2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程学案.docx

211曲线与方程212求曲线的方程1了解曲线与方程的概念2理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义3掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤1曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2求曲线的方程的步骤 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)x2y21(x0)表示的曲线是单位圆()(2)若点M(x，y)的坐标是方程f(x，y)0的解，则点M在曲线f(x，y)0上()(3)方程yx与方程y表示同一曲线()答案：(1)(2)(3) 方程xy10(0x1)表示的曲线是()A直线 B射线C线段 D平面区域答案：C 已知等腰三角形ABC底边两端点是A(，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是()A一条直线 B一条直线去掉一点C一个点 D两个点答案：B 已知两定点A(2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A B4C8 D9答案：B 已知方程x2y25表示的曲线经过点A(，m)，则m的值为_答案：探究点1曲线与方程的概念(1)已知02，点P(cos ，sin )在曲线(x2)2y23上，则的值为()A BC或 D或(2)“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是“曲线C的方程是f(x，y)0”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件【解析】(1)将点P的坐标代入曲线(x2)2y23中，得(cos 2)2sin2 3，解得cos 又02，所以或故选C(2)“曲线C的方程是f(x，y)0”包括“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”和“以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上”两个方面，所以“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是“曲线C的方程是f(x，y)0”的必要不充分条件，故选C【答案】(1)C(2)C判定曲线和方程对应关系的两个关注点(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性注意只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程 1已知直线l：xy30及曲线C：(x3)2(y2)22，则点M(4，1)()A在直线l上，但不在曲线C上B在直线l上，也在曲线C上C不在直线l上，但在曲线C上D不在直线l上，也不在曲线C上解析：选B将点M的坐标分别代入直线l的方程和曲线C的方程，都成立，所以选B2已知坐标满足方程F(x，y)0的点都在曲线C上，下列命题正确的是()A曲线C上的点的坐标都满足方程F(x，y)0B不在曲线C上的点的坐标都不满足方程F(x，y)0C坐标不满足方程F(x，y)0的点都不在曲线C上D曲线C是坐标满足方程F(x，y)0的点的轨迹解析：选B因为选项B与已知条件互为逆否命题，由原命题与它的逆否命题同真假可知B正确故选B探究点2由方程判断曲线(1)如图所示，方程y表示的曲线是()(2)方程(xy1)0表示的曲线是什么？【解】(1)选B因为y所以函数值恒为正，且在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减故选B(2)由方程(xy1)0，可得或即xy10(x1)或x1故方程表示一条射线xy10(x1)和一条直线x1变条件若把本例(2)中的方程变为“(x2y21)0”，判断方程表示的曲线是什么解：由方程(x2y21)0得或即点(1，0)或x1，故方程表示直线x1或点(1，0)(1)方程表示的曲线的判断步骤(2)判断方程表示曲线的注意事项方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想 1方程x(x2y21)0和x2(x2y21)20所表示的图形是()A前后两者都是一条直线和一个圆B前后两者都是两个点C前者是一条直线和一个圆，后者是两个点D前者是两点，后者是一条直线和一个圆解析：选Cx(x2y21)0x0或x2y21，表示直线x0和圆x2y21x2(x2y21)20，表示点(0，1)，(0，1)2下列选项中方程与曲线能够对应的是()解析：选CA中方程表示圆，B中方程表示两条直线yx和yx；D中方程可化为y(x0)，只能取第一象限的图象探究点3求曲线的方程设圆C：(x1)2y21，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程【解】法一：(直接法)设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CPOQ因为OC的中点为M，连接MP，故|MP|OC|，得方程y2，由圆的范围知0x1法二：(定义法)因为OPC90，所以动点P在以点M为圆心，OC为直径的圆上由圆的方程得y2(0x1)法三：(代入法)设所作弦OQ的中点P(x，y)，Q(x1，y1)，则又因为点Q(x1，y1)在圆C上，所以(x11)2y1，所以(2x1)2(2y)21，即y2(0x1)法四：(参数法)设动弦OQ的方程为ykx，代入圆的方程得(x1)2k2x21，即(1k2)x22x0，所以x，ykx，消去k即可得(2x1)2(2y)21，即y2(0x1)求曲线的方程的常用方法(1)直接法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x、y的等式就得到曲线的轨迹方程(2)相关点法(代入法)有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法(3)定义法若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量(4)参数法在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹的方程 1到坐标原点的距离是到x轴距离2倍的点的轨迹方程是()Ayx ByxCx23y21 