 ( )。 2(12) 设为阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，分别为的伴随矩阵，则 ( )。交换的第1列与第2列得。 交换的第1行与第2行得。交换的第1列与第2列得。 交换的第1行与第2行得。3(20) 已知二次型的秩为2。(1) 求的值；(2) 求正交变换把化成标准形(3) 求方程的解。3(21) 已知三阶矩阵的第一行是其中不全为零，矩阵(为常数)，且，求线性方程组的通解。 高数二1(6)设均为三维列向量，记矩阵。如果，则2(13) 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充分必要条件是 ( )。 2(14) 设为阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，分别为的伴随矩阵，则 ( )。交换的第1列与第2列得。 交换的第1行与第2行得。交换的第1列与第2列得。 交换的第1行与第2行得。3(22) 确定常数，使向量组可由向量组线性表示，但向量组不能由向量组线性表示。3(23) 已知三阶矩阵的第一行是其中不全为零，矩阵(为常数)，且，求线性方程组的通解。 高数三1(4)设行向量组线性相关，且，则2(12)设矩阵满足其中为的伴随矩阵，为的转置矩阵。若为三个相等的正数，则为 ( )。 2(13) 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充分必要条件是 ( )。 3(20)已知齐次线性方程 和 同解，求的值。3(21) 设为正定矩阵，其中分别为阶，阶对称矩阵，为阶矩阵。计算其中；利用的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论。高数四1(4) 设行向量组线性相关，且，则1(5) 设均为三维列向量，记3阶矩阵。如果，则2(12) 设均为阶矩阵，为阶单位矩阵，若则为 ( )。 3(20) 已知齐次线性方程 和 同解，求的值。3(21)设为3阶矩阵，是线性无关的3阶列向量，且满足 。(1) 求矩阵，使得(2) 求矩阵的特征值；(3) 求可逆矩阵，使得为对角矩阵。2004线性代数高数一1（5）设矩阵，矩阵满足其中为的伴随矩阵，E是单位矩阵，则2（11）设A是三阶矩阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足的可逆矩阵为（）。 2（12）设为满足的任意两个非零矩阵，则必有（）。A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。 A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关。 A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关。 A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关。3（20）设有齐次线性方程组 试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。3（21）设矩阵的特征方程有二个二重根，求的值，并讨论A是否可相似对角化。高数二1（6）设矩阵，矩阵B满足其中为A的伴随矩阵，E为单位矩阵，则2（13）设A是三阶矩阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足的可逆矩阵为（）。 2（14）设为满足的任意两个非零矩阵，则必有（）。A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。 A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关。 A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关。 A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关。3（22）设有齐次线性方程组试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。3（23）设矩阵的特征方程有二个二重根，求的值，并讨论A是否可相似对角化。