材料力学 梁的弯曲问题.ppt

第十五章梁的弯曲问题 15 1工程实际中的弯曲问题 梁在垂直于其轴线的荷载作用下要变弯 其轴线由原来的直线变成曲线 这种变形叫做弯曲变形 产生弯曲变形的构件称为受弯构件 一 平面弯曲的基本概念 工程实例建筑工程中的各类梁 火车轴 水压作用下的水槽壁等 火车轴厂房吊车梁 平面弯曲 梁的轴线在变形后仍保持在同一平面 荷载作用面 内 即梁的轴线成为一条平面曲线 对称 平面 弯曲 Planarbending 对称平面 梁的荷载和支座反力 一 梁的荷载1集中力 作用在微小局部上的横向力 2集中力偶 作用在通过梁轴线的平面 或与该面平行的平面 内的力偶 3分布荷载 沿梁长连续分布的横向力 荷载集度 用q x 表示 分布荷载的大小 均布荷载 非均布荷载 二 梁的支座及支座反力 支座形式1固定铰约束 2可动铰约束 3固定支座 计算简图确定梁的 计算简图 包含 以梁的轴线经代替实际的梁 以简化后的支座代替实际的支座 实际支承 理想支承 以简化后的荷载代替实际的荷载 三 梁的分类 按支座情况 简支梁 一端固定铰 一端可动铰 外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁 悬臂梁 一端固定支座 另一端自由 按支座反力的求解方法 静定梁 用平衡方程可求出未知反力的梁 超静定梁 仅用平衡方程不能求出全部未知反力的梁 按梁的横截面 等截面梁 横截面沿梁的长度没有变化 变截面梁 横截面沿梁的长度有变化 汽车钢板弹簧 鱼腹梁 15 2梁的内力及其求法 一 求梁的内力的方法 截面法 内力的形式及名称 剪力 弯矩 N或kN N m或kN m 内力的求法 内力的正负号 剪力 弯矩 左上右下为正 左下右上为负 向上凹变形为正 向上凸变形为负 例1图示简支梁受两个集中力作用 已知F1 12kN F2 10kN 试计算指定截面1 1 2 2的内力 解 1 求支座反力 2 求1 1截面上的内力 3 求2 2截面上的内力 结论 1梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧 或右侧 所有竖向力 包括斜向外力的竖向分力 约束反力 的代数和 且截面左边向上 右边向下 的外力使截面产生正号的剪力 2梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧 或右侧 所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 包括外力偶 约束反力偶 且截面左边顺时针 右边逆时针 的力矩使截面产生正号的弯矩 例2试利用上述结论写出图示梁1 1截面上的剪力和弯矩的表达式 例3求图示简支梁1 1与2 2截面的剪力和弯矩 解 1 求支座反力 2 求1 1截面的剪力FQ1 弯矩M1根据1 1截面左侧的外力计算可得 根据1 1截面右侧的外力计算可得 可见计算结果完全相同 3 求2 2截面的剪力FQ2 弯矩M2根据2 2截面右侧的外力计算可得 15 3内力图 剪力图和弯矩图 为了形象地看到内力的变化规律 通常将剪力 弯矩沿梁长的变化情况用图形表示出来 这种表示剪力和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图 具体作法是 剪力方程 弯矩方程 例4求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支座反力 2 列出剪力方程和弯矩方程取距左端为x处的任一截面 此截面的剪力和弯矩表达式分别为 3 画剪力图 弯矩图 标出特征值 FQ图 ql 2 ql 2 ql2 8 M图 例5简支梁受一集中力F 9ql和一集中力偶Me ql2作用 试作出其剪力图和弯矩图 分析 1 1 2 2截面上的剪力 结论 当梁中间受力较复杂时 剪力方程和弯矩方程不可能用一个统一的函数式来表达 必须分段列出其表达式 分段是以集中力 