2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换讲义新人教A版.docx

5.5.2简单的三角恒等变换最新课程标准：能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).知识点一半角公式 巧记“半角公式”无理半角常戴帽，象限确定帽前号；数1余弦加减连，角小值大用加号“角小值大用加号”即y1cos(是锐角)是减函数，角小值大，因此用“”号，而y1cos为增函数，角大值大，因此用“ ”号知识点二辅助角公式asinxbcosxsin(x)，其中tan.1.辅助角公式形式上是asinbcos(ab0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成sin(a )的形式，其中tan ，此公式称为辅助角公式其中可通过tan 以及点(a，b)所在的象限来确定2辅助角公式的特殊情况sincossin；sincos2sin；cossin2sin.教材解难1有了半角公式，只需知道cos 的值及相关的角的范围便可求的正弦、余弦、正切的值2对于S和C，R，但是使用T时，要保证(2k1)(kZ)3半角公式根号前符号的确定规律如下：(1)当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号.sincostan第一象限第一、三象限，第二象限第一、三象限，第三象限第二、四象限，第四象限第二、四象限，(2)当给出角的范围(即某一区间)时，可先求的范围，再根据的范围来确定各三角函数值的符号(3)若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号基础自测1若cos ，且(0，)，则cos 的值为()A.BC D解析：因为(0，)，所以.所以cos.答案：A2下列各式中，值为的是()Asin 15cos 15 Bcos2sin2C. D.解析：选项A中，原式sin 30；选项B中，原式cos；选项C中，原式tan 60；选项D中，原式cos 30.故选B.答案：B3化简cos xsin x等于()A2cos B2cosC2cos D2cos解析：cos xsin x222cos.答案：B4若3sin xcos x2sin(x)，(，)，则_.解析：3sin xcos x22sin，因(，)，.答案：题型一半角公式的应用经典例题例1已知sin ，求sin，cos，tan的值【解析】，sin ，cos ，且0，所以.由cos0，则cos. (2)2的化简结果是_解析：原式22|cos 4|2|sin 4|2cos 42sin 4.答案：2cos 42sin 4半角是相对的，4是8的半角，利用公式化简 .题型二三角恒等式的证明例2若，证明：cos；【证明】左边因为，所以0cos.所以左边cos右边所以原等式成立.等式左边复杂，应从左边入手，利用公式化简，同时注意的范围方法归纳三角恒等式证明的思路通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一 跟踪训练2求证：sin 2.证明：方法一左边cos sincossin cos sin 2右边所以原式成立方法二左边cos2cos2tan cos sin sin 2右边所以原式成立左边复杂，从左边入手化简，先切化弦再利用倍角、半角公式化简题型三三角恒等变换与三角函数的综合教材P227例9例3求下列函数的周期，最大值和最小值：(1)ysin xcos x；(2)y3sin x4cos x.【解析】(1)ysin xcos x222sin.因此，所求周期为2，最大值为2，最小值为2.(2)设3sin x4cos xAsin(x)，则3sin x4cos xAsin xcos Acos xsin .于是Acos 3，Asin 4，于是A2cos2A2sin225，所以A225.取A5，则 cos ，sin ，由y5sin(x)可知，所求周期为2，最大值为5，最小值为5.便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是yAsin(x)，利用和角公式将其展开，可化为yasin xbcos x的形式. 反之，利用和(差)角公式，可将yasin xbcos x转化为yAsin(x)的形式；进而就可以求得其周期和最值了.教材反思函数的解析式的次数可以降低，项数可以减少时，要先化简解析式成yAsin(x)B的形式再研究其图象及性质跟踪训练3已知函数f(x)sin2x2sin xcos x3cos2x，xR，(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间上的值域解析：(1)f(x)sin 2x2sin 2xcos 2x2sin2，所以最小正周期T，因为2k2x2k，kZ时，f(x)为单调递增函数，所以f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由(1)知f(x)22sin，由于x，所以2x，所以sin，所以f(x)1,4，所以f(x)在区间上的值域为1,4利用二倍角公式，降幂公式化简函数f(x)Asin(x)B的形式，再利用性质求解思想方法构建三角函数模型，解决实际问题例如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值【分析】解答本题可设PAB并用表示PR，PQ.根据S矩形PQCRPQPR列出关于的函数式，求最大值、最小值【解析】如图，连接AP，设PAB(090)，延长RP交AB于M，则AM90cos ，MP90sin .所以PQMB10090cos ，PRMRMP10090sin .所以S矩形PQCRPQPR(10090cos )(10090sin )10 0009 000(sin cos )8 100sin cos .令tsin cos (1t)，则sin cos .所以S矩形PQCR10 0009 000t8 1002950.故当t时，S矩形PQCR有最小值950 m2；当t时，S矩形PQCR有最大值(14 0509 000)m2.【点评】此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，以有利于表示所需线段，其次要确定角的范围课时作业 40一、选择题1已知cos ，则sin等于()A B.C. D解析：因为，所以，所以sin.答案：B2若sin 2，且，则cos sin 的值为()A. B.C D解析：因为，所以cos sin ，(cos sin )21sin 2，所以cos sin .答案：C3设acos 6sin 6，b2sin 13cos 13，c，则有()Acba BabcCacb Dbca解析：由已知可得asin 24，bsin 26，csin 25，所以ac0，则 |cos |sin |cos (sin )cos sin .答案：B二、填空题5若cos 22a，则sin 11_，cos 11_.解析：cos 222cos211112sin211，所以cos 11.sin 11.答案： 6已知cos ，且180270，则tan_.解析：因为180270，所以90135，所以tan0，所以tan2.答案：27若，cos，sin，则cos()的值等于_解析：，cos，sin，.2，2.(2)(2)0或(0舍去)cos().答案：三、解答题8化简：.解析：方法一原式(复角化单角，进一步切化弦)1(使用平方差公式)方法二原式(利用与的互余关系)(逆用二倍角的正弦公式)1.9求证：2cos().证明：sin(2)2cos()sin sin()2cos()sin sin()cos cos()sin 2cos()sin sin()cos cos()sin sin()sin ，两边同除以sin 得2cos().尖子生题库10已知函数f(x)sin