2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程练习新人教A版.docx

2.3.1双曲线及其标准方程课时过关能力提升基础巩固1若方程y24-x2m+1=1表示双曲线,则实数m的取值范围是()A.-1m-1C.m3D.m0,m-1.答案:B2已知双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()A.22,0B.52,0C.62,0D.(3,0)解析:双曲线方程化为标准方程为x2-y212=1,a2=1,b2=12.c2=a2+b2=32.c=62,故右焦点坐标为62,0.答案:C3已知双曲线的一个焦点坐标为(6,0),且经过点(-5,2),则双曲线的标准方程为()A.x25-y2=1B.y25-x2=1C.x225-y2=1D.x24-y22=1答案:A4平面内有两个定点F1(-5,0)和F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是()A.x216-y29=1(x-4)B.x29-y216=1(x-3)C.x216-y29=1(x4)D.x29-y216=1(x3)答案:D5已知双曲线C:x29-y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则PF1F2的面积等于()A.24B.36C.48D.96解析:由题意得,a=3,b=4,c2=a2+b2=25,所以c=5.因为|PF2|=|F1F2|=2c=10,P为双曲线C的右支上一点,所以|PF1|-|PF2|=2a=6,所以|PF1|=16.过点F2作F2TPF1于点T,则T为PF1的中点.且|PT|=8,所以|F2T|=6,故SPF1F2=12166=48.答案:C6已知双曲线中心在坐标原点,且一个焦点为F1(-5,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是_.答案:x2-y24=17过双曲线x24-y23=1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M,N两点,F2为双曲线的右焦点,则|MF2|+|NF2|-|MN|的值为_.解析:因为M,N两点在双曲线的左支上,所以由双曲线的定义得|MF2|-|MF1|=2a=4,|NF2|-|NF1|=2a=4,所以|MF2|-|MF1|+|NF2|-|NF1|=4a=8,又|MF1|+|NF1|=|MN|,所以|MF2|+|NF2|-|MN|=8.答案:88已知双曲线的两个焦点F1(-5,0),F2(5,0),P是双曲线上一点,且PF1PF2=0,|PF1|PF2|=2,则双曲线的标准方程为.解析:因为PF1PF2=0,所以PF1PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|=|F1F2|2,又|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c=25,|PF1|PF2|=2,所以(2a)2+22=(25)2,解得a2=4,b2=1.所以双曲线的标准方程为x24-y2=1.答案:x24-y2=19已知双曲线的实半轴长a=4,且经过点A1,4103,求双曲线的标准方程.解:若设所求双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则将a=4代入,得x216-y2b2=1.又点A1,4103在双曲线上,116-1609b2=1.由此得b20,b0),则将a=4代入,得y216-x2b2=1,代入点A1,4103,得b2=9,故双曲线的标准方程为y216-x29=1.10已知F1,F2是双曲线x29-y216=1的两个焦点,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|PF2|=32.试求F1PF2的面积.解:因为P是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36.所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|PF2|=36+232=100.在F1PF2中,由余弦定理,得cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=100-1002|PF1|PF2|=0,所以F1PF2=90.所以SF1PF2=12|PF1|PF2|=1232=16.能力提升1若点P(x,y)满足(x-5)2+y2-(x+5)2+y2=6,则点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的左支C.双曲线的右支D.一条射线解析:依题意,点P到定点(5,0)的距离与到定点(-5,0)的距离之差等于6,且63”是“方程x23-k+y2k-1=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:当k3时,3-k0,此时方程x23-k+y2k-1=1表示双曲线.反之,若方程x23-k+y2k-1=1表示双曲线,则有(3-k)(k-1)3或k3”是“方程x23-k+y2k-1=1表示双曲线”的充分不必要条件.答案:A3已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在双曲线C上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2=()A.14B.35C.34D.45解析:由题意可知,a=2=b,则c=2.设|PF1|=2x,|PF2|=x,则|PF1|-|PF2|=x=2a=22,故|PF1|=42,|PF2|=22,|F1F2|=4.利用余弦定理,得cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=(42)2+(22)2-4222242=34.答案:C4若双曲线y2-5x2=-m的焦距等于12,则实数m的值等于()A.30B.-30C.30D.120解析:当m0时,方程化为x2m5-y2m=1,焦点在x轴上,a2=m5,b2=m,所以m5+m=1222,解得m=30;当m0)的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且|PF1|=2|PF2|=16,则PF1F2的周长是.解析:|PF1|=2|PF2|=16,|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,a=4.又b2=9,c2=25,2c=10.PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.答案:346已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为_.解析:如图,已知F(-4,0),设F为双曲线的右焦点,则F(4,0),点A(1,4)在双曲线两支之间.由双曲线的定义,得|PF|-|PF|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF|+|PA|4+|AF|=4+5=9.当且仅当A,P,F三点共线时,取等号.答案:97动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=9,C2:(x-3)2+y2=1都外切,求动圆圆心C的轨迹方程.解:如图,由题意,得定圆圆心C1(-3,0),C2(3,0),半径r1=3,r2=1,设动圆圆心为C(x,y),半径为r,则|CC1|=r+3,|CC2|=r+1.两式相减,得|CC1|-|CC2|=2,则点C的轨迹为以C1,C2为焦点,实轴长为2的双曲线的右支.a=1,c=3,b2=c2-a2=8.动圆圆心C的轨迹方程为x2-y28=1(x1).8已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,F1PF2=60,求点P到x轴的距离.解:因为|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|2-2|PF1|PF2|+|PF2|2=4,所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|PF2|,由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1|PF2|cos60,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|PF2|,又a=1,b=1,所以c=a2+b2=2,所以|F1F2|=2c=22,所以4+2|PF1|PF2|=|PF1|PF2|+8,所以|PF1|PF2|=4.设点P到x轴的距离为|y0|,SPF1F2=12|PF1|PF2|sin 60=12|F1F2|y0|,所以12432=1222|y0|.所以|y0|=32=62,即点P到x轴的距离为62.9某部队进行军事演习,一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B,C的报告:正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声,正东观测点听到爆炸声的时间比其他两个观测点晚4 s,已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m,试确定该枚炮弹的袭击位置.(声音的传播速度为340 m/s,相关各点均在同一平面内)解:如图,以指挥中心为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).设P(x,y)为炮弹的袭击位置,则|PB|-|PA|=3404|AB|.由双曲线的定义,知点P