高考数学一轮复习专题7.1排列组合基本方法练习（含解析）.docx

第一讲 排列组合的基本方法【套路秘籍】-千里之行始于足下一计数原理1分类计数原理如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法2分步计数原理如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法3分类和分步的区别，关键是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理，将种数相乘二、排列组合1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示3排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1) (2)C性质(3)0！1；An！(4)CC；CCC_【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 两个计数原理【例1】（1）满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为_(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_种不同的报名方法【答案】（1）13 （2）120【解析】（1）方程ax22xb0有实数解的情况应分类讨论当a0时，方程为一元一次方程2xb0，不论b取何值，方程一定有解此时b的取值有4个，故此时有4个有序数对当a0时，需要44ab0，即ab1.显然有3个有序数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2)a0时，(a，b)共有3412(个)实数对，故a0时满足条件的实数对有1239(个)，所以答案应为4913.（2）每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有654120(种)【套路总结】1.乘法分步计数原理 (1)利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成2.加法分类计数原理(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏3.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类(3)弄清分步、分类的标准是什么(4)利用两个计数原理求解【举一反三】1. 用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)【答案】1 080【解析】当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为CCA960.当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A120.故符合题意的四位数一共有9601201 080(个)2. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为_【答案】96【解析】按区域1与3是否同色分类：区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A种方法区域1与3同色时，共有4A24(种)方法区域1与3不同色：第一步涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有1种方法，第四步涂区域5有3种方法共有A21372(种)方法故由分类计数原理可知，不同的涂色种数为247296.3.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_【答案】36【解析】第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面对”共有241236(个)考向二 排列【例2】（1）用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有_个（2）6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有_种不同站法【答案】（1）78（2）480【解析】（1）根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则首位必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A24(个)；当首位是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3(AA)54(个)，因此共有542478(个)这样的五位数符合要求（2）方法一(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A种站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A种站法由分步计数原理可知，共有AA480(种)不同的站法方法二(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A种站法；第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A种站法由分步计数原理可知，共有AA480(种)不同的站法【举一反三】1某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)【答案】1 560【解析】由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A40391 560(条)留言2用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为_【答案】72【解析】由题意可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C种选法，再将剩下的4个数字排列有A种排法，则满足条件的五位数有CA72(个)考向三 组合【例3】男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员【答案】见解析【解析】(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有C种选法；第二步，选2名女运动员，有C种选法由分步计数原理可得，共有C C120(种)选法(2)方法一“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分类计数原理可得总选法共有CCCCCCCC246(种)方法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种所以“至少有1名女运动员”的选法有CC246(种)(3)方法一(直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为C；“只有女队长”的选法种数为C；“男、女队长都入选”的选法种数为C，所以共有2CC196(种)选法方法二(间接法)从10人中任选5人有C种选法，其中不选队长的方法有C种所以“至少有1名队长”的选法有CC196(种)(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有(CC)种所以既要有队长又要有女运动员的选法共有CCC191(种)【套路总结】组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理【举一反三】1安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有_种【答案】36【解析】由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C