集中力偶的作用位置及分布荷载的起点和终点为界 分段点如何确定 解 1 求支座反力 2 分三段AC CD DB列出剪力方程和弯矩方程AC段 CD段 DB段 3 画剪力图 弯矩图 标出特征值 FQ图 M图 结论 当梁上荷载有变化时 剪力方程和弯矩方程不可能用一个统一的函数式来表达 必须分段列出其表达式 分段是以集中力 集中力偶的作用位置及分布荷载的起点和终点为界 剪力图和弯矩图一般是连续的 在集中力作用处剪力图发生突变 突变的数值等于集中力的大小 方向与集中力的方向相同 在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突变 突变的数值等于集中力偶的大小 方向为 顺下逆上 15 4弯矩 剪力 荷载集度之间的关系一 弯矩 剪力 荷载集度之间的关系 二 剪力图 弯矩图的规律 q 0 FQ 直线段 FQ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M M 结论 规律 2 当梁的支承情况对称 荷载反对称时 则弯矩图永为反对称图形 剪力图永为对称图形 1 当梁的支承情况对称 荷载也对称时 则弯矩图永为对称图形 剪力图永为反对称图形 例7图示左端外伸梁 外伸端A作用一集中力偶Me qa2 BA段所受荷载的分布集度为q 试利用微分关系作梁的剪力图 弯矩图 解 1 求支座反力 三 画剪力图 弯矩图的简便方法 2 作剪力图 3 作弯矩图 7 6qa 11 6qa 121 72qa2 FQ图 M图 Me Mmax 2m 2m 2m P 3kN M1 2kN m M2 6kN m q 1kN m 2m B A 4 6 6 6 8 3 2 2 2 FQ kN M kN m 例8作梁的内力图 结论 q F Me共同作用时产生的内力等于q F Me分别单独作用时产生的内力之和 因此 当梁上有几种 或几个 荷载作用时 可以先分别计算每种 或每个 荷载单独作用时的梁的反力和内力 然后将这些分别计算所得的结果代数相加得梁的反力和内力 这种方法称为叠加法 15 5叠加法作剪力图和弯矩图 线弹性 位移可以叠加 非线性弹性 位移不可以叠加 叠加原理成立的前提条件 1 小变形 2 材料满足虎克定理 线性本构关系 当变形为微小时 可采用变形前尺寸进行计算 1 叠加原理 当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代数和 2 区段叠加法作弯矩图 设简支梁同时承受跨间荷载q与端部力矩MA MB的作用 其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到 即 弯曲内力 B MA A q MB l B 1q x 0 结论 弯矩图为一水平直线 结论 剪力图为一水平直线 弯矩图为斜率的绝对值等于FS一斜直线 结论 剪力图为一水平直线 弯矩图为斜率的绝对值等于FS一斜直线 2q x 0 结论 剪力图为斜率等于q的一斜直线 弯矩图为抛物线 开口向下 3q x 0 结论 剪力图为斜率等于q的一斜直线 弯矩图为抛物线 开口向上 4集中力F作用处 结论 在集中力作用处剪力图发生突变 弯矩不变 突变的数值等于集中力的大小 方向与剪力的方向相同 5集中力偶Me作用处 结论 在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突变 剪力不变 突变的数值等于集中力偶的大小 方向为 顺下逆上 例9试判断图示各题的FQ M图是否正确 如有错请指出并加以改正 由图可知 在梁的AC DB两段内 各横截面上既有剪力又有弯矩 这种弯曲称为剪切弯曲 或横力弯曲 在梁的CD段内 各横截面上只有弯矩而无剪力 这种弯曲称为纯弯曲 15 6梁横截面上的正应力计算 1 剪切弯曲 2 纯弯曲 内力 弯矩M正应力 由以上定义可得 1 纯弯曲实验 横向线 ab cd 变形后仍为直线 但有转动 一 梁的纯弯曲实验 纵向对称面 纵向线变为同心圆弧曲线 且上缩下伸 