2018-2019学年高中数学_第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第一课时 函数的单调性课件 新人教a版必修1

1 3函数的基本性质1 3 1单调性与最大 小 值第一课时函数的单调性 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 情境导学 导入一函数是描述事物运动变化规律的数学模型 如果了解了函数的变化规律 那么也就把握了相应事物的变化规律 因此研究函数的性质是非常重要的 日常生活中 我们有过这样的体验 从阶梯教室前向后走 逐步上升 从阶梯教室后向前走 逐步下降 很多函数也具有类似性质 这就是我们要研究的函数的基本性质 函数的单调性 导入二画出函数f x x f x x2和f x 的图象 如图所示 从图象上不难看出函数f x x从左到右是上升的 函数f x x2在y轴左侧 从左到右是下降的 而在y轴右侧 从左到右是上升的 函数f x 在y轴左侧 从左到右是下降的 而在y轴右侧 从左到右也是下降的 想一想导入二中f x 随x增大是如何变化的 f x x中f x 随x增大而增大 f x x2先随x增大而减小 再随x增大而增大 f x 中f x 在x 0 和 0 上都是随x增大而减小 知识探究 1 增函数与减函数的相关概念 2 函数的单调性及单调区间 增函数或减函数 单调性 区间D 探究1 函数单调性定义中的x1 x2有何限制条件 答案 1 任意性 即x1 x2是在某一区间上的任意两个值 不能以特殊值代换 2 有大小 即确定的两个值x1 x2必须区分大小 一般令x1 x2 3 同属一个单调区间 探究2 函数的单调区间与函数定义域有何关系 当一个函数有多个单调区间时 如何写函数的单调区间 答案 单调区间必须是函数定义域的子集 单调区间之间不能用 而应用 将它们隔开或用 和 字连接 拓展延伸 判断函数单调性的常用方法 1 定义法 根据增 减函数的定义分为四步进行 取值 任取x1 x2 D 且x10 作差 或商 变形 y2 y1 f x2 f x1 或 向有利于判断差的符号 或商与1的大小 的方向变形 判断 判断y2 y1 或 是否大于0 或大于1 当不确定时 要分类讨论 下结论 根据定义得出结论 2 图象法 画出函数的图象 根据图象的上升或下降趋势判断函数的单调性 3 直接法 对于我们所熟悉的函数 如一次函数 二次函数 反比例函数等 可直接写出它们的单调区间 4 利用结论 以下结论在所指的两个函数的公共定义域内成立 增函数 常数 增函数 减函数 常数 减函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 y f x 与y c f x c为常数 c 0 当c 0时单调性相同 当c 0时单调性相反 若f x 0 则f x 与单调性相反 若f x 0 则f x 与单调性相同 自我检测 1 单调性的定义 已知函数f x 的定义域为D 在区间M上单调递增 则 A M D B MD C M D D D M C 2 单调性的定义 2018 昆明高一检测 下列函数中 在区间 0 1 上是增函数的是 A y x B y 3 x C y D y x2 4 A 3 单调性的应用 若f x ax 1在R上单调递减 则a的取值范围为 A 0 B 0 C 1 D 1 4 单调性的应用 已知f x 为R上的减函数 则满足f f 1 的实数x的取值范围是 A 1 1 B 0 1 C 1 0 0 1 D 1 1 B C 5 单调性的应用 如图所示为函数y f x x 4 7 的图象 则函数f x 的单调递增区间是 答案 1 5 3 5 6 题型一 判断或证明函数的单调性 课堂探究 素养提升 2 求证 函数f x 在 1 上是增函数 变式探究 函数f x 在 0 上的单调性如何 怎样证明 方法技巧 1 比较f x1 与f x2 的大小常用的方法有 作差 作商 两种 其中差与0比较大小 而商与1比较大小 2 常用的变形技巧有 因式分解 当原函数是多项式函数时 作差后常通过因式分解变形 通分 当原函数含有分式时 作差后往往进行通分 然后对分子进行因式分解 配方 作差后可以运用配方判断差的符号 分子或分母有理化 当函数中含有根式时 作差后主要考虑分子或分母有理化 即时训练1 1 2018 海南中学高一期中 试用函数单调性的定义证明 f x 在 1 上是减函数 备用例1 证明 函数f x x2 在区间 0 上是增函数 题型二 求函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间 1 f x 3 x 2 f x x2 2x 3 解 2 令g x x2 2x 3 x 1 2 4 先作出g x 的图象 保留其在x轴及x轴上方部分 把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f x x2 2x 3 的图象 如图所示 由图象易得 函数的递增区间是 3 1 1 函数的递减区间是 3 1 1 方法技巧判断函数单调区间时 若所给函数是常见的一次函数 二次函数 反比例函数等 可根据其单调性写出函数的单调区间 若函数不是上述函数且函数图象容易作出 可作出其图象 根据图象写出函数单调区间 即时训练2 1 作出函数f x 的图象 并指出函数的单调区间 解 f x 的图象如图所示 由图象可知 函数的单调减区间为 1 1 2 单调递增区间为 2 备用例2 求下列函数的单调区间 1 f x x 2 4 2 y 题型三 函数单调性的应用 例3 已知函数f x x2 2 a 1 x 3 1 函数f x 在区间 3 上是增函数 则实数a的取值范围是 2 函数f x 的单调递增区间是 3 则实数a的值为 解析 f x x2 2 a 1 x 3 x a 1 2 a 1 2 3 因此函数的单调递增区间为 a 1 1 由f x 在 3 上是增函数知3 a 1 即a 4 2 由题意得 a 1 3 a 4 答案 1 4 2 4 变式探究 若本题改为函数f x x2 2 a 1 x 3在区间 1 2 上是单调函数 则a的取值范围是 答案 3 2 误区警示函数的单调区间与函数在某一区间上单调是两个不同的概念 其中后者的区间是函数单调区间的子集 即时训练3 1 函数f x x2 2mx 3在区间 1 2 上单调 则m的取值范围是 解析 二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置 函数f x x2 2mx 3的对称轴为x m 函数在区间 1 2 上单调 则m 1或m 2 答案 1 2 备用例3 已知函数f x 是 上的减函数 则实数a的取值范围是