河海大学 渗流力学与控制课件.doc

渗流力学及控制第一章 渗流理论基础第一节 渗流基本定律一、达西定律实验1856年法国工程师HDarcy在装满砂的圆筒中(图115)进行渗透实验。从实验中得到通过横截面A的渗流量Q(单位时间的水体积)与横截面A及水头差(H1H2)成正比，与渗透路径L成反比，可由下式表示：式中 Q渗流量； v断面A上平均渗透速度；J水力坡度，即流经路径长度L的水头损失率；K比例系数，也称渗透系数。上述二式称为Darcy定律。它指出渗透速度v与水力坡度J或渗透阻力成线性关系，又称线性渗透定律。容易看出，H1、H2是相对于某个任意水平基准面的水柱高度，称为测压水头，从前述可知，它应是压力水头和位置水头之和，即 公式(139)表明，渗流流动是由高水头向低水头，而不是从高压向低压，记住这一点很重要。当z1z2时，则有而水力坡度J(H1H2)L是使渗流向水头较低的地方运动的驱动力。在Darcy的实验中，地下水作一维的均匀运动，即渗透速度和水力坡度的大小、方向沿流程不变。我们可以把它推广到一般的三维流情况，写出达西定律的微分形式称为渗透速度向量，在笛卡尔坐标系中它沿x，y，z方向的分量分别为vx，vy，vz；J在x，y，z方向的分量分别为当流动发生在均质各向同性介质中，尺是一个不变的标量，因此有对于非均质各向同性介质KK(x，y，z)中的三维流方程(142)仍然成立；对于向异性介质，在本章第四节中介绍。 二、达西定律的推导达西定律代表线性阻力的渗透定律，它可从多孔介质中渗流运动所遭遇的阻力关系推导出来。如图110所示为沿流线方向s取的土柱单元微分体，长为ds，断面积为DA；作用在单元土柱中流体上的力有三：即两端的孔隙水压力，孔隙水流的自重及水流受到颗粒孔隙道的摩阻力F。沿土柱方向写渗流的三力平衡式(略去水流的惯性力)为因为代入L式则得引用司托克斯对于一个颗粒上的层流阻力公式式中 D拖曳力； d颗粒直径； v颗粒周围孔隙水沿流向的局部平均流速 水的动力粘滞性： 系数，决定于邻近颗粒的影响，对于无限水体中的圆球3。若设土柱中的颗粒数为N，并用一个球体系数时(圆球6)，则总阻力应为将上式代入(1)式，并考虑到断面上平均流速vnv及水力坡度J时，则得若采用达西渗透系数，即得一般的达西定律形式这里可知渗透系数K具有流速的量纲，它决定于多孔介质的结构(cd2)和流体的性质(/)两种因素。将达西定律普遍化到各向异性渗透时，可写(142)式微分形式。达西定律描述了能量损失的线性阻力关系，渗流坡降J的相对大小反映了阻力的大小，代表单位重流体能量沿程的损失率，从伯诺里能量方程出发也可说明达西定律是描述流动过程中能量守恒的一个表达式。此外还可用水力学中层流运动的公式作比较，寻求达西公式及渗透系数所包含的内容，例如圆管中层流运动的普瓦索伊公式上式中的Ro为圆管半径。如果更普遍一些，写成意形状断面的层流运动公式，并采用水力半径R代替R0时(R0R)，上式可写为三、达西定律的适用范围与非达西流(一)适用范围许多研究者都曾指出，随着渗透速度(比流量)的增大，Darcv定律即渗透速度与水力坡度J之间的线性关系便不再成方，导致这一结论的典型实验结果如图l17所示。由此看来确实有必要规定一下Darcy定律的适用范围。我们先讨论Darcy定律适用的上限。作渗流速度v和水力坡度J的关系曲线，如图l17所示。若符合Darcy定律则为直线、直线的斜率为渗透系数的倒数。但图上的曲线表明，只有当按(135)式计算的Rc不超过110时，地下水的运动才符合Darcy定律。由于地下水沿着弯弯曲曲的途径运动，并且在不断地改变它的运动速度、加速度和流动方向，这种变动有时是很剧烈的因而产生惯性力的影响，使水流的运动不服从Darcy定律。地下水流动方向和流速变化取决于孔隙或裂隙通道在空间的弯曲率以及通道横断面积的变化情况。当地下水运动速度较小时这些惯性力的影响是不大的，有时是微不足道的。这时由液体粘滞性产生的摩擦阻力对水流运动的影响远远超过惯性力对它的影响，粘滞力占优势，液体运动服从Darcy定律。随着运动速度的加快，惯性力也相应地增大了。当惯性力占优势的时候，由于惯性力与速度的平方成正比，Darcy定律就不再适用了。这时地下水的运动仍然属于层流起动。所以不要把这种偏离Darcy定律的情况和层流向紊流的转变等同起来。因此，当渗透速度由低到高时，可把多孔介质中的地下水运动状态分为三种情况(图118)：(1)当地下水低速度运动时，即Re小于110之间的某个值，为粘滞力占优势的层流运动，适用Darcy定律。(2)随着Re的增大，一般Re在10100之间时，为一个过渡区。在该区的下部，从粘滞力起主要作用的层流状态逐渐变为惯性力起支配作用的另一种层流状态。而该区的上部流动则变为紊流状态。 (3)紊流区。当Re很大时为紊流运动。Darcy定律的下限，终止于粘土中的微小流速的渗流它是由土颗粒周围结合水薄膜的流变学特性所决定的。