2018-2019学年高中数学_第二章 函数 2.4.1 函数的零点课件 新人教b版必修1

2 4函数与方程2 4 1函数的零点 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 点击进入情境导学 知识探究 1 一般地 如果函数y f x 在实数 处的值等于零 即 则 叫做这个函数的零点 2 一般地 函数f x 的零点与方程根的关系是f x 的零点个数与方程根个数 3 函数f x 的图象与x轴有叫这个函数有零点 也就是函数y f x 的图象与x轴的交点的 f 0 相等 公共点 横坐标 拓展延伸 1 函数零点的性质对于任意函数y f x 只要它的图象是连续不间断的 则有 1 当它通过零点时 不是二重零点 函数值变号 如函数f x x2 2x 3的图象在零点 1的左边时 函数值取正号 当它通过第一个零点 1时 函数值由正变为负 再通过第二个零点3时 函数值又由负变为正 这样的零点叫变号零点 2 在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号 3 如果一个二次函数有二重零点 那么它通过这个二重零点时 函数值的符号并不改变 这样的零点叫做不变号零点 2 函数零点的判断函数y f x 的零点就是方程f x 0的实数根 因此求函数的零点可以转化为求相应的方程的根 反之 若知道函数的零点 即 函数图象与横轴的交点的横坐标 则可以直接写出函数对应的方程的根 即函数y f x 有零点 方程f x 0有实根 函数y f x 的图象与x轴有交点 因此判断一个函数是否有零点 有几个零点 就是判断方程f x 0是否有实根 有几个实根 二次函数的零点与相应二次方程的实根个数的关系 自我检测 1 函数f x x2 3x 4的零点是 A 1 4 B 4 1 C 1 3 D 不存在 B 2 函数y 2x 1的图象与x轴交点坐标及零点分别是 B 3 二次函数y ax2 bx c a 0 中 a c 0 则函数的零点有 A 1个 B 2个 C 0个 D 不确定4 若函数f x 3x b的零点为2 则b 解析 由已知f 2 0 所以3 2 b 0 所以b 6 答案 6 B 类型一 求函数的零点 课堂探究 素养提升 例1 1 求函数f x x4 2x2 3的零点 思路点拨 1 利用因式分解法解方程f x 0可求零点 2 求函数f x 3x2 7x 6的零点 思路点拨 2 令f x 0求出零点 方法技巧由于函数f x 的零点就是方程f x 0的解 所以 求函数的零点就是解与函数相对应的方程 一元二次方程可用求根公式求解 简单的高次方程可用因式分解法求解 另外分式方程求根 要验根 变式训练1 1 若函数f x x2 ax b的零点是2和3 则函数g x bx2 ax 1的零点是 类型二 函数零点的判断 思路点拨 判断函数是否有零点 即判断方程f x 0是否有根即可 求零点 即求方程根 解 1 f x x2 2x 3 x 3 x 1 令f x 0 解得x 3或x 1 所以函数存在零点且为3和 1 2 令f x x2 x 2 0 1 4 1 2 7 0 所以方程无实根 所以f x x2 x 2无零点 方法技巧判断二次函数f x 的零点个数 可转化为判断方程f x 0的实根的个数 进而转化为判断二次函数的图象与x轴的交点的个数问题 而这类问题一般通过一元二次方程的判别式来判断 变式训练2 1 若奇函数f x 的定义域为R 且在 0 上是单调增函数 若f 1 0 求函数f x 在 2 2 内的零点个数 解 因为f x 是奇函数 所以f x f x 因为f 1 0 所以f 1 0 又因为f x 在原点处有定义 所以f 0 0 因为f x 在 0 上是单调增函数 所以f x 在 0 上只有一个零点 因为f x 是奇函数 所以f x 在 0 上是单调增函数 所以f x 在 0 上也只有一个零点 所以函数f x 在 2 2 内有3个零点 即 1 0 1 类型三 函数零点的综合应用 例3 讨论关于x的方程 x2 4x 3 a a R 的实数解的个数 当a 0或a 1 时 原方程有两个实数解 当a 1时 原方程有三个实数解 当0 a 1时 原方程有四个实数解 方法技巧含参数的函数零点个数问题 可结合函数图象进行判断 即转化为函数图象与x轴交点个数或两个函数图象交点的个数 变式训练3 1 函数f x x k有两个零点 则 A k 0 B k 0 C 0 k 1 D k 0 解析 因为函数f x x k有两个零点 所以函数y x 的图象与函数y k的图象有两个交点 如图所示 数形结合可得 当k 0时 函数y x 的图象与函数y k的图象有两个交点 故k的范围是 0 故选B 类型四 易错辨析 例4 已知二次函数f x x2 m 1 x 2在 0 1 上有且只有一个零点 求实数m的取值范围 错解 根据函数零点的性质 f 0 f 1 4 所以实数m的取值范围是 4 纠错 错解的原因是没有考虑二次函数的各种情况 片面地使用了函数零点的性质 2 当方程x2 m 1 x 2 0有两个不相等的实数根时 又f