高数三1（4）二次型的秩为2（12）设阶矩阵A与B等价，则必有（）。 时，。当 时，。当时，。 当时，。2(13)设阶矩阵A的伴随矩阵，若是非齐次线性方程组的互不等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系 ( )。不存在。 仅含一个非零解向量。 含有两个线性无关的解向量。 含有三个线性无关的解向量。3(20)设，试讨论当为何值时，() 不能由线性表示；() 可由唯一地线性表示，并求出表示式；() 可由线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式；3(21)设阶矩阵 ()求的特征值和特征向量；()求可逆矩阵，使得为对角矩阵。高数四1(4)设其中为3阶可逆矩阵，则1(5)设是实正交矩阵，且则线性方程组的解是2(12)设阶矩阵与等价，则必有 ( )。 时，。当 时，。当时，。 当时，。2(20)设线性方程组 已知是方程组的一个解，试求：(1) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2) 该方程组满足的全部解。2(21)设3阶实对称矩阵A的秩为2，是A的二重特征值，若都是A的属于特征值6的特征向量。 (1) 求A的另一特征值和对应的特征向量(2) 求A。2003线性代数高数一（4）：从的基到基的过渡矩阵为2（4）：设向量组时，向量组必线性相关。：可由向量组：线性表示，则（）。当时，向量组必线性相关。当时，向量组必线性相关。当时，向量组必线性相关。当时，向量组必线性相关。2（5）：设有齐次线性方程组和，其中均为矩阵，现有四个命题： 若的解均是的解，则秩 秩。 若秩 秩，则的解均是的解。 若与同解，则秩秩。 若秩秩，则与同解。9：设矩阵求的特征值与特征向量，其中为的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。10：已知平面上三条不同直线的方程分别为试证这三条直线交于一点的充分必要条件为。高数二1（5）：设为3维列向量，是的转置，若，则1（6）：设三阶方阵满足其中E为三阶单位矩阵，若，则2（6）：设向量组时，向量组必线性相关。：可由向量组：线性表示，则（）。当时，向量组必线性相关。当时，向量组必线性相关。当时，向量组必线性相关。11：若矩阵相似于对角矩阵B，试确定常数的值，并求可逆矩阵使。12：已知平面上三条不同直线的方程分别为试证这三条直线交于一点的充分必要条件为。高数三1（4）：设维向量为阶单位矩阵，矩阵，其中A的逆矩阵为B，则2（4）：设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有（）。 或。 或。且。且。2（5）：设均为维向量，下列结论不正确的是：（）。若对于任意一组不全为零的数都有，则线性无关。若线性相关，则任意一组不全为零的数有。线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为。线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。9：已知齐次线性方程组其中试讨论和满足何种关系时，（2） 方程组仅有零解。（3） 方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。10：设二次型，其中二次型的矩阵A的特征之和为1，特征值为12。（1） 求的值。（2） 利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。高数四1（4）设均为3阶矩阵，E是3阶单位矩阵，已知，则1（5）设维向量为阶单位矩阵，矩阵，其中A的逆矩阵为B，则2（4）设矩阵，已知矩阵A相似于B，则秩与秩之和等于（）。2 。 3。4。5。9：设有向量组（）：和向量组（）：。试问：当为何值时，向量组（）与（）等价？当为何值时，向量组（）与（）不等价？10：设矩阵可逆，向量是矩阵的一个特征向量，是对应的特征值，其中 是矩阵的伴随矩阵，试求和的值。2002年线性代数高数一1（4）已知实二次型经正交变换可以化成标准形，则2（4）设有三张不同平面的方程它们组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为（）。 