一般粘土中的渗透，只有在较大的水力坡降作用下突破结合水的堵塞才开始发生渗流，所以存在一个起始坡降问题。在开始渗透时，由于有效过水断面的变动，而不符合达西线性阻力定律；直到最后的渗透断面构成为止，才按照达西定律形成直线变化；起始坡阵随着粘土的密实度增加(或含水量的减少)而增加(表14)。密实粘土的起始坡降可达2030以上。需要指出，关于粘土渗透的起始坡降问题，认识并不一致，某些学者有不同看法。(二)非达西流动 超出达西定律范围的流动称为非达西流。对于Re数大于110的流动，还没有普遍接受的非线性方程。在文献中出现过很多有关的关系式，其中，最常见的一种形式(Forchheimer，1901)为其中，a、b为由实验确定的常数，它们取决于岩土颗粒孔隙率，颗粒形状、大小等因素；指数m决定于岩土的密实程度与有效粒径，对于最密实的粉细砂试验，白那尔求得最大m2.3，而疏松的粉细砂最大m1.6等等。关于低于达西定律下限的流动，由于起始坡降J。的存在，表达式可近似写成：式中，Jo在粘土中甚至会超过30，这是流变学中的非牛顿流体现象。考虑到渗透液体性质的不同，Darcy定律有如下形式：液体的密度；G重力加速度；动力粘滞系数；H对于水就是水头；K表征岩层渗透性能的常数，称为渗透率或内在渗透率。K仅仅取决于岩石的性质而与液体的性质无关。某些学者提出了计算渗透率A的公式如KozenyCarman公式：式中 Ms颗粒的比表面积； n孔隙度； Co系数，Carman建议取15。 比较(141)式和(146)式，可求出渗透系数和渗透率之间的关系为由上式可导出渗透率的量纲通常采用的单位是cm2或da(darcy)。da是这样定义的：当液体的动力粘滞系数为0.001Pas，压强差为101325Pa的情况下，通过面积为lcm2，长度为lcm岩样的流量为1MLs时，岩样的渗透率为1da。在一般情况下，渗透系数K和渗透率k不随时间变化。但有些情况下，在外部荷载的作用下，改变了骨架的结构和构造，如沉降和固结现象；也可由固体骨架的溶蚀作用形成大的溶孔、溶洞；或者是粘土的膨胀作用，土壤的干燥脱水等等，都可以将渗透系数K和渗透率k看成为时间的函数。关于非饱和流中的渗透系数及渗透率在后面章节中介绍。渗透系数K虽然能用来说明岩层的透水性，但它不能单独说明含水层的出水能力。一个渗透系数较大的含水层，如果厚度非常小，它的出水能力也是有限的，开采价值不大。为此就引出了导水系数的概念。 下面考虑通过厚度为M的承压含水层的地下水运动，如沿流向取z铀(图l19)，根据Darcy定律上式中的TKM称为导水系数，是又一个水文地质参数，单位常用m2d。它的物理含义是表示水力坡度等于l时，通过整个含水层厚度上的单宽流量。导水系数的概念仅仅适用于平面的二维地下水流动，对于三维流动是没有意义的。第二节 岩石介质按渗透性能分类及渗透系数张量一、 岩石介质渗透性能分类自然界的岩石，由于成因不同和沉积环境差异，以及后期所遭受的破坏强度不同等原因，它们的透水能力和透水性质是千变万化的。有的透水性很小，有的则透水性很大；有的透水性比较均匀，而有的则变化很厉害；有的透水能力带有方向性，有的则各向几乎相同。这些差异使地下水的渗透规律复杂化，如不加以人为的简化，在今后研究中将遇到难于克服的困难。因此，按渗透性质不同，常将天然岩石分类如下： 1按岩石渗透系数的大小不同，可分为透水层和隔水层 一般认为，前者的渗透系数k000lmd，例如常见的亚砂土、砂砾石层以及裂隙岩石和喀斯特化岩层等；后者，认为k0.001md，例如粘土层、泥炭层以及不透水基岩等。上述的原则性划分法并不是绝对的。在生产中，对渗透系数比邻层小而又没有实际意义的透水层，也往往当做隔水层处理；相反，在为某些目的的勘查中，原则上属于隔水层的岩石也要考虑其透水性质。所以，透水层和隔水层，最好结合自然条件和工作目的来划分。同一透水层的饱水部分(可能由不同岩性组成)叫含水层，含水层各部分的地下水都有密切的水力联系。2按渗透系数随空间坐标变化的程度不同，含水层可分为均质的和非均质的在均质含水层中，渗透系数与坐标无关，是个常数；而非均质含水层的渗透系数则随坐标变化，是个变数。严格说，自然界的所有含水层都是非均质的。因为影响渗透系数的因素，如颗粒的形状、大小、分选程度和岩石发育的片理、层理以及节理和裂隙等在空间上分布是绝对不均匀的，所以渗透系数也不可能是个理想的常数。但如渗透系数随位置变化不大时，实际上可以按照均质计算，这样可能引起的误差很小，而对理论研究却简化了很多。3按渗透系数是否随渗透方向改变，含水层又可分为各向同性的和各向异性的 前者的渗透系数与渗透速度的方向无关，而后者则随渗透速度方向改变。均质含水层有各向同性和各向异性。例如，厚层的比较均匀的砂砾石层就是各项同性的，因为它的渗透系数在不同位置上和在同一位置的不同方向上都接近同一常数。又如，黄土层是均质各向异性的，因为它发育有柱状节理，垂向的渗透系数大于其他方向的渗透系数如图120(a)。 