2019_2020学年高中数学第2章空间向量与立体几何33.3空间向量运算的坐标表示学案北师大版.docx

3.3空间向量运算的坐标表示学习目标：1.掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示(重点)能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角(难点)1空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3.2空间向量的平行、垂直及模、夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3 (R)；abab0a1b1a2b2a3b30；|a|；cosa，b.思考：已知a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，能否用表示ab的条件？为什么？提示不能无法保证b1b2b30，故不能用表示ab的条件1.判断正误(1)对空间任意的两个向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，若ab0，则a，b为锐角()(2)若a(x，y，z)，则|a|x2y2z2.()(3)若向量(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1)()答案(1)(2)(3)2已知向量a(4，2，4)，b(6，3，2)，则下列结论正确的是()Aab(10，5，6)Bab(2，1，6)Cab10 D|a|6Dab(10，5，2)，A错误；ab(2，1，6)，B错误；ab46(2)(3)(4)222，C错误；|a|6，故选D.3已知向量a(0，2，1)，b(1，1，2)，则a与b的夹角为()A0 B45C90 D180Ccosa，b0，a，b0，180a，b90.4已知a(1，2，4)，b(2，4，x)(1)当ab时，x_(2)当ab时，x_(1)(2)8(1)由ab284x0，得x.(2)由ab得解得x8.空间向量的坐标运算【例1】已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(1，2，1)，(1，3，4)，(0，1，4)，(2，1，2)，设p，q.求：(1)p2q；(2)3pq；(3)(p2q)(p2q)解因为A(1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，1，4)，D(2，1，2)，所以p(2，1，3)，q(2，0，6)(1)p2q(2，1，3)2(2，0，6)(2，1，3)(4，0，12)(6，1，9)(2)3pq3(2，1，3)(2，0，6)(6，3，9)(2，0，6)(4，3，15)(3)(p2q)(p2q)p24q2|p|24|q|2(221232)4(220262)146.1一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标2在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)(ab)a2b2.1若向量a(1，1，x)，b(1，2，1)，c(1，1，1)满足条件(ca)(2b)2，则x的值为()A2B2C0 D1Aca(1，1，1)(1，1，x)(0，0，1x)，2b(2，4，2)2(1x)2，x2.空间向量平行、垂直的坐标表示【例2】已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)若|c|3，c.求c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.思路探究解答本题可先求出a，b，再根据向量平行与垂直的条件列方程求解解(1)因为(2，1，2)，且c，所以设c(2，2)，得|c|3|3，解得1.即c(2，1，2)或c(2，1，2)(2)因为a(1，1，0)，b(1，0，2)，所以kab(k1，k，2) ka2b(k2，k，4)又因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0，即(k1，k，2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k.1.(变条件)若将本例(2)条件“若kab与ka2b互相垂直”改为“若kab与ka2b互相平行”，求k的值解由kab与ka2b互相平行，得kab(ka2b)，即(k1，k，2)(k2，k，4)，所以解得k0.2.(变条件)若将本例(2)条件“若kab与ka2b互相垂直”改为“若(ab)(ab)与z轴垂直”，求、应满足的关系解ab(0，1，2)，ab(2，1，2)(ab)(ab)(2，22)，由(ab)(ab)(0，0，1)220，得0，即当、满足关系式0时，可使(ab)(ab)与z轴垂直1向量平行与垂直问题主要有以下两种类型：一是判断平行与垂直；一是利用平行与垂直求参数或其他问题2解决这种问题时要注意：适当引入参数参与运算；建立关于参数的方程；准确运算夹角与距离的计算【例3】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；(3)求证：BN平面C1MN.解(1) 如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，|，线段BN的长为.(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，10(1)1223.又|，|.cos，.故A1B与B1C所成角的余弦值为.(3)证明：依题意得A1(1，0，2)，C1(0，0，2)，B(0，1，0)，N(1，0，1)，M，(1，0，1)，(1，1，1)，1(1)010，110(1)(1)10.，BNC1M，BNC1N，BN平面C1MN.在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单3已知正三棱柱ABCA1B1C1，底面边长AB2，AB1BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点建立如图所示的空间直角坐标系(1)求三棱柱的侧棱长；(2)M为BC1的中点，试用基向量，表示向量；(3)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值解析(1)设侧棱长为b，则A(0，1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，所以(，1，b)，(，1，b)因为AB1BC1，所以(，1，b)(，1，b)()212b20，解得b.(2)因为M为BC1的中点，所以()()(3)由(1)知(，1，)，(，1，0)，因为|，|2，(，1，)(，1，0)()2112，所以cos，.所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.1已知a(1，2，3)，b(5，7，8)，则2ab的坐标为()A(7，3，2)B(6，5，5)C(6，3，2) D(11，12，13)A2ab2(1，2，3)(5，7，8)(2，4，6)(5，7，8)(7，3，2)2已知向量a(3，2，5)，b(1，x，1)，且ab2，则x的值为()A3 B4C5 D6Cab312x5(1)2.x5.3已知a(2，3，0)，b(k，0，3)，a，b120，则k_.ab2k，|a|，|b|，cos 120，k.4若a(2x，1，3)，b(1，2y，9)，如果a与b为共线向量，则x_，y_因为a与b共线，所以，所以x，y.5在棱长为1的正方体ABCDA