《创新设计》-2017届二轮专题复习-全国版-数学理科-WORD版材料-专题七-选修系列四

第1讲坐标系与参数方程(选修44)高考定位高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.真 题 感 悟(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆.将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)，a1.a1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.所以a1.考 点 整 合1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则2.直线的极坐标方程几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：；(2)直线过点M(a，0)(a0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过M且平行于极轴：sin b.3.圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：2rcos ；(3)当圆心位于M，半径为r：2rsin .4.直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数).设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量.5.圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数，02).6.圆锥曲线的参数方程(1)椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数).(2)双曲线1(a0，b0)的参数方程为(为参数).(3)抛物线y22px(p0)的参数方程为(t为参数).热点一极坐标与直角坐标的互化及极坐标的应用【例1】(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积.解(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，所以C2MN的面积为.探究提高解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.【训练1】 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.解(1)cos 1，cos cos sin sin 1.又xy1，即曲线C的直角坐标方程为xy20.令y0，则x2，令x0，则y，M(2，0)，N，M的极坐标为(2，0)，N的极坐标为.(2)MN连线的中点P的直角坐标为，直线OP的极角为，直线OP 的极坐标方程为(R).热点二参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用【例2】(2014新课标全国卷)已知曲线C：1，直线l：(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.解(1)曲线C的参数方程为(为参数).直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|.则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.探究提高化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.【训练2】 已知曲线C1：(t为参数)，C2：(为参数).(1)化C1，C2的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线.(2)过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|.解(1)C1：(x2)2(y1)21，C2：1.曲线C1为圆心是(2，1)，半径是1的圆.曲线C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆.(2)曲线C2的左顶点为(4，0)，则直线l的参数方程为(s为参数).将其代入曲线C1，整理可得：s23s40，设A，B对应参数分别为s1，s2，则s1s23，s1s24.所以|AB|s1s2|.热点三极坐标与参数方程的综合应用【例3】(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A、B两点，|AB|，求l的斜率.解(1)由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R).设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110.于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以l的斜率为或.探究提高高考中该部分的试题是综合性的，题目中既有极坐标的问题，也有参数方程的问题，考生既可以通过极坐标解决，也可以通过直角坐标解决，但大多数情况下，把极坐标问题转化为直角坐标问题，把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题.要重视把极坐标问题化为直角坐标问题，把参数方程化为普通方程的思想意识的形成，这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误.【训练3】(2016衡水大联考)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位，已知圆C的参数方程为(为参数)，直线l的极坐标方程为.点P在l上.(1)过P向圆C引切线，切点为F，求|PF|的最小值；(2)射线OP交圆C于R，点Q在OP上，且满足|OP|2|OQ|OR|，求Q点轨迹的极坐标方程.解(1)圆C的直角坐标方程为x2y24.l的直角坐标方程为xy4.当P到圆心的距离最小时，切线长|PF|最小，由点到直线的距离公式知，圆心O到P的距离|OP|2，|PF|2.所以|PF|的最小值为2.(2)设P，Q，R是极坐标分别为(1，)，(，)，(2，).则由|OP|2|OQ|OR|，得2.因1，22.故.所以，Q点轨迹的极坐标方程是.1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.3.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1t2).1.已知P为半圆C：(为参数，0)上的点，点A的坐标为(1，0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程.解(1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.(2)点M的直角坐标为，A(1，0).故直线AM的参数方程为(t为参数).2.已知直线l：(t为参数，k，kZ)经过椭圆C：(为参数)的左焦点F.(1)求m的值；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|FB|的最小值.解(1)因为椭圆C：的普通方程为1，所以F(1，0).因为直线l：的普通方程为ytan (xm)，因为k，kZ，所以tan 0.因为0tan (1m)，所以m1.(2)将直线的参数方程代入椭圆C的普通方程1中，并整理，得(3cos24sin2)t26tcos 90.设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2.则|FA|FB|t1t2|，当sin 1时，|FA|FB|取最小值.3.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，M是C1上的动点，P点满足2，点P的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解(1)设P(x，y)，则由条件知M，由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(为参数).(2)曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为8sin .射线与C1的交点A的极径为14sin2，射线与C2的交点B的极径为28sin4.所以|AB|21|2.4.(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，).所以|AB|2sin 2cos |4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.5.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为2sin .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|PB|.解法一(1)由2sin ，得x2y22y0，即x2(y)25.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得5，即t23t40.由于(3)24420，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23.法二(1)同法一.