非均质含水层也有各向同性和各向异性之分。例如，洪积砂砾石层或多级阶地组成的含水层，其渗透系数往往沿水流方向显著变小，但在某一位置上与方向无关，所以这种岩石可以看做是非均质各向同性。又如，薄层的层状岩层，是非均质各向异性的典型例子，如图20(b)。由上述可见，岩石的节理、片理、层理和颗粒排列以及裂隙发育的方向性，显然是构成岩石各向异性的主要因素，而颗粒的形状、大小、分选程度等在空间上分布的不均匀性则是构成非均质的主要因素。 必须注意，不要把均质与非均质的概念和各向同性与各向异性的概念混淆起来。前者是岩层透水性和空间坐标的关系，后者是指岩层透水性和水流方向的关系。均质岩层也可以是各向异性的。如某些黄土，垂直方向的渗透系数大于水平方向的渗透系数，因而是各向异性的，而不同点相同方向的渗透系数又是相等的因而是均质的。图120表示该情况下的渗透系数图分别用椭圆表示渗流场中A点和B点的渗透系数，两椭圆形状完全相同表示同一方向有相同的渗透系数。类似地，也有非均质各向同性介质。例如某些巨厚砂层中夹有粘土透镜体，砂和粘土分别都是各向同性的，两者的透水性差异很大，因而是非均质的。 二、渗透系数张量 在各向同性介质中，渗透系数和渗流方向无关，是一个标量。因而水力坡度和渗流速度的方向是一致的。渗透速度矢量可以用(142)式来表达。即使对于非均质各向同性介质中的三维流动来说，(142)式依然成立。各向异性介质的情况就大不相同了。如前述，渗透系数的值和渗透方向有关，渗透系数就不再是一个标量了，水力坡度和渗透速度的方向一般是不一致的。因此，渗透速度和水力坡度之间的关系也就不能简单地用(142)式来表达了。由于渗流方向对空间三个任意选取的、相互垂直的坐标平面来说，可以是任意的，因此，无法简单地用坐标轴上的三个分量定义空间一个点上的渗透系数，必须像表示空间一个点上的应力那样，采用双下标格式，用它的九个分量来表示。 下面我们选用笛卡尔坐标系(z，g，：)来讨论。 对于各向异性介质中，由于水力坡度和渗透速度一般是不一致的，渗透速度相应地应写成达西定律的形式：vx，vy，vz分别为渗透速度v在x，y，z方向上的分量；JX，JY，JZ分别为X，Y，Z方向上的水力坡度分量；KXY，分别为九个常数，在各向异性的含水介质中是随空间变化的渗透系数张量。 由此可以看出九个分量KXY，决定了三维空间中的渗透系数，在二维空间中则是由它的四个分量所决定，通常把它们写成下列形式因此，(150)式可写成下列更紧凑的形式渗透系数张量也是对称张量，即所以只有六个独立的分量，在二维情况下只有三个不同的分量。 研究各向异性介质发现，虽然总的说来，在各向异性介质中水力坡度和渗透速度的方向是不一致的，但在三个方向上两者是平行的，而且这三个方向是相互正交的。这三个方向称为主方向。沿主方向测得的渗透系数称为主渗透系数或主值，分别以K1、K2和K3表示之。如果所采用的Descartes坐标系其三个轴分别和渗透系数张量的主方向平行，则有此时渗透系数张量度是个对角阵，即第三节 渗流在非均质介质中的折射定律及等效渗透系数一、渗流在非均质介质中的折射定律 自然界分布最广的是各种类型的非均质含水层，所以了解其中的渗流规律比均质含水层有更大的实际意义。由于不同的沉积成因，构造运动及一些外动力的地质作用，形成多种类型的非均质含水层，常见的可以归纳为：(1)层状含水层：由不同透水性厚度不等的多层含水层组成。(2)相变含水层：其透水性能沿流向方向发生渐变或突变，如河流的阶地、断裂带坡地区等等。(3)透水性复杂含水层：如夹有弱透水的透镜休或局部夹层的砂砾石层等等。为了查明非均质含水层的渗流特征卡明斯基曾在渗流槽中做过实验结果发现染色体流束通过不同透水性界面时，有折射现象，如同光和电力线折射现象一样。从实验中得到，流线的入射角和折射角与界面两边的渗透系数成正比。 式(156)称为渗流通过突变界面的折射定律。下面从理论上也可以加以证明： 在透水性突变的界面上，水流发生折射，这一现象是由界面上水流的连续性条件引起的。设介质I的渗透系数为K1，介质II的渗透系数为K2，界面上某一点附近的渗透速度和水头在两介质中分别为V1，V2，H1、H2，如图l21。由于界面上任一点都应满足条件：式中 v1n， v2n分别为v1和v2的法向分速度。由图121的几何关系可明显地看出由上式可得出下列几点结论：(1)当KlK2，则。表示在均质岩层中不产生折射。(2)当KlK2，而且Kl，K2均不等于0时，如。，则。表明水流垂直通过界面时不发生折射。(3)当KlK2，而且Kl，K2均为有限值，如。，则。表明水流平行于界面时不发生折射。(4)水流斜向通过界面时介质的渗透系数K值愈大，角也愈大，流线愈靠近界面。二介质的K值相差愈大，和的差别也愈大，流线通过界面后的偏移程度也愈大。二、非均质含水层的等效渗透系数所谓非均质含水层是指不同空间点的渗透系数K值不等。为了研究方便。