高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题21平面向量与其它知识点综合文（含解析）.docx

专题17 平面向量与其它知识点综合一、本专题要特别小心：1.平面向量的几何意义应用2. 平面向量与三角形的心3. 向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题 5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用。二【学习目标】1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题三【方法总结】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.3.几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积ab0，尽量用坐标运算.四【题型方法】（一）向量与三角形的综合例1.在中，已知，且，则的值是（ ）A2BCD【答案】C【解析】在中，设内角所对边为，根据正弦定理，可知,已知，所以，显然是等腰三角形，即，因此有，所以，故本题选C.练习1. 已知，是边上的点，且，为的外心，的值为（ ）A8B10C18D9【答案】D【解析】因为，所以，因此；取，中点分别为，则，；因此， 所以.故选D练习2.已知向量,.且分别是的三边所对的角.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）， 为的内角，则，（2）由余弦定理，得：，即： ，练习3. 在中，内角的对边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若在边上，且，且，求【答案】（1）；（2）9.【解析】（1）因为acosB-c=，由正弦定理得：sinAcosB-sinc=，所以sinAcosB-（sinAcosB+cosAsinB）=，所以cosA=-，又0A，故A=（2）由b-c=2，a=4，A=，由余弦定理得：（4）2=b2+c2-2bccos，即b2+c2+bc=48，又b-c=2，所以b2+c2=40，bc=8，又M、D在BC边上，且=2，=0，所以2=，所以42=22=b2+c2-bc=32，所以2=8，由三角形面积公式得：=|，所以|=1，所以|2=1，所以|2+|2=9，故答案为：9（二）向量几何意义的灵活应用例2. 设O、A、B是平面内不共线的三点，记，若P为线段AB垂直平分线上任意一点，且当时,则等于 （ ）A B C D【答案】D【解析】设是线段的中点，根据题意，得 ， 与互相垂直因此，又中，是边上的中线 故选：D练习1. 如图，是边长为2的等边三角形，点分别是的中点.（）连接并延长到点，使得，求的值;（）若点为边上的动点，多长时，最小，并求最小值【答案】（） 见解析【解析】()如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，设，()设，设，得则当时，取最小值，此时练习2. 如图在AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点设=，=（1）用，表示；（2）过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F设=p，=p，求+的值【答案】(1) 5.【解析】（1）设，则，三点共线，共线，从而又C，M，B三点共线，共线，同理可得联立，解得，故（2）.共线，整理得练习3. 如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=BM.(1)求证:M是CD的中点;(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求的最小值.【答案】（1）见解析；（2）0【解析】(1)设=m=n,由题意知)=+m)=,又+n+n()=(1-n)+n,=m,即M是CD的中点.(2)AB=2,BC=1,M是CD的中点,MB=,ABM=45,=()=-()=-|2=-|cos(180-ABH)-|2=|cos 45-|2=|-|2=-,又0|,当|=,即H与M重合时,取得最小值,且最小值为0.（三）向量与三角函数化简及性质综合例3. 已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】(1)因为，所以，于是；当时， ，与矛盾，所以，故，所以(2)由知， ，即，从而，即，于是又由知，所以或，因此或.练习1. 已知，函数（）求的对称轴方程；（）求使成立的的取值集合；（III）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（I）； （II）；（） .【解析】（I），令，解得的对称轴方程为（II）由得，即，故x的取值集合为（），又在上是增函数，又，在时的最大值是，恒成立，即，实数的取值范围是练习2. 已知向量，函数，（1）若，求的值；（2）在中，角对边分别是，且满足，当B取最大值时，面积为，求的值【答案】（1）（2）【解析】（1）向量，则：函数= 因为，所以，所以， =，（2）在中，角对边分别是，且满足，整理得： 整理得：，所以：，当时，面积为，则：，解得：，利用余弦定理得：，解得：，则（四）向量与圆综合例4. 已知，是单位向量，若向量满足，则的取值范围是_【答案】【解析】，是单位向量 又 且 ，又，即解得：，本题正确结果； 练习1. 已知直线过定点，线段是圆的直径，则_.【答案】7.【解析】直线 可化为，联立，解得点，线段是圆的直径，练习2如图，已知，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点不含端点A，B，且，则的最大值为_【答案】4【解析】以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，可得，以AB为直径的半圆方程为，以AC为直径的半圆方程为，设，可得，即有，即为，即有，又，可得，即，则，可得，即，时，的最大值为4故答案为：4练习3. 已知圆，过点的直线与圆相交于不同的两点，.（I）判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.（）若，求直线的方程.【答案】（I）见解析.（）或.【解析】（I）当直线与轴垂直时（斜率不存在），的坐标分别为，此时.当直线与轴不垂直时，设的斜率为，直线的方程为.设，联立消去得，则有，.又，所以.综上，为定值5.（）.所以直线的方程为或.（五）向量与圆锥曲线综合例5. 已知椭圆，为其左、右焦点,为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足,的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率=_【答案】【解析】设，G为的重心，G点坐标为，轴，I的纵坐标为在中，又I为的内心，I的纵坐标即为内切圆半径由于I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形，即，椭圆C的离心率练习1. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，且椭圆的上顶点到椭圆的左、右顶点的距离之和为（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点是直线上的不同两点，点为椭圆上一点，若点满足，点在直线上，且，直线过点且垂直于直线，其中为坐标原点，求证：点在直线上【答案】(1) (2)见证明【