(2)因为圆C的圆心为(0，)，半径r，直线l的普通方程为：yx3.由得x23x20.解得或不妨设A(1，2)，B(2，1)，又点P的坐标为(3，).故|PA|PB|3.6.(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解(1)C1的普通方程为y21.C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin ).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d()的最小值，d().当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.第2讲不等式选讲(选修45)高考定位本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.真 题 感 悟(2016全国卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)在图中画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集.解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5，故f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为.考 点 整 合1.含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.绝对值三角不等式|a|b|ab|a|b|.此性质可用来解不等式或证明不等式.3.基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab.当且仅当ab时，等号成立.定理2：如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立.定理3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立.定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1、a2、an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立.4.柯西不等式(1)设a，b，c，d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立.(2)若ai，bi(iN*)为实数，则当且仅当bi0(i1，2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1，2，n)时，等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.热点一绝对值不等式的解法 微题型1绝对值不等式的解法【例11】(2015全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1，0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，).探究提高(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.【训练11】(2016全国卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围.解(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3.(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.当a1时，等价于1aa3，无解.当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，).微题型2含有绝对值不等式的恒成立问题【例12】(2016衡水大联考)设函数f(x)|x1|，g(x)2|xa|，aR.(1)若a2，求不等式f(x)g(x)x3的解集；(2)若对m1，x0R，f(x)g(x)成立，求a的取值范围.解(1)若a2，f(x)g(x)|x1|2|x2|当x1时，若f(x)g(x)x3，则x3x3，故x1；当1x2时，若f(x)g(x)x3，则3x5x3，即x1，这与1x2矛盾；当x2时，若f(x)g(x)x3，则x3x3，即x3，故x3.综上所述，不等式f(x)g(x)x3的解集为x|x1或x3.(2)因为m1323(m1)，当且仅当m1，即m1时等号成立.原命题等价于x0R，f(x)g(x)23成立，即f(x)g(x)min23.设h(x)f(x)g(x)|x1|2|xa|；当a1时，h(x)f(x)g(x)|x1|2|xa|h(x)minh(a)|a1|1a.由1a23，解得a22.所以，22a1；当a1时，h(x)3|x1|.h(x)min023显然成立；当a1时，h(x)f(x)g(x)|x1|2|xa|h(x)minh(a)|a1|a1.由a123，解得a24.所以，1a24.综上所述，a的取值范围为22，42.探究提高解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值.【训练12】 已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.解(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)法一当a2时，f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以当x5；当3x2时，g(x)5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5.法二当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|.由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5.热点二不等式的证明【例2】(2015全国卷)设a、b、c、d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件.证明(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，abcd得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，是|ab|cd|的充要条件.探究提高证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.【训练2】 (1)已知a，b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：abc.证明(1)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2，因为a ，b都是正数，所以ab0，又因为ab，所以(ab)20，于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2.(2)因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc.同理b2(a2c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而a2b2b2c2c2a2abc(abc).由a，b，c都是正数，得abc0，因此abc.1.证明绝对值不等式主要有三种方法：(1)利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通不等式再证明；(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明；(3)转化为函数问题，数形结合进行证明.2.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法.(2)f(x)a恒成立f(x)maxa；f(x)a恒成立f(x)mina.3.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.1.已知函数f(x)|x2|2|x1|.(1)解不等式f(x)2.(2)对任意xa，)，都有f(x)xa成立，求实数a的取值范围.解(1)f(x)f(x)2，当x2时，x42，即x2，所以x；当2x1时，3x2，即x，所以x1，当x1时，x42，即x6，所以1x6，综上，不等式f(x)2的解集为.(2)f(x)函数f(x)的图象如图所示：令yxa，a表示直线的纵截距，当直线过(1，3)点时，a2；所以当a2，即a2时成立；当a2，即a2时，令x4xa，得x2，所以a2，即a4时成立，综上可知a的取值范围为(，24，).2.已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1，1.(1)求m的值；(2)若a，b，c大于0，且m，求证：a2b3c9.(1)解f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0且其解集为x|mxm.又f(x2)0的解集为1，1，故m1.(2)证明由(1)知1，且a，b，c大于0，a2b3c(a2b3c)332229.当且仅当a2b3c3时，等号成立.因此a2b3c9.3.已知函数f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|