有时将复杂的含水层加以概化，如将一些层状含水层，概化为一个用平均渗透系数表示的等效均质含水层，下面分别讨论平行层面运动和垂直层面运动的两种情况，如图122，图123所示。解决这种问题最简单的方法是分段法其实质概括如下：一个复杂的渗流区，常常用流线和等水头线分成若干单独部分，即分段，每一部分都有现成的解答，然后将各部分按一定规则联结起来，最后求出等效均质含水层的渗透系数，即等效渗透系数。1平行层面运动渗流对于图122的渗流区用流线把多层含水层分成若干平行流向的均质段，每一层的渗透系数Ki，厚度Mi，单宽流量qi，通过层状含水层总的单宽流量q等于各分层单宽流量之和，总厚度M等于各分层的厚度之和，即又有在同一过水断面上各层的水头相等，所以在两相断面上的各层的水头差相同式小 H整个渗流总水头差； Hi各层的水头差。以上二式是用流线分段时的联结规则。由达西定律有：式中 KP平行层面渗流等效渗透系数。若渗透系数在垂直方向是逐渐变化的，此时有KK(z)。该情况下水力坡度J仍为常数，因面有2垂直层面运动渗流垂直层面运动时，如相变含水层等就是如此，如图123。因为此种情况，过水断面是一系列的等水头面，所以用等水头面(线)分成若干个均质段。容易看出，这种情况下各段流量相等且等于整个渗流的流量；而各段的水头差的总和等于渗流总的水头，即上式就为垂直层面运动的联结规则。对于每一段或层都有：等效均质含水层的达西定律一般形式为式中 KV垂直层面方向的等效渗透系数。 和前面类似，若K沿水流动方向是渐变时，即KK(x)时，则有由(164)式发现一个有趣的现象，垂直层面的等效渗透系数主要取决于渗透系数最小的，即阻力最大的分层。如有一层Ki0为不透水层时，则Kv0.0。最后说明一点，从理论和实践上都能证明：平行层面等效渗透系数Kp总是大于垂直层面的等效渗透系数Kv，斜交层面的介于二者之间。这是由层状含水层表现的各向异性决定的。第四节 渗流基本方程 在第二节中我们根据能量守恒的原理建立了流速和水头损失之间的关系，即达西定律VK grad H。从达西定律看出，一个方程中有两个未知数V和H，故仍需另一个方程来求解，即连续性方程。有了这两个方程，我们就可以建立渗流基本方程结合定解条件，求解不同的渗流问题。一、渗流连续性方程渗流连续性方程，可从质量守恒原理出发来建立方程。在渗流场中取出一单元体，见图132，设各边长分别为x，y，z，并和坐标轴平行；设渗流沿坐标轴方向的分速度分别为vx，vy，vz，液体的密度为，则单位时间内通过垂直于坐标轴方向的单位面积的水流质量分别为vx，vy ，vz，则单位时间内沿x轴方向流人和流出单元体的质量差为同理，可以写出沿y轴方向和沿z轴方向流入和流出单元体总的质量差为根据质量守恒原理，它应等于单元体内液体质量随时间的变化量。所以在t时间内，单元体内液体质量的变化量为在连续条件下，上述两式应该相等，所以(187)称为渗流的连续性方程，也称为可压密介质中的质量守恒方程。 (187)式中的右端项计算比较困难，具体应用时为了简化计算往往作一些假设：只有垂直向压密的情形： 在一些工程中，垂直方向上的变化是很重要的。下面我们仅考虑垂直方向上的压缩来研究(187)式右端项的实质。当含水层的侧向受到限制，可假设xy为常量，于是只有水的密度、孔隙度n和单元体高度z三个量随压力而变化，(187)式右端可以改写成（188）式右端三项分别代表单元体骨架颗粒和孔隙体积以及流体的密度的改变速率，前两项可表示为颗粒之间的有效应力，第三项可表示为流体压力；就是说有效应力作用于单元体，孔隙水压力p压缩水体。现把单元体当成弹性体而考虑压缩性如下： 在多孔介质的压缩过程中，可以认为固体颗粒体积的压缩可以忽略不计，即(1n)Vb常数。故有若含水层侧向受限制，只有垂直方向上压缩，即只有单元体垂直方向上长度A2的变化，有于是连续性方程(187)式又可以写成考虑多孔介质是不可压缩时，上式就变为该式表明在同一时间内流入均衡单元体的水体积等于流出去的水体积，即体积守恒。此时，把渗流当成刚性液体，即为不可压缩的流体在刚性介质中流动的连续性方程。当地下水的流动为稳定时，就可以得到上述结果。二、渗流基本微分方程(一)可压密介质中渗流基本微分方程据达西定律在各向同性的介质中有代入(194)式，得：设，则上式有其中，为贮水率或称单位贮存量，其值表示单位体积多孔介质，当水头降低一个单位时，由多孔介质压缩或水的膨胀所释放出来的水量。在侧向受限的情况下，孔隙体积的压缩也只考虑垂直方向上的变形，则用弹性模量Ec表示：则垂直压缩的相对变形为当此相对压缩完全体现在孔隙比的改变上，则有对于各向异性介质来说，如把坐标轴的方向取得和各向异性介质的主方向一致，则有对于均质各向同性的含水层来说，可以进一步简化为如果化为柱坐标则(1102)式变为上述方程就是可压缩介质中渗流基本微分方程，也可以称为承压含水层的非稳定运动方程。在推导过程中从实用观点出发除了已经谈到的假设外，还假设：(1)水流服从Darcy定律；(2)K不因(p)的变化而改变；(3)和K也不受n变化(由于骨架变形)的影响。 