9：已知四阶方阵，均为四维列向量，其中线性无关，如果，求线性方程组的通解。10：设为同阶方阵。（1）如果相似，试证的特征多项式相等。（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立。（3）当均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立。高数二1（5）：矩阵的非零特征值是。2（5）：设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数必有（）。线性无关。线性相关。 线性无关。线性相关。11：已知为3阶矩阵，且满足，其中是3阶单位矩阵。（1） 证明：矩阵可逆；（2） 若，求矩阵。12：已知四阶方阵，均为四维列向量，其中线性无关，如果，求线性方程组的通解。高数三1（3）设三阶方阵三维列向量。已知与线性相关，则2（3）设A是矩阵，B是矩阵，则线性方程组。（）当时仅有零解。当时必有非零解。当时仅有零解。当时必有零解。2（4）设A是阶实对称矩阵，P是阶可逆矩阵。已知维列向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵的属于特征值的特征向量是（）。 。 。 。 9：设齐次线性方程组其中。试讨论为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。10：设A为3阶实对称矩阵，且满足条件，已知A的秩。（1） 求A的全部特征值。（2） 当为何值时，矩阵为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵。高数四1（3）：设矩阵则1（4）：设向量组线性无关，则满足关系式2（3）设为阶矩阵， 分别为对应的伴随矩阵，分块矩阵，则的伴随矩阵（）。9：设四元齐次线性方程组为，且已知另一个四元齐次线性方程组的一个基础解系为。求方程组的一个基础解系。当为何值时，方程组与有非零公共解？在有非零公解时，求出全部非零公共解。10：设实对称矩阵，求可逆矩阵，使为对角形矩阵，并计算行列式的值。2001年线性代数高数一1（4）：设矩阵满足，其中为单位矩阵，则2（4）：设，则与。合同且相似。合同但不相似。不合同但相似。不合同且不相似。9：设为线性方程组的一个基础解系，其中为常数，试问满足什么关系时，也为的一个基础解系。10：已知三阶矩阵与三维向量，使得向量组线性无关，且满足。（1） 记，求三阶矩阵，使（2） 计算行列式高数二1（5）设方程有无穷多个解，则11：已知矩阵，且矩阵满足，其中是3阶单位矩阵，求。12：已知是线性方程组的一个基础解系，若，讨论实数满足什么关系时，也是的一个基础解系。高数三1（3）设矩阵，且秩，则2（3）设，其中可逆，则等于（）2（4）设是阶矩阵，是维列向量，若秩秩，则线性方程组（）。必有无穷多解。必有唯一解。仅有零解。必有非零解。9：设矩阵，已知线性方程有解但不唯一。试求：（1）的值；（2）正交矩阵，使为对角阵。10：设为阶实对称矩阵，秩中元素的代数余子式二次型。（1） 记，把写成矩阵形式，并证明二次型的矩阵为；（2） 二次型与的规范形是否相同？说明理由。高数四1（3）设行列式，则第四行各元素余子式之和的值为1（4）设矩阵且秩，则2（3）设，其中可逆，则等于（）9：设矩阵，已知线性方程有解但不唯一。试求：（1）的值；（2）正交矩阵，使为对角阵。10：设是是维向量，且线性无关，已知是线性方程组的非零解向量，试判断向量组的线相关性。2000年线性代数高数一1（4）：已知方程组无解，则。2（4）：设维列向量组线性无关，则维列向量组线性无关的充分必要条件为（）向量组可由向量组线性表示。（）向量组可由向量组线性表示。()向量组可由向量组等价。（）矩阵与矩阵等价。10：设矩阵的伴随矩阵，且，其中为四阶单位矩阵，求矩阵。11：某试验性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经培训及实践至年终考核有成为熟练工。设第年1月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记向量。（1） 求与的关系式并写成矩阵形式；（2） 验证，是的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3） 当时，求。