浅谈几何的发展历程.ppt

几何学发展简史 前言 几何学是一门古老而实用的科学 是自然科学的重要组成部分 在史学中 几何学的确立和统一经历了二千多年 数百位数学家做出了不懈的努力 几何这个词最早来自于希腊语 由 土地 和 测量 两个词合成而来 指土地的测量 即测地术 后来拉丁语化为 geometria 中文中的 几何 一词 最早是在明代利玛窦 徐光启合译 几何原本 时 由徐光启所创 当时并未给出所依根据 后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译 另一方面由于 几何原本 中也有利用几何方式来阐述数论的内容 也可能是magnitude 多少 的意译 所以一般认为几何是geometria的音 意并译 1607年出版的 几何原本 中关于几何的译法在当时并未通行 同时代也存在着另一种译名 形学 如狄考文 邹立文 刘永锡编译的 形学备旨 在当时也有一定的影响 在1857年李善兰 伟烈亚力续译的 几何原本 后9卷出版后 几何之名虽然得到了一定的重视 但是直到20世纪初的时候才有了较明显的取代形学一词的趋势 如1910年 形学备旨 第11次印刷成都翻刊本徐树勋就将其改名为 续几何 直至20世纪中期 已鲜有 形学 一词的使用出现 古希腊的几何学发展 解析几何 投影几何 非欧几何 微分几何 几何的公理化 欧氏几何的创始 公认的几何学的确立源自公元300多年前 希腊数学家欧几里得著作 原本 欧几里得在 原本 中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结 全书共有13卷 包括5条公理 5条公设 119个定义和465条命题 这些公设和公理及基本定义成为 原本 的推理的基础 欧几里得的 原本 是数学史上的一座里程碑 在数学中确立了推理的范式 他的思想被称作 公理化思想 萌芽期 实验几何 古希腊天文学与几何学之父 他曾正确的预测日蚀的时间 对一些几何图形做有系统的研究 启蒙期 泰利斯 启蒙期 首创集体创作 称为毕式学派 也是一位音乐家 发明毕式音阶 毕式定理为几何学中的重要定理 这个学派认为 数 是宇宙万物的基础 毕达哥拉斯 启蒙期 尤多拉斯 创立穷尽法 exhaustionmethod 所谓穷尽法就是 无穷的逼近 的观念 主要构想是为了求取圆周率 的近似值 所予理论上说尤多拉斯是微积分的开山祖师 尤多拉斯的另一贡献为对比例问题做有系统的研究 欧几里得 巅峰期 原本 的简介 古希腊数学家欧几里得把至希腊时代为止所得到的数学知识集其大成 编成十三卷的 原本 这就是直到今天仍广泛地作为几何学的教科书使用下来的欧几里得几何学 简称欧氏几何 原本 是一部划时代的著作 是最早用公理法建立起演绎数学体系的典范 古希腊数学的基本精神 是从少数的几个原始假定 定义 公设 公理 出发 通过逻辑推理 得到一系列命题 这种精神 充分体现在欧几里得的 原本 中 原本 全书共分13卷 包括有5条公理 5条公设 119个定义和465条命题 原本 的优缺点 欧几里德 原本 可以说是数学史上的第一座理论丰碑 它最大的功绩 是在于数学中演绎范式的确立 这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论 而所有这样的推理链的共同出发点 是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理 公设或公理 这就是后来所谓的公理化思想 首先使用了重合法来证明图形的全等 这方法有两点值得怀疑 第一 它用了运动的概念 而这是没有逻辑依据的 第二 重合法默认图形从一处移动到另一处时所有性质保持不变 要假定移动图形而不致改变它的性质 那就要对物理空间假定很多的条件 其次是公理系统不完备 例如没有运动 连续性 顺序等公理 因此许多证明不得不借助于直观 利用今天的认识可以发现欧几里德用了数十个他所从未提出而且无疑并未发觉的假定 包括关于直线和圆的连续性的假定 衰退期 自阿基米德及阿波罗尼阿斯之后 希腊数学已渐渐走入衰退期 在这中间 仍有几位值得一提的人物 托勒密 将三角函数发扬光大 并由此将天文学炒热 帕布斯 可说是末代时期的代表人物 古希腊几何发展的原因 毕学派首先提出下列观念 将神秘性 不确定性从自然活动中抹去 并将表面看似纷乱不堪的自然现象 重新整理成可理解的次序和型式 并决定性的关键就在於数学的应用 继承毕式学派观念的就是柏拉图 柏拉图主张 只有循数学一途 才能了解实体世界的真面目 而科学之成为科学 在於它含有数学的份 就是因为希腊时代的一些学者对於自然的这种看法和确立了依循数学研究自然的做法 给食腊时代本身及后来世世代代的数学创见提供了莫大的诱因 而在数学的领域中 几何学是最接近实际的描述 对希腊人而言 几何学的原则是宇宙结构的具体表现 本身正一门实际空间的科学 几何学就是数学 研究的中心 希腊数学中的著名问题 方圆问题 是否能将一个已知的圆 