上述诸方程均是在质量守恒原理基础上建立起来的，它反映了地下水在多孔介质中运动的质量守恒关系。它表明单位时间内流人流出单位体积含水层的水量差值等于同一时间内单位体积含水层弹性释放(或弹性贮存)的水量，这些方程还通过应用Darcy定律反映了地下水运动中的能量守恒与转化关系。由此可见基本微分方程用数学的形式表达了渗流区中任何一个“局部”都必须满足质量守恒和能量守恒这两条基本定律。这一结论也适用于下面将要提到的一些基本微分方程。有了这些基本概念就可以灵活地把基本微分方程应用于解决实际渗流问题。虽然方程中没有考虑抽水、注水、越流补给、沿断裂带流入水量等对含水层的影响，但要解决这些问题是不困难的。既然方程的左端项代表单位时间内从各个方向流人单位体积含水层的水量的总和，那我们只要在建立水均衡的连续性方程时在方程中加一项来表示这些交换水量就行了。其结果是在方程(1101)、(1102)、(1104)、(1105)、(1106)等的左端加一项w，通常称为源汇项。它一般是位置和时间的函数。当从含水层抽水或从垂直方向有水流出含水层时，w为负值，表示汇；当向含水层注水或从垂直方向有水流人含水层时，W为正，表示源。但要注意，对于三维问题，W表示单位时间从单位体积含水层流人或流出(包括抽，注水)的水量；对于二维问题，W表示单位时间在垂直方向从单位面积含水层中流入或流出的水量。如由(1101)式得(二)不可压密介质中渗流基本方程 假设液体和固体骨架都不可压缩，即不可压缩的液体在刚性介质中运动，上述方程的右端项为0，就可得到不可压密介质中的渗流基本方程，也称稳定渗流方程。 对于一般的非均质承压含水层来说，由(1l01)式得对于均质各向同性的含水层来说，由(1102)式得上式通常称为拉普拉斯方程。稳定运动方程的右端都是零，意味着在单位时间内净流人均衡单元体的水量等于零，即同一时间内流人单元体的水量等于流出的水量或者说多孔介质不可压缩。这个结论不仅适用于承压含水层，对潜水含水层和越流含水层中的稳定运动也是适用的。(三)有越流补给的渗流方程在自然界中有不少这样的情况，在上下含水层之间夹有弱透水层，由于隔开的上下含水层中水头不等，而发生穿过弱透水层的垂直渗透。我们把这种现象称为越流。在含水层中抽水，人为造成主含水层水头下降后，这种现象就更容易发生，如图134。此时的渗流微分方程，只要对比分析前面巳得出的方程就可求得。图134表示一个非均质各向同性越流含水层中的地下水流。主含水层厚度为M，上下各有一个厚度为m1和m2、渗透系数为K1和K2的弱透水层。弱透水层的外围又分别为潜水含水层和下伏的承压含水层。当弱透水层的渗透系数Kl和K2远远小于主含水层的渗透系数K时，根据渗流的折射定律，可以近似的认为水基本上是垂直通过弱透水层折射90度后在主含水层中基本上是水平运动的。在这种情况下，主含水层的水流可近似地作二维流问题处理，而上下含水层的水通过弱透水层的运动，可以作为汇源项来处理。可对比(1109)有此时，w称为越流补给强度，可由下式求得将(1l13)式代人上式得 上述各式均是在不考虑弱透水的弹性释放和不可压缩的条件下导出的。在对工程来说，往住这些层位压缩量很大，对这些情况就不能用(1l14)、(1l15)这样的基本方程求解，应根据前述的方法，依照具体情况再建立其他方程。(四)有自由水面变动的渗流微分方程 1Dupuit假设 潜水面是自由水面，上面有个大气压作用在该面上。潜水面通常不是水平的，因此，潜水含水层中存在着流速的垂直分量。潜水面本身又是渗流区的边界，随时间变化。这就给求解该渗流问题带来很大困难。1863年Dupuit研究分析了潜水的实际运动形式，发现它的特点如同水力学中的缓变流动，又由于自由水面坡度很小，提出了如下的假设：对潜水面(在垂直的二维平面xy平面上)任意点P有试点渗透速度方向与潜水面相切，其大小等于 2潜水流的基本微分方程 因为潜水面是个自由面，相对压强p0，因此对整个含水层来说可以不考虑水的压缩性。先考虑一维问题。我们取平行于xoz平面的单位宽度进行研究。 在渗流场内取出一块土体(图137)。它的上界面是潜水面，下界面为隔水底板，左右为两个相距x的铅直断面。引起小土体内水量变化的因素除了从上游断面流人的流量和下游断面流出的流量外，还有由大气降水的人渗补给或潜水的蒸发构成的垂直方向的水量交换。设单位时间、单位面积上垂直方向补给含水层的水量为W(人渗补给或其它人工补给取正值，蒸发等取负值)。在t时间内，从上游流人和下游流出的水量差根据Dupuit假设为t时间内，垂直方向的补给量为wtx。因此，t时间内小土体中水量总的变化为小土体内水量的变化必然会引起潜水面的升降。设潜水面变化的速率为，则t时间内，由于潜水面的变化面引起的小土体内水体积的增量为其中的当潜水面上升时为饱和差，下降时为给水度。此时忽略了水和固体骨架的弹性贮存的变化。