高数二1（5）：设，为4阶单位矩阵，且，则。12：设，其中是的转置，求解方程。13：已知向量组与向量组 ，具有相同的秩，且可由，线性表示，求的值。高数三1（3）：若四阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，则行列式。2（3）：设是四元非齐次线性方程组的三个解向量，且秩表示任意常数，则线性方程组的通解为（）。2（4）：设为阶实矩阵，是的转置矩阵，则对于线性方程组和，必有：（）。：的解是的解，的解也是的解。：的解是的解，但的解不是的解。：的解不是的解，的解也不是的解。：的解是的解，但的解不是的解。9：设向量组。试问：当满足什么条件时，（1）可由线性表出，且表示唯一？（2）不能由线性表出？（3）可由线性表出，但表示不唯一？并求出一般表示式。10：设有元实二次型，其中为实数。试问：当满足何种条件时，二次型为正定二次型。高数四1（3）：设矩阵为正整数，则1（4）：已知4阶矩阵相似于，的特征值为为4阶单位矩阵，则2（3）：设是四元非齐次线性方程组的三个解向量，且秩，表示任意常数，则线性方程组的通解为9：设向量组。试问：当满足什么条件时，（1）可由线性表出，且表示唯一？（2）不能由线性表出？（3）可由线性表出，但表示不唯一？并求出一般表示式。10：设矩阵，已知有三个线性无关的特征向量，是的二重特征值，试求可逆矩阵，使得为对角矩阵。2007年研究生入学考试高等代数试题多项式2007-022-1证明;如果不全为零，且。2007-029-1已知求多项式除以的余式。2007-029-2证明：如果那么2007-008-9设, 其中是互不相同的整数.证明f(x)是有理数域上的不可约多项式.2007-021-12007-021-22007-012-1设是数域P上的两个多项式,a,b,c,dP，,证明：2007-001-6设是一个数域,是中次数大于0的多项式,证明：如果对于任意的,若有,那么是不可约多项式.2007-031-4设多项式是首项系数为1的不可约多项式，若，则1.2007-032-1（1）（判断题）整系数多项式整除。2007-032-1（2）（判断题）若是素数，则是不可约整系数多项式。2007-033-6 设是整系数多项式，是互不相同的整数，。证明：对任意的整数，不是素数。2007-035-1（12）（选择、是非及填空题） 如果多项式在有理数域上可约，则 。2007-035-1（13）（选择、是非及填空题） 当实数 时，多项式有重根。2007-037-3求多项式在有理数域、实数域和复数域上的标准分解式。2007-037-5证明：如果，那么。2007-038-4设是互不相同的实数，是任意一组给定的实数。证明：存在唯一的次数小于的多项式，使得，。2007-039-1设和是两个多项式，证明：的充分必要条件是：且。2007-011-1设是非零复多项式，用记的微分（导数）多项式，设是与的最大公因子，设整数。证明：复数为的重根的必要充分条件是为的重根。请说明这里为什么需要假设？2007-042-51.设为数域上的多项式，证明当且仅当。2.用除的余式依次为，试求用除的余式。2007-043-1设为有理数域上的一个多项式1. 证明有上不可约。2. 设为整系数多项式，证明：与不互素当且仅当为以下线性方程组的一个整数解 3. 假设，证明对于的任意一个复数根有。4. 证明：对于的任意一个复数根，存在次数不大于2的多项式使得，其中同第3小题。2007-044-1试求一个9次多项式，使得能被整除，而且能被整除。2007-018-1假设为任意给定的一个数域而为复数域，为上的次数大于0的多项式。证明如果在上没有重因式，那么在上没有重根。2007-013-2设是数域，有公共的复根，那么必有。2007-007-1（7）（填空）设是的两个多项式，中的多项式称为的一个最大公因式，如果它满足条件 。2007-007-3设是整系数多项式。证明：如果，那么。2007-004-1设多项式只有非零常数公因子，证明：存在多项式，使得。2007-004-2设都是非负整数，证明：整除。2007-047-1（3）（填空）设是有理系数多项式，且在复数域上有整除，则有理数域上 （选填“一定”或“未必”）有整除。2007-026-6设。若被整除，求。2007-026-15求多项式在有理数域上的分解式。2007-024-1（1）（判断题）设是有理数域，则也是数域，其中。2007-024-1（2）（判断题）设是数域上的多项式，。