C A36(种)，或列式为C C C3236(种)2在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_(用数字作答)【答案】120【解析】1男4女，有CC45(种)选取方式；2男3女，有CC60(种)选取方式；3男2女，有CC15(种)选取方式；共有456015120(种)不同的选取方式考向四 常用的方法【例4】7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)老师甲必须站在中间或两端；(2)两名女生必须相邻而站；(3)4名男生互不相邻；(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站【答案】见解析【解析】方法一：特殊元素（位置）优先考虑(1)先考虑甲有A种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：AA2 160(种)；方法二：相邻捆绑法：谁相邻谁捆绑，同时排列(2)2名女生站在一起有站法A种，视为一种元素与其余5人全排，有A种排法，所以有不同站法AA1 440(种)；方法三：不相邻插空法：谁不相邻谁插空，优先排其他(3)先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A种，所以共有不同站法AA144(种)；方法四：定序倍缩法：谁定序谁被除方法五：定序空位法：谁定序谁不排，排完其他即可(4) 方法一：定序倍缩法：7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2420(种)方法二：定序空位法：除了4位男生，其他人先排，3个人有7个位置，就是，而由高到低有从左到右和从右到左的不同有2种，所以就是，【套路总结】排列组合常用方法1.简单问题直接法：直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答.2.特殊元素(特殊位置)优先法：优先考虑一些特殊的元素和位置.3.相邻问题捆绑法：先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.4.不相邻问题插空法：先把没有位置要求的元素排列好，再排不相邻的元素.5.定序问题缩倍法（等概率问题缩倍法）先把所有的元素安排好，再缩小一定的倍数.6.至少问题间接法：一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的排法.7.平均分组除法法：一般先分堆，再除以.8.元素相同问题隔板法:将n个相同的元素分成m份（nm为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为.9.多排问题一排法【举一反三】1.为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案有_种【答案】360【解析】甲校派1人，其余5人分为(1,4)，(2,3)两组，故有C(CC)A150(种)，甲校派2人，其余4人分为(1,3)，(2,2)两组，故有C(CAC)140(种)，甲校派3人，其余3人分为(1,2)一组，故有CCA60(种)，甲校派4人，共余2人分为(1,1)一组，故有CA10(种)，根据分类计数原理，可得共有1501406010360(种)分配方案2. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_【答案】120【解析】先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有ACA36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有AA48(种)安排方法，故共有363648120(种)安排方法3.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有_种【答案】24【解析】根据题意，分两种情况讨论：A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有CCC12(种)乘坐方式；A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有CCC12(种)乘坐方式，故共有121224(种)乘坐方式4某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有_种不同的安排方法(用数字作答)【答案】114【解析】5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有CA60(种)，A，B住同一房间有CA18(种)，故有601842(种)，当为(2,2,1)时，有A90(种)，A，B住同一房间有CA18(种)，故有901872(种)，根据分类计数原理可知，共有4272114(种)不同的安排方法【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行12019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( )A198B268C306D378【答案】A【解析】分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有种不同提问方式；若选两个外国媒体一个国内媒体，有种不同提问方式，所以共有种提问方式.故选:A.22020年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有（ ）A144种B24种C12种D6种【答案】D【解析】由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有A222种安排方法，其他两名运动员有A222种安排方法，共计224种方法，若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有A222种安排方法，共计2种方法，所以中国队共有4+26种不同的安排方法，故选：D3中国古代的五经是指：诗经、尚书、礼记、周易、春秋，甲、乙、丙、丁、戊名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选诗经，乙也没选春秋，则名同学所有可能的选择有（ ）A种B种C种D种【答案】D【解析】(1)若甲选春秋，则有种情况；(2)若甲不选春秋，则有种情况；所以名同学所有可能的选择有种情况.故选D4用数字0,2,4,7,8,9组成没有重复数字的六位数,其中大于420789的正整数个数为（ ）A479B480C455D456【答案】C【解析】根据题意，分3种情况讨论：，六位数的首位数字为7、8、9时，有3种情况，将剩下的5个数字全排列，安排在后面的5个数位，此时有3A55360种情况，即有360个大于420789的正整数，六位数的首位数字为4，其万位数字可以为7、8、9时，有3种情况，将剩下的4个数字全排列，安排在后面的4个数位，此时有3A4472种情况，即有72个大于420789的正整数，六位数的首位数字为4，其万位数字为2，将剩下的4个数字全排列，安排在后面的4个数位，此时有A4424种情况，其中有420789不符合题意，有24123个大于420789的正整数，则其中大于420789的正整数个数有360+72+23455个；故选：C5在中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到贵州的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游参观，其中的每个人只去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意，满足每个人只去一个景点，每个景点至少要去一个人的所有基本事件的个数为C42 A33=36种，若满足甲去梵净山，需要分2种情况讨论：，甲单独一个人去梵净山， 将其他3人分成2组，对应剩下的2个景点，有C31A226种情况，则此时有6种方案；，甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起去梵净山，有C313种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有A222种情况，则此时有236种方案；则甲去梵净山的方案有6+612种；所以甲去梵净山的概率为.