上式为有人渗补给的潜水含水层中地下水非稳定运动的基本方程，或有自由水面变动渗流基本方程，通常称为Boussinesq方程。在二维运动情况下，可以用类似的方法导出相应的Boussinesq方程为当隔水层水平时，hH，方程有如下形式第五节 描述渗流问题的数学模型及其解法一、数学模型 在对渗流问题模拟研究中，采用过多种模型，常见的物理模型如砂槽型，窄缝槽模型等；电模型及各种数学模型。数学模型和其他模型相比具有许多优点，它不仅能表现出含水层系统复杂的物理结构和不规则的几何形态，适应范围广，通用性强，而且使用方便灵活，对模型的校正也比较容易。数学模型不仅能描述多孔介质中的流动现象，还能描述多孔介质中物质输运、能量输运及其他一些物理化学现象。所谓数学模型就是用一些方程式或方程组来描述现实多孔介质中的地下水运动的基本特征，内在联系及外在条件对其运动的制约关系。常见数学模型分为随机型与确定型两种。随机模型，出现在模型中的变量是随机的，仅知变量的取值概率，而不能肯定变量所取的确定值。确定模型，即为模型中各变量之间有严格确定的关系。在工程渗流力学中主要研究的确定模型如描述地下水流模型描述多孔介质骨架变形模型及物质输运、能量输运模型等等。用确定模型来描述渗流问题时必须具备下列条件：(1)有一个(或一组)能描述渗流规律的微分方程。同时确定相应的渗流范围、形状及方程中出现的参数值。(2)给出相应的定解条件，表现研究区的初始状态和它与周围的联系。(3)所建立数学模型必须是适定的。即解是存在的；解是唯一的；模型的解是稳定的。关于模型中的微分方程，前节已经介绍了一些。下而我们着重介绍定解条件。二、定解条件前面已叙述的伯微分方程，如稳定的拉普拉斯方程，对于许多渗流问题，只要是掐定运动都可以用这一方程描述，即这些伯微分方程具有多解性。为了能从它们全部的解中选出一个满足某个具体问题的确定解，就必须加上一些附加条件，这些附加条件就是通常所说的定解条件。定解条件包括边界条件和初始条件。1、 边界条件边界条件指渗流区域几何边界上的水力性质。又可分为第一类边界条件与第二类边界条件。 第一类边界条件，又称为给定水头边界。 如果边界上某一部分各点的每时刻的水头值是已知的。如与研究域有联系的地表水体(河流、湖泊)；泉水不被疏干情况下的泉水出口；区域内的抽水井，注水井；或疏干巷道等都可以做为给定水头的边界。表示为：应当注意，给定水头边界不是定水头边界，两者要分开。定水头边界是指在边界上的水头函数H或势函数是不随时间变化的，是个常数。这种情况下，除个别条件外，在自然界中是很少见的。 第二类边界条件又称给定流量边界。 若已知一部分边界单位面积(二维的为单位宽度)上流人(流出时为负值)的流量，或者已知势函数(水头函数)的法向导数时，称为第二类边界。相应边界表示为 最常见的这类边界为隔水边界，此时，q0。在介质各向同性条件下，上面二式可以简化：这种条件，如分水岭，流面，隔水面，有些浸润曲面等等都能用(1130)表示。下面以不考虑人渗补给的地下水向均质各向同性介质中水井的稳定运动(图l38)作为例子，来具体说明它的边界条件。在图138所示的渗流区中，边界由下列部分组成：上游边界C1，浸润曲线(潜水面与垂直到面的交线)C2，渗出面c3，下游边界即井壁C4，隔水边界C5。水头H在各边界上必须适合的条件为：（1）、在边界C1上，水头均假设等于H0，所以有边界条件（2）、浸润曲线C2上，压强等于大气压强，所以测压管高度等于零，C2上任何一点的水头H应等于该点的纵坐标z。同时，浸润曲线又是一条流线，所以有边界条件（3）、渗出面c3上，压强也等于大气压强，故有（4）、井壁c4上，边界条件为（5）、隔水边界c5上，边界条件为对于非稳定渗流问题，情况是相似的，只是边界条件中有关的值都是时间的函数而已。但要注意，对于有浸润曲线的渗流问题(如排水沟降低地下水位问题、土坝渗流问题等)，由于这时浸润曲线本身在不断地变化着，浸润面上的边界条件就型另行描述了。即除了要满足(1132)式外还要满足反映浸润面移动规律的条件。描述的方式有多种，在对具体问题研究时，另行介绍。2初始条件 通常第一类边界条件(即流场中的水头分布)，它在开始时刻t0时对整个流场起支配作用。所以进行非稳定计算时，必须先求得开始时刻稳定流场的水头分布作为初始条件。 所谓初始条件就是给定(t0)时刻的渗流场内各点的水头值，即初始条件可根据需要，任意选择某一时刻作为初始条件，不一定非选用实际开始抽水的时刻或没有开采前的状态等等。三、求解数学模型的方法对求解描述某个渗流问题的数学模型，通常有三种方法；解析法；数值法；实验模拟法。 1、解析法 就是用数学物理方法，诸如分离变量法、积分变换等解数学问题的方法求得模型的解析解。由于解析解可以将描述渗流的各种物理量，例如水头、水量及各种参数反映在一个表达式中，这样就可以利用数学分析的方法来研究各个量相互联系与相互制约的内在规律。因此，在可能条件下应尽量应用这种方法来求解数学模型。