如果是的三阶导数的重根，并且。则是的重根。2007-024-1（3）（判断题）设，则在有理数域上不可约。2007-024-1（4）（判断题）设都是整系数多项式，是有理系数多项式并且它们满足，则也是整系数多项式。2007-024-5设为正整数，都是多项式，并且证明：。2007-010-2（1）（解答题）证明：如果，则。行列式2007-022-2计算行列式：2007-029-3证明： 2007-008-2计算n(n1)阶行列式 , 其中 2007-021-32007-012-4设 ，求如下行列式：。2007-030-2（4）（填空题）设行列式，则第四行各元素余子式之和的值为 。2007-031-1计算阶行列式：2007-032-2（1）（计算题），求行列式的值2007-033-1 计算级行列式2007-034-1（1）（计算题）试求下列行列式的值：2007-035-2（16）（计算与证明题） 计算行列式：2007-019-1已知行列式，其中是互不相同的数，并求出是最高次项的系数和的根。2007-038-1计算阶行列式。2007-039-2计算，其中。2007-039-8设为阶非零方阵，若的每一个元素等于它自己在行列式中的代数余子式。证明是正交矩阵。2007-041-1计算阶行列式。2007-042-2（1）计算下列阶行列式2007-043-81.设是有理数域上的次多项式，首项为。证明： 2.设。证明：多项式函数在上线性无关。2007-045-1（2）（问题）设阶矩阵的各行元素之和为常数，则的各行元素之和是否为常数？若是，是多少？说明理由。2007-013-1设是多项式的全部复根，1. 求行列式的值。2. 求的判别式的值。3. 设，求行列式的值。2007-007-2计算下列行列式2007-046-2计算行列式2007-004-4计算阶行列式2007-047-1（1）（填空） ，其中为数乘矩阵，即由单位矩阵的第行乘以后得到的矩阵，是消去矩阵，即由单位矩阵的第行乘以加到第行后得到的矩阵。2007-047-1（2）（填空）设行列式，则第4行各元素余子式之和 。2007-026-1计算行列式，其中，但。2007-024-2（1）（填空题）设，则中的系数为 ，常数项等于 。线性方程组2007-022-3设是非齐次方程组的一个解，是它的导出组的一个基础解系，令，证明：线性无关且方程组的任一解都可表成2007-029-5设A，B是n阶方阵，齐次线性方程组AX=0和BX=0分别有k, m个线性无关的解向量。（1）证明(AB)X=0至少有max(k. m)个线性无关的解向量；（2）若k+mn.证明(A+B)X=0必有非零解；（3）如果AX=0和BX=0无公共的非零解向量，且k+m=n.证明中任一向量可唯一表成分别是AX=0和BX=0的解向量。2007-029-6设为一线性无关的向量组，为向量。证明：要么向量组线性无关，要么向量组线性无关。2007-008-1设整系数的线性方程组为,证明该方程组对任意整数都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于.2007-008-4设是某个齐次线性方程组的基础解系,而是该齐次线性方程组的k个线性无关的解,并且ks.求证中必可取出s-k个解,使得它们个一起构成原方程组的一个基础解系.2007-021-102007-030-1（1）（选择题）设为级矩阵，已知命题：只有零解； 有唯一解；的行向量组线性无关；的列向量组线性无关. 则有 (A) . （B） . (C) . (D) . 2007-030-3（1）（计算与证明题）设为四维列向量组，且线性无关，. 已知方程组有无穷多解，(1)求的值；(2) 用基础解系表示该方程组的全部解.2007-030-3（2）（计算与证明题）设，为四维列向量组，求(1)为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量用线性表出；(2)为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.2007-030-3（5）（计算与证明题）已知三维向量组（I）线性无关，（）线性无关。(1) 证明：存在向量，即可由线性表示，也可由线性表示。(2) 当时，求（1）中的。2007-031-2取何值时，线性方程组有解？并求其通解.2007-032-5问为何值时线性方程组没有解、有唯一解、有无穷多解？