故选：B6第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导。工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”“编制剪辑”等四项工作，每项工作至少一人参加，但两名女记者不参加“负重扛机”，则不同的安排方案数共有（ ）A150B126C90D54【答案】B【解析】记两名女记者为甲乙，三名男记者为丙、丁、戊根据题意，分情况讨论，甲乙一起参加除了“负重扛机”的三项工作之一：C31A3318种；甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32C32A22323236种；2甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32C31C21A2272种；由分类计数原理，可得共有18+36+72126种，故选：B7今有个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有( )种A B C D【答案】C【解析】第一类：只用两辆缆车，若两个小孩坐在一块，则有种乘车方式；若两个小孩不坐在一块，则有种乘车方式；第二类：用三辆缆车，若两个小孩坐在一块，则有种乘车方式；若两个小孩不坐在一块，则有种乘车方式；综上不同的乘车方式有种.故选C8为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色旅游活动，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景点若规定每个班级必须参加且只能游览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法数为（ ）A3600 B1080 C1440 D2520【答案】C【解析】由于每个班级必须参加且只能游览个景点，且每个景点至多有两个班级游览，因此可以把问题看成是将个班级分配到除新四军军部旧址外的四个景点或三个景点，可以分两种情况：第一种，先将个班级分成四组，分别为再分配到四个景点，不同的参观方法数为：种第二种，将人平均分成三组，在分配到除新四军军部旧址外的四个景点的任意三个景点，不同的参观方法数为：种由上可知，不同的参观方法数共有种故选9若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有 A种 B种 C种 D种【答案】C【解析】按照以下顺序涂色，,所以由乘法分步原理得总的方案数为种.所以总的方案数为96，故答案为：C10用种不同的颜色对正四棱锥的条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ）A B C D【答案】C【解析】从P点出发的4条侧棱一定要用4种不同的颜色，有=360种不同的方案，接下来底面的染色根据是否使用剩下的2种颜色分类计数。不使用新的颜色，有2种颜色分类方案；使用1种新的颜色，分为2类；第一类，染一条边，有种方案；第二类，染两条对边，有种方案。使用2种新的颜色，分为4类；第一类，染两条邻边，有种方案；第二类，染两条对边，有种方案；第三类，染三条边，有种方案；第四类，染四条边，有2种方案。因此不同的染色方案总数为,选C.11定义“有增有减”数列如下： ，满足，且，满足.已知“有增有减”数列共4项，若，且，则数列共有（ ）A64个 B57个 C56个 D54个【答案】D【解析】当四个数中只有两个相同时，共有种，当四个数中有三个数相同时，共有种，所以总方法数有。12一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？（ ）A5 B25 C55 D75【答案】D【解析】由题意知：小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，共有以下四种情形：一、小蜜蜂在5次飞行中，有4次向正方向飞行，1次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有种情况；二、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行每次飞行一个单位，1次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，1次向负方向飞行，且每次飞行两个单位，共有种情况；三、小蜜蜂在5次飞行中，有1次向正方向飞行每次飞行一个单位，2次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，2次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有种情况；四、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行每次飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行一个单位，共有种情况；故而共有种情况，故选：D13一名同学想要报考某大学，他必须从该校的8个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、第五志愿的顺序填写志愿表若专业不能作为第一、第二志愿，则他共有_种不同的填法（用数字作答）【答案】5040【解析】根据题意，分2步选专业：专业不能作为第一、第二志愿有种选法， 第三、四、五志愿，有种选法， 则这名同学共有种不同的填报方法， 故答案为：504014在一次中学生志愿者活动中，需要将共名志愿者分派到个不同的地点进行爱心活动，要求每个地点至少有人活动，并且两名同学必须在同一个地点，则不同的爱心分派方案共有_种（用数字作答）【答案】【解析】将个人分成小组，分组的方法可为若按的方式分组，则分派方案共有：种；若按的方式分组，则分派方案共有：种；不同的分派方案共有：种.15习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_【答案】360【解析】方法1：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况：（1）甲校安排1名教师，分配方案种数有；（2）甲校安排2名教师，分配方案种数有；（3）甲校安排3名教师，分配方案种数有；（4）甲校安排4名教师，分配方案种数有；由分类计数原理，可得共有（种）分配方案.