横向线与纵向线变形后仍正交 横截面高度不变 纯弯曲梁上正应力的确定 2 纵向纤维间无挤压 只受轴向拉伸和压缩 1 平面假设 横截面变形后仍为平面 只是绕中性轴发生转动 并垂直于变形后梁的轴线 横截面上只有正应力 2 根据上述的表面变形现象 由表及里地推断梁内部的变形 作出如下的两点假设 3 两个概念 中性层 梁内一层纤维既不伸长也不缩短 因而纤维不受拉应力和压应力 此层纤维称中性层 中性轴 中性层与横截面的交线 M 横截面上的弯矩y 所计算点到中性轴的距离Iz 截面对中性轴的惯性矩 4 正应力公式 不仅适用于纯弯曲 也适用于剪力弯曲 适用于所有截面 5 应力正负号确定 M为正时 中性轴上部截面受压下部截面受拉 M为负时 中性轴上部截面受拉下部截面受压 在拉区为正 压区为负 最大正应力 危险截面 最大弯矩所在截面Mma危险点 距中性轴最远边缘点ymax 令 则 一般截面 最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上 5 最大正应力 Wz 抗弯截面模量 1 正应力强度条件 矩形和工字形截面梁正应力 max M WzWz Iz h 2 特点 max max T形截面梁的正应力 max M W1W1 Iz y1 max M W2W2 Iz y2 特点 max max 15 7梁的正应力强度计算 2 强度条件应用 依此强度准则可进行三种强度计算 校核强度 例10受均布载荷作用的简支梁如图所示试求 1 1 1截面上1 2两点的正应力 2 此截面上的最大正应力 3 全梁的最大正应力 4 已知E 200GPa 求1 1截面的曲率半径 解 画M图求截面弯矩 求应力 求曲率半径 解 画弯矩图并求危面内力 例11T字形截面的铸铁梁受力如图 铸铁的 L 30MPa y 60MPa 其截面形心位于G点 y1 52mm y2 88mm Iz 763cm4 试校核此梁的强度 并说明T字梁怎样放置更合理 画危面应力分布图 找危险点 x 4kNm 2 5kNm M 校核强度 T字头在上面合理 弯曲应力 x 4kNm 2 5kNm M 一 矩形截面梁横截面上的切应力 Q x dQ x M x y M x dM x Q x dx 图a 图b Sz 为面积A 对横截面中性轴的静矩 15 8梁横截面上的切应力及强度 z y 式中 所求切应力面上的剪力 IZ 整个截面对中性轴的惯性矩 Sz 过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩 b 所求应力点处截面宽度 y A yc t方向 与横截面上剪力方向相同 t大小 沿截面宽度均匀分布 沿高度h分布为抛物线 中性轴上有最大切应力 为平均切应力的1 5倍 其它截面梁横截面上的切应力 工字形截面梁剪应力分布假设仍然适用 横截面上剪力 Iz 整个工字型截面对中性轴的惯性矩 b1 腹板宽度 Sz 阴影线部分面积A 对中性轴的静矩最大剪应力 Iz 圆形截面对中性轴的惯性矩 b 截面中性轴处的宽度 Sz 中性轴一侧半个圆形截面对中性轴的静矩 圆形截面梁最大剪应力仍发生在中性轴上 圆环截面梁 1 危险面与危险点分析 最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处 2 切应力强度条件 3 需要校核切应力的几种特殊情况 铆接或焊接的组合截面 其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时 要校核切应力 梁的跨度较短 M较小 而FS较大时 要校核切应力 各向异性材料 如木材 的抗剪能力较差 要校核切应力 注意事项 设计梁时必须同时满足正应力和剪应力的强度条件 对细长梁 弯曲正应力强度条件是主要的 一般按正应力强度条件设计 不需要校核剪应力强度 只有在个别特殊情况下才需要校核剪应力强度 弯曲强度计算的步骤 画出梁的剪力图和弯矩图 确定 FS max和 M max及其所在截面的位置 