2007-033-4设是一个行列的矩阵。证明的秩至多为1的充分必要条件是有一个列向量与一个行向量，使得。2007-035-1（1）（选择、是非及填空题）设，。如果向量与向量的秩相等，则 。2007-035-1（7）（选择、是非及填空题）设向量组线性无关，向量组线性相关，则（ ）。（A）可被线性表示，可被线性表示；（B）可被线性表示，不可被线性表示；（A）不可被线性表示，可被线性表示；（A）不可被线性表示，不可被线性表示； 2007-035-1（11）（选择、是非及填空题） 设是矩阵，下列命题正确的是（ ）（A）若，则有唯一解 （B）若，则有无穷多解（A）若，则有解 （B）若，则有解 2007-035-2（19）（计算与证明题） 设为阶方阵。（1） 证明：如果为实矩阵，则非齐次线性方程有解;（2） 对任意的复矩阵，非齐次线性方程组是否一定有解？（请说明理由） 2007-035-2（21）（计算与证明题） 设与为两个向量组。证明：向量组与等价的充分必要条件是存在可逆矩阵使 2007-036-1 给定上的向量组和，如果可被线性表出，且，则向量组线性相关。2007-036-2 数域上的齐次线性方程组的一个基础解系。2007-019-2 证明平面上三条不同的直线相交的充分必要条件是2007-037-2求解矩阵方程，其中，2007-037-4设列向量，这里表示转置。（1） 求向量组的极大无关组；（2） 求向量组的秩；（3） 令，问为何值时，线性方程有解？在有解的情形时，求其全部解。2007-037-10设有两个线性方程组（）： （）： （1） 求（）的通解；（2） 当且仅当（）中的参数为何值时，（）和（）同解。2007-038-2求出齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基。2007-039-6讨论取什么值时，线性方程组有解？无解？并在方程组有解时求出其解。2007-039-7设有下列向量组及向量，求：当取何值时，（1）不能由向量组线性表出？（2）可由向量组线性表出？写出的线性表出式。2007-040-3设有个向量，其分量满足，证明这个向量线性无关。2007-041-2已知线性方程组（）和（）同解，试确定的值。2007-011-2设是矩阵，设是线性方程组的非零解。证明：（1）如果的任何列向量非零，则中至少两个非零。（2）如果的任何两个列向量线性无关，则中至少三个非零。（3）推广（1）、（2）,你得到什么结论？请证明你的结论。2007-011-3对矩阵，记是的转置矩阵。（1）设是实矩阵，证明：实线性方程组与实线性方程组同解。（2）证明：实矩阵的秩与矩阵的秩相等。（3）在复数域上，上述结论成立吗？为什么？（4）对复数域，你认为应如何修改断言（2）得到一个正确断言？为什么？2007-042-1（3）（判断题）若维向量不在由的列向量生成的列向量空间中，则方程组无解2007-042-1（4）（判断题）对一个矩阵实行行初等变换不改变其列向量的线性关系。2007-042-1（5）（判断题）任一个实方阵必相似一个实上三角阵。2007-042-2（2）已知，试证明方程组有唯一解，并求出它的解。2007-042-3问取何值时，方程组（1）有唯一解，（2）无解（3）有无穷多解，此时求出它的通解，其中，2007-042-4设，证明的解也是的解的充要条件是个方程组都有解，其中，。2007-044-2由向量生成的的子空间记为。求一个齐次线性方程组，使它的解空间为。2007-045-1（4）（问题）设都是矩阵，线性方程组与同解，则与的列向量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例。2007-045-1（5）（问题）把实数域看成有理数域上的线性空间，这里的是互不相同的素数。判断向量组是否线性相关？说明理由。2007-013-1（1）（填空）若4元齐次线性方程组的解空间是一维的，则 ;此时该线性组的一个基础解系为 。2007-013-1（2）（填空）设是列向量，令，若，则 。2007-013-1（7）（填空）设，则基到基的过渡矩阵为 ，若向量在基下的坐标为，则在基下的坐标为 。2007-013-4叙述并证明线性方程组有解的判别定理：当线性方程组有解时，给出它的通解并证明之。2007-007-1（4）（填空）设向量组线性无关，也线性无关，且相互正交，则向量组， （填线性无关或线性相关）。