变成一个正方形 而使得两者面积相等这个问题在由尤多拉斯时代 就有许多人在这方面的研究 直到十九世纪才证明其为不可能 但是研究期间 已经另外产生了许多数学的支 倍积问题 对一个已知的正立方体 长 宽 高应该扩大 才可使新的立方体为原来立方体体积的两倍 等分角问题 对任意的一个角 如何将其三等分 问题2 3到十九世纪才被解决 证明为不可能 平行公设 有人认为平行公设不为一公设 所以有人将平行公设这个去除 结果造出一套新的几何学出来 而又不会违背原来的欧式几何 这也就是非欧几何学 也就是爱因斯坦相对论的基础 也许有人认为希腊人不切实际 这三个问题在当时 可说完全无实用性 只可说是一些有闲阶级的人磨练脑力之用 但是就是因为有那麼多人投下心力去研究 才会间接带动几何学研究的风潮 而因此产生以后数学蓬勃的发展 解析几何的诞生 解析几何是变量数学最重要的体现 解析几何的基本思想是在平面上引入 坐标 的概念 并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对 x y 建立一一对应的关系 于是几何问题就转化为代数问题 解析几何的真正创立者应该是法国数学家迪卡儿和费马 1637年迪卡儿在 更好的指导推理和寻求科学真理的方法论 的附录 几何学 中清晰的体现了解析几何的思想 而费马则是在论平面和立体的轨迹引论中阐述了解析几何的原理 他在书中提出并使用了坐标的概念 同时建立了斜坐标系和直角坐标系 十六世纪以后 由于生产和科学技术的发展 天文 力学 航海等方面都对几何学提出了新的需要 比如 德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的 太阳处在这个椭圆的一个焦点上 意大利科学家伽利略发现投掷物体试验时 物体沿着抛物线运动的 这些发现都涉及到圆锥曲线 要研究这些比较复杂的曲线 原先的一套方法显然已经不适应了 这就导致了解析几何的出现 1637年 法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作 方法论 这本书的后面有三篇附录 一篇叫 折光学 一篇叫 流星学 一篇叫 几何学 当时的这个 几何学 实际上指的是数学 就像我国古代 算术 和 数学 是一个意思一样 笛卡尔的 几何学 共分三卷 第一卷讨论尺规作图 第二卷是曲线的性质 第三卷是立体和 超立体 的作图 但他实际是代数问题 探讨方程的根的性质 后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的 几何学 作为解析几何的起点 从笛卡尔的 几何学 中可以看出 笛卡尔的中心思想是建立起一种 普遍 的数学 把算术 代数 几何统一起来 他设想 把任何数学问题化为一个代数问题 在把任何代数问题归结到去解一个方程式 为了实现上述的设想 笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发 指出平面上的点和实数对 x y 的对应关系 x y的不同数值可以确定平面上许多不同的点 这样就可以用代数的方法研究曲线的性质 这就是解析几何的基本思想 具体地说 平面解析几何的基本思想有两个要点 第一 在平面建立坐标系 一点的坐标与一组有序的实数对相对应 第二 在平面上建立了坐标系后 平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了 从这里可以看到 运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决 而且还把变量 函数以及数和形等重要概念密切联系了起来 解析几何的产生并不是偶然的 在笛卡尔写 几何学 以前 就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系 也有人在研究天文 地理的时候 提出了一点位置可由两个 坐标 经度和纬度 来确定 这些都对解析几何的创建产生了很大的影响 在数学史上 一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一 应该分享这门学科创建的荣誉 费尔马是一个业余从事数学研究的学者 对数论 解析几何 概率论三个方面都有重要贡献 他性情谦和 好静成癖 对自己所写的 书 无意发表 但从他的通信中知道 他早在笛卡尔发表 几何学 以前 就已写了关于解析几何的小文 就已经有了解析几何的思想 只是直到1679年 费尔马死后 他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表 笛卡尔的 几何学 作为一本解析几何的书来看 是不完整的 但重要的是引入了新的思想 为开辟数学新园地做出了贡献 恩格斯对此曾经作过评价 数学中的转折点是笛卡尔的变数 有了变数 运动进入了数学 有了变数 辩证法进入了数学 有了变数 微分和积分也就立刻成为必要的了 