由于用解析解方法解数学模型所必须的假设条件常常受到相当大的限制，所以这种方法有很大的局限性，只适用于含水层几何形状规则，方程式简单，边界条件较单一的情况。例如，均质各向同性，等厚含水层，渗流区域是圆形或矩形或者无限；有定水头补给等等。实际问题往往比这复杂得多，即使对定解条件作了相当的简化假设，往往因解析解中包含复杂的积分项及一些特殊函数，而限制该法的应用，不得不应用别的方法去求它的近似解。2数值法 用数值方法求得的解称为数值解。它是一种近似解。用数值法求解一般都要借助于电子计算机。它是求解大型地下水流问题的主要方法。这种方法的要点是把整个渗流区分割成若干个形状规则的小块(称为单元)。这些小块可以近似地看成是均质的，因而就很容易建立起描述各个单元地下水流动的关系式。把本来是形状不规则的、非均质问题转化为容易计算的形状规则的、均质问题。各个单元可以根据需要选择合适的水文地质参数，单元形状也可以不同。因此把所有单元合在一起就能表现出渗流区域在几何上的不规则形状和在水文地质上的非均质性，代表原来的渗流区。单元划分多少，根据计算结果的精度要求可以任意选择。要求的精度高，分的单元就要多一些，相应的计算工作量也要大一些；反之，可以分得少一些，计算工作量也相应地少一些。对于非稳定渗流问题还要把整个计算时间段划分多时段，它们的集合就是原来所要研究的时间段。划分多少个时段也和单元的划分一样，可以视需要选择。这时所建立的是描述某时段每个单元地下水流动的关系式。然后通过某种方式把这些关系式集合起来，加上定解条件便成为一个方程组，求解这个方程组便可得到该时段原问题的解。这个时段解决了，按划分的时段，一个时段一个时段地算下去，直到把划分的时段全部算完为止。这样未知量(通常是水头H或降深)随时间和空间变化的过程就结模拟出来了。所以这种分析方法的特点是把全体分割成很多部分，然后再由部分到全体。这种把整体分割成若干个单元来处理问题的方法称为离散化方法。这种方法所求得的解只是渗流区中离散点(如各单元的公共顶点或单元的中心点)上未知量满足某种精度要求的近似值。它不能像解析法那样能给出未知量在渗流区中任何一点在任意时刻的值。数值法可以很方便地处理前面解析法碰到的难以解决的困难。事实上，它对任何复杂的地下水流问题都能给出有足够精度的解。可以应用于水文地质的很多领域，如水位预报、水量计算、水质模拟等。不足之处是计算工作量一般比较大。3实验模拟方法实验方法是渗流力学中重要的方法。对一些复杂的渗流问题，解析法是很难求解的，就得用数值法和实验模拟方法，也称为模拟法。该方法主要就是利用渗流和一些物理现象相似的原理（如水、电比拟法），用相似模型再现渗流过程和渗流的流态，得到渗流规律。第六节 非饱和流动 第一节已经指出广义的地下水垂直分布分为两个带，一个是非饱和带，一个是饱和带。非饱和带指地下水面以上地带，在该带也可发生水的运动。通常把非饱和带中水的运动称为非饱和流动。我们知道，在非饱和带中除了固体骨架还有水和空气，为三相介质。由于在空隙中有空气的存在，使得地下水的渗透阻力加大，渗透性能减小。一般说来，非饱和带的渗透性远远小于饱和带，因此非饱和带中地下水运动可认为是做垂直渗透的。在该带中由于毛管张力的影响，压力值为负压。由于非饱和带处于负压状态，使得颗粒间距压密。这些对岩土的稳定性都是有利的。因此，在一些工程上对非饱和流一般不做深入的研究或是有意的忽略其影响，使得计算偏安全。如在工程中不考虑毛管水层的稳定性分析；研究农业排水，降低地下水位不考虑毛管层厚度等等。但在有些方面，如地下水资源评价方面；环境保护方面研究污染物的运移规律；研究土壤盐化的机理方面等等，研究非饱和带(包气带)中水的运动规律就显得很重要。例如在地下水资源评价中，必须研究“三水”(大气水，地表水，地下水)的相互关系，而非饱和带的水的运动是转化的重要环节。这是因为降雨、灌溉水、地表水等的人渗是浅层地下水的主要补给来源，潜水蒸发则是浅层地下水消耗的主要途径，而入掺和蒸发都是发生在这个带中。其次，该问题的研究在环境保护方面也有一定意义。各种施加在地表的污染物将随水一起运动，经过包气带进入地下水。因此，研究它的运动规律，对防止地下水污染有重要意义。此外，研究土坝在涨水时土体饱和浸湿过程中也有一定意义。下面从非饱和流动的基本知识人手，进而对其机理进行分析探讨。一、非饱和流动的基本知识1含水率(量)、饱和度 在非饱和流中，空隙的部分空间被空气占据，而另一部分才被水充填。我们可以用两个变量来表示某一时间，处于多孔介质中单位体积内水分的相对含量。 (1)含水率表示单元体积中水所占的体积，可用下式表示：式中 含水率，无量纲，又称体积含水量；(Vw)。典型单元体中水的体积； V0典型单元体的总体积。 (2)饱和度Sw 表示岩石空隙空间中为水所占的部分占总孔隙体积之比。