方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，（1）对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有种，其余5名分成一人组和四人组有种，共（种）；李老师分配到四人组且该组不去甲校有（种），则第一种情况共有（种）；（2）对于第二种情况，李老师分配到一人组有（种），李老师分配到三人组有（种），李老师分配到两人组有（种），所以第二种情况共有（种）；（3）对于第三种情况，共有（种）；综上所述，共有（种）分配方案.16分配5名水暖工去4个不同的居民家里检查暖气管道，要求5名水暖工全部分配出去，每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有_种（用数字作答）【答案】240【解析】由题意，把5名水暖工分4组共有种，然后分配到4个不同的家庭，有种，由分步计数原理可得，不同的分配方案共有种，故答案为：24017把，四本不同的书分给三位同学，每人至少分到一本，每本书都必须有人分到，不能同时分给同一个人，则不同的分配方式共有_种（用数字作答）【答案】30【解析】由题意，把四本书分给三位同学，每位同学至少分到一本书的分法数目，首先将四本书分成3组，其中1组有两本，剩余2组各一本，有 种分组方法，再将这3组对应三个同学，有种方法，则有种情况；再计算两本书分给同一个人的分法数目，若两本书分给同一个人，则剩余的书分给其他两人，有种情况.综上可得，两本书不能分给同一个人的不同分法有 种.18某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_【答案】10【解析】设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成（n2）个间隔中，故有An23种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n3）个停车位排放好所成（n2）个间隔中，故有A32An22种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，An23A32An22，解得n10，故答案为：1019某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，则有_种不同选取方法.【答案】29【解析】根据题意，分5种情况讨论：、若从只会英语的3人中选3人翻译英语，则需要从剩余的4人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有种，、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的3人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有种，、若从只会英语的3人选小张翻译英语，则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的2人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有种，、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的4人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有种，、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的3人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有种，则不同的安排方法有种故答案为：2920用五种不同颜色给三棱台的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有_种.【答案】1920.【解析】分两步来进行，先涂，再涂.第一类：若5种颜色都用上，先涂，方法有种，再涂中的两个点，方法有种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有种；第二类：若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有种；先涂，方法有种，再涂中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有种；第三类：若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有种；先涂，方法有种，再涂，方法有2种，故此时方法共有种；综上可得，不同涂色方案共有种，故答案是1920.212017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案为_种【答案】65【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有333381(种)情况，若哈西站没人去，即四位同学选择了城乡路和哈尔滨大街每人有2种选择方法，则4人一共有222216(种)情况，故哈西站一定要有人去有811665(种)情况，即哈西站一定有人去的游览方案有65种22用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有_种【答案】4 320【解析】分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法根据分步计数原理可知，共有6543344 320(种)不同的涂色方法23.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为_【答案】96【解析】若A，D颜色相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法，共有43224(种)；若A，D颜色不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，C只有1种涂法，共有432(21)72(种)，根据分类计数原理可得，共有247296(种)不同的涂色方法24用6种不同的颜色给三棱柱ABCDEF六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有_种(用数字作答)【答案】8 520【解析】分两步来进行，先涂A，B，C，再涂D，E，F.第一类：若6种颜色都用上，此时方法共有A720(种)；第二类：若6种颜色只用5种，首先选出5种颜色，方法有C种；先涂A，B，C，方法有A种，再涂D，E，F中的两个点，方法有A种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有CAA24 320(种)；第三类：若6种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有C种；先涂A，B，C，方法有A种，再涂D，E，F中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有CA333 240(种)；第四类：若6种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有C种；先涂A，B，C，方法有A种，再涂D，E，F，方法有2种，故此时方法共有CA2240(种)综上可得，不同涂色方案共有7204 3203 2402408 520(种)25.如图，电路中共有个电阻与一个电灯，若灯不亮，则因电阻断路的可能性的种数为 【答案】【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有种，每条支线至少有一个电阻断路，灯就不亮，因此灯不亮的情况共有337=63种情况.26.某学校为了提高学生的意识，防止事故的发生，拟在未来连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天中恰好有2天连续的情况有 【答案】20种【解析】由枚举法得选择的3天中恰好有2天连续的情况有4+3+3+3+3+4=20种.27在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有_种【答案】150【解析】这三家酒店入住的参会国数目有以下两种可能：第一种，“2,2,1”，其安排方法有90(种)；第二种，“3,1,1”，其安排方法有6