Dx23y20解析：选D设点的坐标为(x，y)，则2|y|，整理得x23y202已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，则M点的轨迹方程为_解析：作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知|OM|AB|3所以M的轨迹为以原点O为圆心，以3为半径的圆，故M点的轨迹方程为x2y29答案：x2y293已知点P是直线x2y30上的一个动点，定点M(1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则点Q的轨迹方程是_解析：设P(x0，y0)，则x02y030(*)又设Q(x，y)，由|PM|MQ|，知点M是线段PQ的中点，则，即(* *)将(* *)代入(*)，得(2x)2(4y)30，即x2y70答案：x2y701下列各组方程表示相同曲线的是()Ayx与yByx2与y|x|C(x1)2(y2)20与(x1)(y2)0Dy与y|x|解析：选DA中yx表示直线，y|x|表示两条射线；B中yx2表示抛物线，y|x|表示两条射线；C中前者表示一个点，后者表示两条直线x1和y2，故选D2到两坐标轴距离之和等于1的点的轨迹方程是()Axy1 Bxy1C|x|y|1 D|xy|1解析：选C动点P(x，y)到x轴和y轴的距离分别为|y|和|x|，故有|x|y|13方程y表示的曲线是()A一个圆 B一条射线C半个圆 D一条直线解析：选C由y可知y0，方程可化为x2y23(y0)，故表示的曲线是半圆4已知A(3，0)，B(3，0)，动点M满足1，求点M的轨迹方程解：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，(3x，y)，(3x，y)因为1，所以(3x，y)(3x，y)1，所以(9x2)y21，所以x2y28所以点M的轨迹方程为x2y28 知识结构深化拓展1定义中两个条件的理解(1)“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点(纯粹性)(2)“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有的点都在曲线上，毫无遗漏(完备性)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为给定方程的曲线的准则，缺一不可因此，在证明f(x，y)0为曲线C的方程时，必须证明两个条件同时成立2求动点的轨迹方程的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即：文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标(x，y)的代数方程f(x，y)0简化了的含x，y的代数方程f(x，y)0学生用书P103(单独成册)A基础达标1若方程x2y2k0与2xyk0所表示的两条直线的交点在方程x2y29表示的曲线上，则k等于()A3 B0C2 D一切实数解析：选A由得，代入x2y29得k32方程x22y22x2y0表示的曲线是()A一个点 B一条直线C一个圆 D两条线段解析：选A方程可化为(x1)22(y)20，所以即，它表示点(1，)故选A3设A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则点P的轨迹方程是()A(x1)2y22 B(x1)2y24Cy22x Dy22x解析：选A设圆(x1)2y21的圆心为C，半径为r，依题意得|PC|2r2|PA|2，即|PC|22，因此点P的轨迹方程是(x1)2y224方程x|y1|0表示的曲线是()解析：选B方程x|y1|0可化为|y1|x0，则x0，因此选B5已知点A，B的坐标分别是(1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM与BM的斜率之差是2，则点M的轨迹方程是()Ax2(y1) Bx2(y1)(x1)Cxyx21 Dxyx21(x1)解析：选B设M(x，y)，由题意得2(x1)，整理得x21y(x1)，即x2(y1)(x1)6在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足3，则点P的轨迹方程为_解析：由题意(x，y)，(1，2)，则x2y由3，得x2y3，即x2y30答案：x2y307若曲线y2xy2xk0过点(a，a)(aR)，则k的取值范围为_解析：因为曲线y2xy2xk0过点(a，a)，所以a2a22ak0所以k2a22a2所以k，所以k的取值范围是答案：8若等腰三角形底边的两个顶点是B(2，1)，C(0，3)，则另一顶点A的轨迹方程是_解析：由题意，知另一顶点A在边BC的垂直平分线上又BC的中点为(1，1)，边BC所在直线的斜率kBC2，所以边BC的垂直平分线的斜率为，垂直平分线的方程为y1(x1)，即x2y10又顶点A不在边BC上，所以x1故另一顶点A的轨迹方程是x2y10(x1)答案：x2y10(x1)9已知RtABC中，C为直角，且A(1，0)，B(1，0)，求满足条件的C的轨迹方程解：因为在RtABC中，C为直角，设线段AB的中点为O，所以点C到AB的中点的距离为|AB|的一半，即|OC|1所以点C的轨迹是以O(0，0)为圆心，r1为半径的圆，故圆的方程为x2y21又A，B，C三点所连线段构成三角形，可知x1，所以点C的轨迹方程为x2y21(x1)10已知两点M(2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|0，求动点P(x，y)的轨迹方程解：由题意得(4，0)，(x2，y)，(x2，y)所以|4，|，4(x2)代入|0，得44(x2)0，即2x，化简整理，得y28x，故动点P(x，y)的轨迹方程为y28xB能力提升11a、b为任意实数，若点(a，b)在曲线f(x，y)0上，则点(b，a)也在曲线f(x，y)0上，那么曲线f(x，y)0的几何特征是()A关于x轴对称 B关于y轴对称C关于原点对称 D关于直线yx对称解析：选D由于点(a，b)和(b，a)关于直线yx对称，所以f(x，y)0表示的曲线关于直线yx对称，故选D12在平面直角坐标系中，O为原点，点A(1，0)，B(2，2)若点C满足t()，其中tR，则点C的轨迹方程为_解析：设点C(x，y)，则(x，y)，t()(1t，2t)，所以消去参数t，得点C的轨迹方程为y2x2答案：y2x213已知三角形ABC中，AB2，ACBC(1)求点C的轨迹方程；(2)求三角形ABC的面积的最大值解：(1)以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(1，0)，B(1，0)，设C(x，y)，由ACBC，得(x3)2y28，即为点C的轨迹方程，所以点C的轨迹是以(3，0)为圆心，半径为2的圆(2)由于AB2，所以SABC2|y|y|，因为(x3)2y28，所以|y|2，所以SABC2，即三角形ABC的面积的最大值