2007-007-1（10）（填空）设是非齐次线性方程组的解，若也是解，则 。2007-007-6设有三维列向量。问取何值时，（1）可由线性表出，且表达式唯一，（2）可由线性表出，且表达式不唯一，（3）不能由线性表出。2007-046-3（1）设有一向量组，从中任取个向量。若秩，秩.（2）设是矩阵，若是列满秩矩阵（即的列向量组是线性无关的），则必存在阶可逆矩阵，使。2007-004-5设是齐次线性方程组的基础解系，。试问：应该满足什么关系，使得是方程组的基础解系，反之，当是方程组的基础解系时，这个关系必须成立。2007-047-2设是线性空间的向量，线性无关，则线性相关的充分必要条件是可由的线性组合。2007-048-1已知3维列向量，且与等价。1. 求参数的值，2. 记矩阵，。求矩阵，使得。2007-048-6假设矩阵，。证明：矩阵方程有解，而没有解。试将本题结果推广到一般情形（只需给出结果，不必证明）。2007-026-2在线性空间中，求向量组的一个极大线性无关组。2007-026-4在线性空间中，已知共面，求。2007-026-7设矩阵，其中线性无关，向量，求方程组的通解。2007-024-1（6）（判断题）设与为两个维向量组。若可由线性表出且，则线性无关。2007-024-3设向量组1. 求向量组的秩；2. 求向量组的一个极大线性无关组；3. 将向量组中其余向量表为极大线性无关组的线性组合。2007-010-1（2）（填空题）若向量能由向量组唯一线性表示，则的取值范围是 。2007-010-5已知线性方程组讨论何值时，方程组有解，在有解的情况下，求其通解。2007-010-9设，如果方程组有解但不唯一，求（1）参数的值；（2）正交矩阵与对角阵，使得。矩阵2007-022-4设A是n级实对称矩阵，证明：A的秩当且仅当存在实矩阵B,使为正定矩阵。2007-029-4设A是n阶非奇异矩阵，是n维列向量，b为常数。记分块矩阵是A的伴随矩阵。（1）计算并简化；（2）证明Q可逆的充要条件是2007-008-3假设矩阵A,B,C满足ABC有意义.求证:秩(AB)+秩(BC) 秩(B)+ 秩(ABC)2007-021-42007-012-3设矩阵A,B，证明：。其中R(.)表示矩阵的秩。2007-012-6设矩阵A满足，设B=A+2E,其中E为单位矩阵，问矩阵B是否可逆，若可逆，求出，若不可逆，说明理由。2007-030-1（2）（选择题）设矩阵，其中可逆，则等于 （A） （B） （C） （D）2007-030-1（3）（选择题）设三级矩阵，若的伴随矩阵的秩为1，则有 （A）或（B）或（C）且（D）且2007-030-3（3）（计算与证明题）已知、为3级矩阵，且满足，其中是3级单位矩阵。(1)证明：矩阵可逆； (2)若，求矩阵.2007-031-2设 , ，求.2007-031-5设是的矩阵，是的矩阵，证明：.（表示矩阵的秩）2007-032-1（3）（判断题）存在矩阵使，其中是单位矩阵。2007-032-2（1）（计算题）矩阵，求的逆矩阵2007-032-3设、都是阶方阵，用表示矩阵的秩，证明2007-034-1（2）（计算题） 求3阶实矩阵的秩。2007-034-1（3）（计算题） 设为阶实正定对称矩阵，为任意阶实矩阵。试求分块矩阵的秩。 2007-035-1（3）（选择、是非及填空题） 设是一个阶方阵，满足，则（） 。（A）大于 （B）等于 （C）小于 （D）无法确定 2007-035-1（6）（选择、是非及填空题） 已知都是阶方阵，如果，则下列等式，一定成立的有（ ）个。（A）1 （B）2 （C）3 （D）42007-035-1（9）（选择、是非及填空题） 矩阵的逆矩阵 。2007-035-1（15）（选择、是非及填空题） 设3阶矩阵特征值1、-1、2,为的代数余子式，则 。 2007-035-2（18）（计算与证明题） 设。试求矩阵，使。2007-036-3 求证：（1） （2）设分别为矩阵和一个矩阵，则。 （3）2007-019-1 设为阶方阵，若存在唯一的阶方阵，使得，证明：。2007-019-7 设为阶方阵，证明：秩秩秩2007-019-9 设为二阶方阵，若有方阵，使得，证明2007-019-10 设为阶方阵，且与都可交换，证明存在不大于的正整数，使得。2007-037-6如果是矩阵，为的伴随矩阵，证明：这里表示矩阵的秩。2007-037-5设是秩数为的阶矩阵，证明有阶矩阵使得秩，且。2007-038-7设在分块矩阵中，是可逆矩阵，证明：（1） 行列式恒等式。