2019年高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理练习（含解析）新人教A版必修5.docx

1.1.1正弦定理1.在ABC中,若B=30,b=2,则等于(B)(A)2(B)4(C)1(D)不确定解析:=4.2.在ABC中,若角A,B,C的对边分别是a,b,c,则下列各式一定成立的是(B)(A)= (B)=(C)asin B=bcos A (D)acos B=bsin A解析:在ABC中,由正弦定理=,得=.3.在ABC中,a=3,A=30,B=15,则c等于(C)(A)1(B)(C)3(D)解析:C=180-30-15=135,c=3.应选C.4.在ABC中,若A=60,B=45,BC=3,则AC等于(B)(A)4 (B)2 (C) (D)解析:由正弦定理得=,所以AC=2.故选B.5.ABC中,已知a=,b=2,B=45,则角A等于(D)(A)30或150(B)60或120(C)60 (D)30解析:因为a=,b=2,B=45,所以=,可得sin A=sin 45=,又ab,可得AB,所以A=30.故选D.6.ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值是(D)(A)(B)(C)1(D)解析:由正弦定理,=,所以=2()2=2()2=.故选D.7.在ABC中,若a=2bsin A,则B等于(C)(A)60 (B)120(C)60或120(D)30或150解析:由正弦定理得 sin A=2sin Bsin A,因为sin A0,所以sin B=.又0B180,所以B=60或120.故选C.8.在锐角ABC中,若A=2B,则的取值范围是(D)(A)(1,2) (B)(1,) (C)(,2) (D)(,)解析:因为ABC为锐角三角形,A=2B,所以所以Bb,则B等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:由条件得sin Bcos C+sin Bcos A=,依正弦定理,得sin Acos C+sin Ccos A=,所以sin(A+C)=,从而sin B=,又ab,且B(0,),因此B=.故选A.10.在ABC中,若A=,BC=3,则ABC的周长为(D)(A)4sin(B+)+3(B)4sin(B+)+3(C)6sin(B+)+3 (D)6sin(B+)+3解析:法一因为C=-B-=-B,由正弦定理=,得AC=2sin B,AB=2sin(-B),所以ABC的周长为3+2sin B+2sin(-B)=3+3sin B+3cos B=6sin(B+)+3,故选D.法二由题意可知,C=-B.由正弦定理得=,得b+c=2sin B+sin(-B)=6sin(B+),故ABC的周长为6sin(B+)+3.故选D.法三取ABC为以C为直角的直角三角形时,B=,周长为3+3,故排除A,B,C,故选D.11.在ABC中,若a=3,cos A=-,则ABC的外接圆的半径为.解析:由cos A=-,得sin A=,设ABC外接圆半径为R,由正弦定理,有2R=2,即ABC的外接圆的半径为.答案:12.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120,则a=.解析:在ABC中,由正弦定理,有=,所以sin C=,所以C=30或150(舍去).所以A=30,所以a=c=.答案:13.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,B=2A,cos A=,则b=.解析:因为cos A=,所以sin A=,因为B=2A,所以sin B=sin 2A=2sin Acos A=,又=,所以b=2.答案:214.已知ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,b=,A=,则c=.解析:由正弦定理可得sin B=,所以B=或,故C=-A-B=或,由正弦定理可得c=2,或c=1.答案:1或215.在ABC中,已知b=6,c=6,C=30,求a.解:由正弦定理,得=,得sin B=.因为bc,所以BC=30,所以B=60或120.当B=60时,A=90,a=12.当B=120时,A=30,a=6.所以a=6或12.16.ABC中,如果lg a-lg c=lg sin B=-lg,且B为锐角,试判断此三角形的形状.解:因为lg sin B=-lg,所以sin B=,又因为0B90,所以B=45,由lg a-lg c=-lg,得=.由正弦定理得=,即2sin(135-C)=sin C,即2(sin 135cos C-cos 135sin C)=sin C.所以cos C=0,得C=90.又因为B=45,所以A=45,从而ABC是等腰直角三角形.17.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin 2B=bsin A.(1)求B;(2)若cos A=,求sin C的值.解:(1)在ABC中,由=,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=bsin A,得2asin Bcos B=bsin A=asin B,所以cos B=,得B=.(2)由cos A=,可得sin A=,则sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin(A+)=sin A+cos A=.18.已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且acos B+bcos A=3a,则=.解析:因为=2R,R为ABC外接圆半径,所以acos B+bcos A=2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A=2Rsin(B+A)=2Rsin C=c=3a,所以=3.答案:319.正三角形ABC的边长为2,D,E,F分别在边AB,BC,CA上,D为AB的中点,DEDF,且DF=DE,则BDE=.解析:如图,设BDE=,在BDE中,由正弦定理知=,所以DE=,同理,在ADF中,DF=,所以=,整理得tan =,因为0180,所以=60.答案:6020.在锐角ABC中,角A,B,C分别对应边a,b,c,且a=2bsin A,求cos A+sin C的取值范围.解:设R为ABC外接圆的半径.因为a=2bsin A,所以2Rsin A=4Rsin Bsin A,因为sin A0,所以sin B=.