式中 S w饱和度，无量纲； V v典型单元体之中空隙的总体积 不难得到上述两式之间的关系2界面张力和湿润性为了解非饱和流的运动机理，我们首先应考察下，当含水量不同时，多孔介质中水分分布状况，这样又引出一些与饱和流不同的一些概念。当一种液体与另一种物质(可以是液体，也可以是气体或固体)相接触时，由于各相内部分子和在接触面处的分子间向内的外力不同，在其界面上以张力形式表现出来的一种自由界面能，称为界面张力。界面张力的定义是，当物质k与物质i分离时，每分出单位面积所做的功。对于任何两种物质i和k，其界面张力为常量。若当物质i与气相接触时称表面张力。图139表示两种不相溶混的流体(气体和液体)与固体接触的关系。它们之间的平衡状态要求：式小 接触角，它指固体界面与液气界面之间的夹角。 (1139)式亦称为杨氏方程。该方程说明cos是一个比值。它足以形成固体S和气体G之间单位界面所释放的能量与形成固体S和流体L之间单位面积界面所释放能量之差，相对于分离液体L和气体G间单位面积所要求的能量之比。 从上式可以看出如果1时，则该式就不平衡。在这种情况下，液体L必定会无限蔓延到全部表面。我们把这种现象称为湿润性。乘积又称为附着张力。可以用来判断哪种流体可以先湿润固体。 如果900，说明流体湿润固体，图139中L，这种流体称为湿润流体；当900，这种流体称为非湿润流体，图l39中G。一般来说，水呈湿润流体，而空气则呈非湿润流体。 当空气和液体界面正在固体表面上推进或退缩时，界面张力和湿润性可能不同。这种现象称为滞后现象。3毛管压力及毛管水头 为了便于对非饱和渗流规律的研究，早在50年前人们就将多孔介质的空隙假想为一束束均一的毛细管。非饱和带内的水分运移被看作是水分在均匀的或孔径不等的毛细管中运动。实践证明，这两种现象是极其相似的，图14l、图142。 当多孔介质的孔隙中有两种不相溶混的流体(如水和空气)接触时，由于接触的两相间的界面张力，使得两种流体之间的压力存在不连续性，即存在压力差，这个压力差Pc称为毛管压强，可用下式表示：式中 Pc毛管的压强；Pw水的压强。在非饱和渗流中，毛细压力常常用毛管水头表示。图141所示的毛管水柱上作用力的分析，我们得到式中T表面张力； P水的密度() h c毛细管上升高度或称毛细压力帕。 液面与管壁接触角； R毛细管液面平均半径。从上式可以看出，毛细上升高度与孔隙大小有关，与土的类型有关，砂土的毛细上升高度h c可参考下面经验公式：式中 d1o有效粒径，h c，d10均以cm计。不同土类的毛细上升高度可参考表l5。若毛细管弯月面处毛管压强为pc，分析该处水膜受力的平衡条件有若取0，由(1143)可知，代入上式得某些作者用符号表示压力水头的负值，即对于饱和非饱和流可写出统一的水头表达式式中 p压强，可正可负，在饱和流中取正值，非饱和流中取负值。其他符号意义伺前。 4土壤水分特征曲线 反映毛管压强pc或毛管水头hc和土壤含水率或饱和度Sw的关系曲线，在土壤学中称为水分特征曲线(图143、图144)，或称持水曲线。它表明有多少水由于毛细力克服重力而被保持在土壤中，也就是说这些曲线表示非饱和带中水分的能量和数量之间的关系，反映了非饱和带中水分的基本特征。 从曲线中可以看出，不同的土的水分特征曲线是不同的。同样条件下粘性土要比砂保持更多的水分，具有更高的含水率。土的颗粒级配，对特征曲线的形状也有影响，如图143的曲线I和II，温度的变化也对它有影响。温度升高时，表面张力降低，在同样的吸力下含水率要低一些。水分特征曲线的斜率的负倒数称为容水度，记作c。容水度C不是常数，是随含水率或毛管压强pc而变化的，记作C()或C(pc)。它表示毛细压力水头变化一个单位时从单位体积土中释放出的水的体积，是计算非饱和带地下水运动的重要参数。5田间持水量 从上述曲线中还可以看出，经过长时间的重力排水，即使在一定压强下土壤中仍保持一定的水量，这时含水量称为田间持水量。通常用表示。相应的饱和度用表示。田间持水量在土壤学中又可以这样定义：即在重力排水作用终止后，单位体积土壤中保持的含水量。按照这一定义田间持水量足单位体积土壤的一个特征，它取决于土的结构，颗粒大小分布，孔隙的大小和形状。图147表示了田间持水量与有效孔隙度之间的关系，pT以用下式表示：式中 有效孔隙度。 6非饱和流动中的给水度概念 前述已经介绍过给水度的撅念。给水度是单位体积含水层中所排出的重力水的体积。但实际上如图148所示，当潜水面由降低到时，其间的水并未全部排出，只是由饱和带的水变成非饱和带的水，水分分布曲线发生相应的改变。图中阴影部分为排出的水体积。为此我们可以这样来定义给水度：一个单位水平面积的从地表一直延伸到潜水面的垂直土柱，当潜水面降低一单位时所排出的水的体积。给水度可用下式表示(坐标原点取在地面)f)给水度；vd排出的水体积；z排水前的潜水面深度z“排水后的潜水面深度排水前的含水率；排水后的含水率。如果潜水面埋藏较浅，两条水分含量曲线的形状不再相同固148(b)I，得出的给水度小于以前我们定义的给水度。由于重力排水的滞后现