解析几何的基本内容 在解析几何中 首先是建立坐标系 取定两条相互垂直的 具有一定方向和度量单位的直线 叫做平面上的一个直角坐标系oxy 利用坐标系可以把平面内的点和一对实数 x y 建立起一一对应的关系 除了直角坐标系外 还有斜坐标系 极坐标系 空间直角坐标系等等 在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标 坐标系将几何对象和数 几何关系和函数之间建立了密切的联系 这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了 用这种方法研究几何学 通常就叫做解析法 这种解析法不但对于解析几何是重要的 就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的 解析几何的应用 解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何 在平面解析几何中 除了研究直线的有关直线的性质外 主要是研究圆锥曲线 圆 椭圆 抛物线 双曲线 的有关性质 在空间解析几何中 除了研究平面 直线有关性质外 主要研究柱面 锥面 旋转曲面 椭圆 双曲线 抛物线的有些性质 在生产或生活中被广泛应用 比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面 灯丝在一个焦点上 影片门在另一个焦点上 探照灯 聚光灯 太阳灶 雷达天线 卫星的天线 射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的 总的来说 解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题 一类是满足给定条件点的轨迹 通过坐标系建立它的方程 另一类是通过方程的讨论 研究方程所表示的曲线性质 运用坐标法解决问题的步骤是 首先在平面上建立坐标系 把已知点的轨迹的几何条件 翻译 成代数方程 然后运用代数工具对方程进行研究 最后把代数方程的性质用几何语言叙述 从而得到原先几何问题的答案 坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题 先前被看作几何学中的难题 一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了 坐标法对近代数学的机械化证明也提供了有力的工具 解析几何在方法论上是一个了不起的创见 笛卡儿希望通过解析几何给几何引进一个新的方法 他的成就远远超过他的希望 在代数的帮助下 不但能迅速地证明关于曲线的某些事实 而且这个探索问题的方式 几乎成为自动的了 解析几何把代数和几何结合起来 把数学造成一个双面工具 解析几何的显著优点在于它是数量的工具 为数学思想的发展开拓了新的天地 揭示了数学的内在统一性 非欧几何的诞生与发展 非欧几何的诞生源于人们长久以来对欧几里得 原本 中第五公设即平行公设的探讨 但一直未得到公设的结论 直到数学家高斯 波约和俄国数学家罗巴切夫斯基在自己的论著中都描述了这样一种几何 以 从直线外一点可以引不止一条直线平行于已知直线 作为替代公式 进行推理而得出的新的一套几何学定理 并将它命名为非欧几何 一般称为 罗氏几何 欧式几何五条公设和五条公理 公设1 任意两个点可以通过一条直线连接 2 任意线段能无限延伸成一条直线 3 给定任意线段 可以以其一个端点作为圆心 该线段作为半径作一个圆 4 所有直角都全等 5 若两条直线都与第三条直线相交 并且在同一边的内角之和小于两个直角 则这两条直线在这一边必定相交 公理1 等于同量的量彼此相等 2 等量加等量 其和仍相等 3 等量减等量 其差仍相等 4 彼此能够重合的物体是全等的 5 整体大于部分 第五公设的疑问 但长期以来 人们一直对第五公设心存疑问 首先 第五公设相较于其他公设晦涩而难懂 许多人第一眼看上去并不了解这说的是什么 其次 即便稍稍弄明白了意思 数学家们也纠结于它的证明 但就是这样一个小小的疑问 在今后的数学界却掀起了巨大的波澜 第五公设的简化 因而苏格兰科学家普雷费尔给出了它的等价命题 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 如何证明 非欧几何发展的成熟期 一是以俄国数学家罗巴切夫斯基为首的罗巴切夫斯基几何学派一是以德国数学家黎曼为首的黎曼几何学派 罗氏几何 罗巴切夫斯基首先否定了第五公设并得出了他的观点 过已知直线外一点至少可以作两条直线与已知直线平行 在罗氏几何中 三角形的一个显著特点是其内角之和严格小于平角 不存在相似三角形 但最令人难以接受的是任意三角形的面积都是有界的 由此推导出的罗氏正弦定律 余弦定律甚至勾股定律都远复杂于欧式几何 黎曼几何 黎曼认为 过直线外任意一点没有一条直线与已知直线平行 在黎曼几何中 得出了以下公设 