即确定危险截面 注意两者不一定在同一截面 根据截面上的应力分布规律 判断危险截面上的危险点的位置 分别计算危险点的应力 即 max和 max 二者不一定在同一截面 更不在同一点 对 max和 max分别采用正应力强度条件和剪应力强度条件进行强度计算 即满足 max max 解 画内力图求危面内力 例12矩形 b h 0 12m 0 18m 截面木梁如图 7MPa 0 9MPa 试求最大正应力和最大切应力之比 并校核梁的强度 A B L 3m qL2 8 M 求最大应力并校核强度 应力之比 作弯矩图 寻找需要校核的截面 要同时满足 分析 非对称截面 要寻找中性轴位置 例13 2 求截面对中性轴z的惯性矩 1 求截面形心 解 4 B截面校核 3 作弯矩图 4kNm 2 5kNm M 5 C截面要不要校核 4 B截面校核 3 作弯矩图 4kNm 2 5kNm M 弯曲正应力是控制梁弯曲强度的主要因素 故弯曲正应力的强度条件 要提高梁的承载承力 应从两方面考虑 一方面是合理安排梁的受力情况 以降低Mmax的值 另一方面是采用合理的截面形状 以提高W的数值 充分利用材料的性能 15 9提高梁强度的措施 一 合理安排梁的受力情况合理布置梁的支座 左边梁的最大弯矩值是右边梁的最大弯矩值的5倍 因此 右边梁上的载荷还要提高四倍 才能使得其最大弯矩值同左边的相同 因而 右边梁的承载能力要比左边高四倍 因此说来 合理的布置梁的支座 对提高梁的弯曲强度是十分必要的 门式起重机的大梁 适当增加梁的支座 合理的布置载荷 比较下列两种布置方法 改善荷载的布置情况 二 提高抗弯截面系数 选择合理的截面形状 在确定梁的截面形状与尺寸时 除应考虑弯曲正应力强度条件外 还应考虑弯曲切应力强度条件 因此 在设计工字形 箱形 T字形与槽型等薄壁截面梁时 也应注意使腹板具有一定的厚度 合理选择截面形状 尽量增大Wz值 单位面积抗弯截面模量 常见截面的Wz A值比较 从表中可以看出 材料远离中性轴的截面较经济合理 工程中的吊车梁 桥梁常采用工字形 槽形或箱形截面 房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板 道理就在于此 从弯曲强度考虑 比较合理的截面形状 是使用较小的截面面积 却能获得较大抗弯能力的截面 在一般截面中 抗弯能力与截面高度的平方成正比 因此 当截面面积一定时 宜将较多材料放置在远离中性轴的部位 因此 面积相同时 工字形优于矩形 矩形优于正方形 环形优于圆形 同时应尽量使拉 压应力同时达到最大值 根据材料特性选择截面 对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面 拉压性能不一的材料如铸铁 宜用不对称的截面 使中性轴靠近拉的一侧 变截面梁 1 b不变 中间h加大 Pl 4 2 h不变 中间b随x与弯矩M x 同规律变化 如上图 3 b不变 中间h随x与弯矩M x 规律变化 如右图摇臂钻床的摇臂 等强度梁 阶梯梁 渔腹梁 工艺上简化 日本岩大桥 雨蓬梁板 实例 预应力钢筋 以上的措施仅仅考虑提高梁的强度方面 事实上 梁的合理使用应综合考虑强度与刚度 稳定性等问题 这正是工程构件力学分析的核心内容 弯曲构件除了要满足强度条件外 还需满足刚度条件 如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差 15 10梁的变形概念 但在另外一些情况下 有时却要求构件具有较大的弹性变形 以满足特定的工作需要 例如 车辆上的板弹簧 要求有足够大的变形 以缓解车辆受到的冲击和振动作用 挠度 w 任一横截面形心 即轴线上的点 在垂直于x轴方向的线位移 称为该截面的挠度 取梁的左端点为坐标原点 梁变形前的轴线为x轴 横截面的铅垂对称轴为y轴 xy平面为纵向对称平面 挠度 w y 转角 转角 横截面绕中性轴转过的角度 或角位移 称为该截面的转角 也即挠曲线在该截面处的切线与x轴的夹角 y 挠度和转角符号的规定 