（2） 在可逆时，求出2007-039-3（1）设为矩阵，且满足，则秩秩。（2）设是阶实对称矩阵，证明：如果，那么。2007-040-1已知，可逆，（1）求。（2）若可逆，则可逆，求。2007-040-9设为阶方阵，且满足，求一可逆矩阵，使为对角形。2007-041-3设是方阵，是方阵，且秩，证明：（）若，则；（）若，则（为单位矩阵）。2007-041-5设为阶幂等矩阵，即。证明秩秩，其中是任意常数。2007-011-4设是实方阵。证明如果下面三条中的任意两条成立则另一条也成立 ：（a）是正交矩阵 （b）为实对称阵 (c)，其中为单位矩阵2007-042-1（1）（判断题）设为阶方阵，且的秩等于的秩，则任何自然数都有秩等于秩。2007-042-8为非零矩阵但不必为方阵，证明有解当且仅当由必有，其中为单位矩阵。2007-043-3设为方阵，为单位矩阵。证明：，其中分别表示矩阵的秩。2007-043-5设为实数域上的一个3阶方阵，从矩阵开始，连续对矩阵作如下初等变换：（1）第一行乘5加到第三行，（2）第三列乘-2加到第二列，（3）交换第一行与第二行。结果得到了三阶单位矩阵，求矩阵。2007-045-1（3）（问题）设矩阵的秩为，任取的个线性无关的列向量，所组成的个线性无关的列向量，组成的阶子式是否一定不为0？若是，给出证明；若否，举出反例。2007-045-2设阶矩阵可交换，证明：。2007-013-4（1）设分别是阶和阶方阵，则秩（2）设都是阶方阵，令。则秩。2007-013-5设。1. 证明可以写成若干初等矩阵的乘积。2. 把写成的多项式。3. 在有理数域上是否相似于一个对角阵？说明理由。2007-007-1（1）（填空）设3阶矩阵，其中均为3维列向量，已知，则 。2007-007-1（2）（填空）设，则 。其中为给定的自然数。2007-007-1（3）（填空）设，则 ，其中是元素的代数余子式。2007-004-3设是阶实数矩阵，而且的每一个元素都和它的代数余子式相等。证明是可逆矩阵。2007-047-3设是阶方阵且。求证存在阶非零方阵使得。2007-047-5设是阶方阵，满足。求证秩秩秩秩。2007-048-3假设都是的实矩阵，并且，证明：存在可逆矩阵，使得，。2007-048-8（1）假设是秩为的矩阵，证明：存在秩为的矩阵，使得是可逆矩阵。2007-024-1（5）（判断题）级方阵可逆当且仅当的伴随矩阵可逆。2007-024-6设为级可逆矩阵，为矩阵，为级单位矩阵。若秩，则秩，其中表示的转置。2007-010-1（1）（填空题）设，如果存在4阶非零方阵，使得，则 。2007-010-2（2）（解答题）设都是阶方阵，是非奇异的，是阶单位方阵，且，。（1） 求乘积？（2） 证明：。2007-010-7设是矩阵，是矩阵，而是阶单位矩阵。如果，则的列向量组必线性无关。二次型2007-029-8设是实矩阵，E为n级单位矩阵。已知矩阵 证明：当时，矩阵B为正定矩阵。2007-029-9已知二次曲面方程为（1）求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？ 2007-008-8已知矩阵(1) 求二次型;(2) 用正交线性替换化二次型为标准型;(3) 证明定义了上的内积,其中是的列向量,是的转置,并求在该内积下的一组标准正交基.(4) 求实对称矩阵B使得,其中k为正整数(只要写出B的表达式,不必计算其中的矩阵乘积)2007-021-72007-012-2求实二次型 的规范形及符号差。2007-001（A）-1化二次型为标准型,并给出所用的非退化线性替换.2007-030-2（3）（填空题）已知实二次型的正负惯性指数都是1，则= .2007-030-3（6）（计算与证明题）设是级实对称矩阵，是正定矩阵，证明是可逆矩阵。2007-031-6设为阶正定矩阵，为实维非零列向量，当时有，证明： 线性无关.2007-031-9用正交线性替换将二次型化为标准型.2007-032-1（3）（判断题）两个对称矩阵之积仍是对称矩阵。2007-032-6设是阶正定矩阵，证明它的行列式的主对角线元素之积，等式成立当且仅当的对角阵。2007-032-7设是实欧氏空间的一组向量，证明这组向量线性无关当且仅当它们的矩阵可逆，其中。2007-033-3给出将化为标准形的正交线性替换。2007-034-4设为阶正交矩阵且-1不是的特征值。证明是