任意两条直线必相交 三角形内角和大于180 其证明是围绕着一个球体进行的 黎曼视该球体的一个大圆为非欧直线 则任意两个大圆间必有至少两个交点 大圆有限 从这个意义上来说 的确 是不存在平行这个概念的 欧氏几何 罗氏几何 黎曼几何是三种各有区别的几何 这三种几何各自的命题都构成了一个严密的公理体系 各公理之间满足和谐性 完备性和独立性 因此这三种几何都是正确的 在我们日常生活中 欧式几何是适用的 在宇宙空间中或原子核世界 罗氏几何更符合客观实际 在地球表面研究航海 航空等实际问题中 黎曼几何更准确一些 研究非欧几何的发展历程 对于数学的发展和人类的进步有重大意义 欧氏几何 罗氏几何 黎曼几何的比较 文艺复兴时期的几何发展源于对宗教绘画的更高追求 画家在绘画中对 同一物体的同一投影的不同截影有什么相同的性质 等问题产生了兴趣 这导致了透视学的兴起 即催生了射影几何学 法国人德沙格在1639年发表了 试论锥面截一平面所得结果的初稿 这本书也是将数学方法引用于解决透射问题的第一部发表的论著 另一位法国数学家帕斯卡1640年完成了 圆锥曲线论 提出了射影几何学中的帕斯卡定理 他们对射影几何作出了突出的贡献 但他们局限于将这种几何学作为欧氏几何的一部分来研究 射影几何的发展 第四十二回蘅芜君兰言解疑癖潇湘子雅谑补余香 宝钗道 我有一句公道话 你们听听 藕丫头虽会画 不过是几笔写意 如今画这园子 非离了肚子里头有几幅丘壑的才能成画 这园子却是象画儿一般 山石树木 楼阁房屋 远近疏密 也不多 也不少 恰恰的是这样 你就照样儿往纸上一画 是必不能讨好的 这要看纸的地步远近 该多该少 分主分宾 该添的要添 该减的要减 该藏的要藏 该露的要露 这一起了稿子 再端详斟酌 方成一幅图样 第二件 这些楼台房舍 是必要用界划的 一点不留神 栏杆也歪了 柱子也塌了 门窗也倒竖过来 阶矶也离了缝 甚至于桌子挤到墙里去 花盆放在帘子上来 岂不倒成了一张笑 话 儿了 第三 要插人物 也要有疏密 有高低 衣折裙带 手指足步 最是要紧 一笔不细 不是肿了手就是跏了腿 染脸撕发倒是小事 依我看来竟难的很 如今一年的假也太多 一月的假也太少 竟给他半年的假 再派了宝兄弟帮着他 并不是为宝兄弟知道教着他画 那就更误了事 为的是有不知道的 或难安插的 宝兄弟好拿出去问问那会画的相公 就容易了 射影几何的进一步研究 1822年 庞思列发表了 论图形的射影性质 他在书中提出了两条重要的原理 即 连续性原理 和 对偶原理 与前辈们不同的是 他讨论的问题不单单是在欧氏几何的模式中进行 而是一般性的问题 与此同时 德国数学家普吕可和莫比乌斯开创了研究射影几何的解析方法 即应用代数的方法来推导对偶原理等射影几何原理的成立 史陶特在1847年出版的 位置几何学 中用坐标概念来重新定义交比 使射影几何摆脱了长度等度量的限制 因此射影几何比欧氏几何更基本 在学者们的努力下 明确了欧氏几何与非欧几何都是射影几何的特例 到了1850年前后 数学家们对于射影几何与欧氏几何在一般概念与方法上已做出了区别 但对这两种几何的逻辑关系仍不甚了了 即使是综合派的著作中也依然在使用长度的概念 例如作为射影几何中心概念之一的交比 就一直是用长度来定义的 但长度在射影变换下会发生改变 因而不是射影概念 几何学的统一 非欧几何的创立打破了长久以来人们认为只有欧氏几何的观念 人们开始探寻能否在一般的条件下统一几何学 几何学的统一 1872年德国数学家克莱因在 艾儿朗根纲领 中提出了自己统一几何学的基本构想 所谓几何学 就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问 或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量 在他之后 希尔伯特为统一几何学的提出了实施方法 即公理化方法 希尔伯特在他的 几何基础 中提出了包含20条公理的公理体系 并将它们分为五个组别 而且提出了选择和组织公理系统的原则为相容性 独立性 完备性 这样组织的公理系统中 通过否定或者替换其中一条或者几条公理 就能构造出某一种几何 这种公理系统透彻的阐述了几何学的逻辑关系和包含内容 完整的统一了几何学 近现代几何学 微分几何微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点领域的性质 换句话说 微分几何是研究一般的曲线或曲面在 小范围 上的数学分支学科 1731年18岁的法国青年数学家克莱洛发表 关于双重曲率曲线的研究 开创了空间曲线理论 是建立微分几何的重要一步 欧拉是微分几何的重要奠基人 他早在1736年就引进了平面曲线的内在坐标概念 即以曲线弧长作为曲线上点的坐标 拓扑学拓扑学研究几何图形的连续性质 即在连续变形下保持不变的性质 允许拉伸 扭曲 但不能割断和粘合 拓扑所研究的是几何图形的那样一些性质 它们在图形被弯曲 拉大 缩小或任意的变形下保持不变