挠度 在图示坐标系中 向下为正 向上为负 转角 顺时针转向为正 逆时针转向为负 y x A B C C1 F 必须注意 梁轴线弯曲成曲线后 在x轴方向也有线位移 y x A B C C1 F 但在小变形情况下 梁的挠度远小于跨长 这种位移与挠度相比很小 可略去不计 挠曲线 梁变形后的轴线称为挠曲线 挠曲线方程 式中 x为梁变形前轴线上任一点的横坐标 w为该点的挠度 y x A B C C1 F 挠度与转角的关系 y x A B C C1 F 此式称为梁的挠曲线近似微分方程 再积分一次 得挠度方程 上式积分一次得转角方程 若为等截面直梁 其抗弯刚度EI为一常量 上式可改写成 式中 积分常数C1 C2可通过梁挠曲线的边界条件和变形的连续性条件来确定 15 11梁的变形计算积分法求弯曲变形 简支梁 悬臂梁 边界条件 wA 0 wB 0 wA 0 qA 0 连续性条件 在挠曲线的任一点上 有唯一的挠度和转角 如 不可能 不可能 c 讨论 适用于小变形 线弹性 细长构件的平面弯曲 用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移 积分常数由挠曲线变形边界条件确定 优点 使用范围广 直接求出较精确 缺点 计算较繁 例14图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F作用 试求梁的挠曲线方程和转角方程 并确定其最大挠度wmax和最大转角 max A B l 解 以梁左端A为原点 取直角坐标系 令x轴向右 y轴向下为正 1 列弯矩方程 F 2 列挠曲线近似微分方程并积分 3 确定积分常数 代入式 a 和 b 得 C1 0 C2 0 在x 0处 w 0 在x 0处 q 0 A B l x y F 4 建立转角方程和挠度方程 将求得的积分常数C1和C2代入式 a 和 b 得梁的转角方程和挠度方程分别为 5 求最大转角和最大挠度 自由端B处的转角和挠度绝对值最大 所得的挠度为正值 说明B点向下移动 转角为正值 说明横截面B沿顺时针转向转动 例15 一简支梁受均布荷载作用 求梁的转角方程和挠度方程 并确定最大挠度和A B截面的转角 设梁的抗弯刚度为EI 解 1 建立坐标系 求支座反力 列弯矩方程 边界条件 得 例16 已知F EI 求梁的转角方程和挠度方程及wmax 解 1 建立坐标系 求支座反力 2 分段求出弯矩方程及w w 边界条件 x 0 w1 0 x l w2 0 连续条件 x a w1 w2 w1 w2 由连续条件 得 C1 C2 D1 D2 再由边界条件 得 C1 C2 Fb l2 b2 6l D1 D2 0 因此 梁各段的转角方程和挠度方程为 因此 受任意荷载的简支梁 只要挠曲线上没有拐点 均可近似地将梁中点的挠度作为最大挠度 条件 由于梁的变形微小 梁变形后其跨长的改变可略去不计 且梁的材料在线弹性范围内工作 因而 梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系 在这种情况下 梁在几项载荷 如集中力 集中力偶或分布力 同时作用下某一横截面的挠度和转角 就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加 此即为叠加原理 15 11梁的变形计算叠加法求弯曲变形 例17 简支梁所受荷载如图示 用叠加法求梁中点挠度和左端截面的转角 设梁抗弯刚度为EI 解 例18简支梁的EI已知 用叠加法求梁跨中截面的位移和两端截面的转角 载荷分解如图 对称均布载荷单独作用时 集中力偶单独作用时 叠加 例19 一阶梯形悬臂梁 在左端受集中力作用 试求左端的挠度 解 采用逐段刚化法 1 令BC刚化 AB为悬臂梁 2 令AB刚化 BC为悬臂梁 EI 2EI 2EI 累加得到总的结果 例20 已知F q EI 求 c和wc 这种叠加法又称为逐段 级 刚化法 例21用逐段刚性法求解简支外伸梁的挠度 把未变形BC