2019_2020学年高中数学第2章空间向量与立体几何6距离的计算学案北师大版.docx

6距离的计算学习目标：1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念(难点)掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式(重点)通过转化，会利用空间向量解决距离问题，从而培养准确的运算能力(难点)1利用向量求点A到直线l的距离步骤：(1)找到直线l的方向向量s，并求s0；(2)在直线l上任取一点P；(3)计算点P到点A的距离|；(4)计算在向量s上的投影s0；(5)计算点A到直线l的距离d.2利用向量求点A到平面的距离步骤：(1)找到平面的法向量n；(2)在平面内任取一点P；(3)计算在向量n上的投影n0；(4)计算点A到平面的距离d|n0|.思考：如图，P是平面外一点，PO于O，PA，PB是的两条斜线段.与在上的投影大小相等吗？如果相等都等于什么？ 提示相等，都等于|，即P到平面的距离1.判断正误(1)平面外一点A到平面的距离，就是点A与平面内一点B所成向量的长度()(2)直线l平面，则直线l到平面的距离就是直线l上的点到平面的距离()(3)若平面，则两平面，的距离可转化为平面内某条直线到平面的距离，也可转化为平面内某点到平面的距离()答案(1)(2)(3)2已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为()A.B.C. D.A(2，0，1)，|，则点P到直线l的距离d.3已知平面的一个法向量n(2，2，1)，点A(1，3，0)在内，则P(2，1，4)到的距离为()A10 B3C. D.DA(1，3，0)，P(2，1，4)，(1，2，4)，n(2，2，1)，n0，d|n0|.4已知直线AB平面，平面的法向量n(1，0，1)，平面内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面的距离为_ (1，2，0)，直线AB到平面的距离d|n0|.点到直线的距离【例1】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB3，BC4，AA15，求点A1到下列直线的距离：(1)直线AC；(2)直线BD.解(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，显然AA1AC，所以AA15即为所求点A1到直线AC的距离(2)如图建立空间直角坐标系，则有B(4，3，0)，A1(4，0，5)(4，3，0)，(4，0，5)，设点A1到直线BD的距离为d.所以d.1本题(1)利用基本定义直接求解距离2点到直线的距离的算法框图空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A.B.C. D.B如图所示，(2，0，0)，(1，0，2)，.A到直线BE的距离d.点到平面的距离【例2】如图，直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1，底面ABC中，C90，ACBC1，求点B1到平面A1BC的距离解如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，)，B1(0，1，)，C1(0，0，)(1，1，) (1，0，)，(1，1，0)设平面A1BC的一个法向量为n(x，y，z)，则即n(，0，1)，所以，点B1到平面A1BC的距离d|.空间一点A到平面的距离的算法框图，如图所示2已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG2，求点B到平面EFG的距离解建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可知G(0，0，2)，E(4，2，0)，F(2，4，0)，B(4，0，0)，(4，2，2)，(2，4，2)，(0，2，0)设平面EFG的一个法向量为n(x，y，z)由得令y1，则n(1，1，3)，故点B到平面EFG的距离为d|.求线面距与面面距探究问题1 线面距、面面距可转化为点到平面的距离吗？为什么？提示可以直线与平面平行时，直线上的点到平面的距离均相等；平面与平面平行时，一个平面上的点到另一个平面的距离均相等，故可将线面距、面面距等转化为点面距2 你能给出用向量法求面面距的基本思路吗？提示求两平行平面之间的距离，通常也是转化为点面距求解，其基本思路是：设点A为平面内任意一点，B为平面内的任意一点，n为平面或的法向量，若，则平面与间的距离为d|n0|.【例3】已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点E、F分别在A1B、B1D1上，且A1EA1B，B1FB1D1.(1)求证：EF平面ABC1D1；(2)求EF与平面ABC1D1的距离d.思路探究(1)建系，写出相应点的坐标，求出平面平面ABC1D1的法向量n，利用n0证明；(2)直接转化为点E与平面ABC1D1的距离解(1)证明：建立如图空间直角坐标系Bxyz，易得E，F，故，(a，0，0)，(0，a，a)设n(x，y，z)是平面ABC1D1的法向量由得令z1，得n(0，1，1)n(0，1，1)0，n，由于EF平面ABC1D1，故EF平面ABC1D1.(2)由(1)得，d|a.1.(变条件)若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离解以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，1)、B(1，1，0)、D1(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，0，0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得y1，x1，n(1，1，1)点D1到平面A1BD的距离d|.平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.2.(变条件)若棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BC、CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为_以D为原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，易求平面EFD1B1的法向量n，又(0，0)，d.1求直线与平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因线面距可用点面距求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡2求两个平行平面间的距离也可以转化为求直线与平面间的距离或点到平面的距离1已知ABC的顶点A(1，1，2)、B(5，6，2)、C(1，3，1)，则AC边上的高BD的长等于()A3B4C5 D6C(4，5，0)，(0，4，3)，|5，|4，高BD5.2如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A. B.C. D.B以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)因O为A1C1的中点，所以O，(0，1，0)，(1，0，1)，设平面ABC1D1的法向量为n(x，y，z)，则有即取x1，则n(1，0，1)，O到平面ABC1D1的距离为d.3单位正方体ABCDA1B1C1D1中，点B1到直线AC的距离为_建立坐标系如图，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，(1，1，0)，(0，1，1)，点B1到直线AC的距离为d.4在直三棱柱ABCABC中，底面ABC是等腰直角三角形，且ABAC1，AA2，求A到直线BC的距离为_由题意，可知AB、AC、AA两两垂直，故以A为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A(0，0，2)，B(1，0，0)，C(0，1，2)，所