高考数学一轮复习专题4.3利用递推公式求数列通项公式练习（含解析）.docx

第三讲 利用递推公式求数列的通项公式【套路秘籍】-千里之行始于足下1递推数列(1)概念：数列的连续若干项满足的等量关系ankf (ank1，ank2，an)称为数列的递推关系由递推关系及k个初始值确定的数列叫递推数列(2)求递推数列通项公式的常用方法：构造法、累加(乘)法、归纳猜想法2数列递推关系的几种常见类型（1）公式法：形如Sn=f(n)或Sn=f(an)或Sn=f(n,an)(2)累加法：形如anan1f(n)(nN*，且n2)当nN*，n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1.(3)累乘法：形如f(n)(nN*且n2)当nN*，n2时，ana1.注意：n1不一定满足上述形式，所以需要检验（4） 倒数法：（构造等差数列）形如整式：两边同时除以 分式：两边同时取倒数（5）待定系数法形如anpan1q(nN*且n2)方法：化为anp的形式令bnan，即得bnpbn1，bn为等比数列，从而求得数列an的通项公式形如anpan1f(n)(nN*且n2)方法：两边同除pn，得，令bn，得bnbn1，转化为利用累加法求bn，从而求得数列an的通项公式【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 公式法【例1】(1)已知数列an的前n项和Sn2n23n，则an_.(2)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.(3)已知数列an满足a12a23a3nan2n，则an_.【答案】（1）4n5 （2）-63 （3）an【解析】（1）当n1时，a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.（2）Sn2an1，当n2时，Sn12an11，anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)当n1时，a1S12a11，得a11.数列an是首项a11，公比q2的等比数列，Sn12n，S612663.（3）当n1时，由已知，可得a1212，a12a23a3nan2n，a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由得nan2n2n12n1，an.显然当n1时不满足上式，an【套路总结】使用条件：已知解题思路：首项：看题目有无首项，无则令n=1根据求出，如果题目已知，则直接进行列式：写出当时，的表达式相减：利用，求出或者转化为的递推公式的形式；检验：令n=1并代入的通项公式并与第一步中的对比，如果相等，则通项就只有一道；若不相等，则写出分段形式【举一反三】1.已知数列an的前n项和Sn3n1，则an_.【答案】【解析】当n1时，a1S1314；当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.当n1时，23112a1，所以an2.设数列an满足a13a232a33n1an，则an_.【答案】【解析】因为a13a232a33n1an，则当n2时，a13a232a33n2an1，得3n1an，所以an(n2)由题意知a1符合上式，所以an.3.若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.【答案】(2)n1【解析】当n1时，a1S1a1，即a11；当n2时，anSnSn1anan1，故2，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列故an(2)n1.考向二 倒数法求通项【例2】（1）在数列an中，已知a11，an1，则an_.(2)已知在数列中，a1，且当n2时，有an1an4anan10，则an_.【答案】（1），nN* （2）(nN*)【解析】（1)由已知可知an0，即，又1，是以1为首项，为公差的等差数列，(n1)，an，nN*.(2)由题意知an0，将等式an1an4anan10两边同除以anan1得4，n2，则数列为等差数列，且首项为5，公差d4，故(n1)d54(n1)4n1，an(nN*)【套路总结】使用模型（其中为常数）解题思路：第一步：将递推公式两边取倒数得， 当r=p时，是等差数列 当rp时，采用构造法构造等比数列 第二步：求出数列的通项公式；第三步：求出数列通项公式.【举一反三】1设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.【答案】【解析】an1Sn1Sn，Sn1SnSn1Sn，又由a11，知Sn0，1，是等差数列，且公差为1，而1，1(n1)(1)n，Sn.2.若数列an的首项a1，且an(an1)an1，则_.【答案】【解析】an(an1)an1，得anan1anan1且an0，所以1，即是以2为首项，1为公差的等差数列，n1，从而.考向三 累加法【例3】已知在数列中，a10，an1an2n1，求an.【答案】an(n1)2【解析】由已知得anan12n3，当n2时，an(anan1) (an1an2)(a2a1)a1(2n3)(2n5)10(n1)2.当n1时，a10符合上式，所以an(n1)2，nN*.【套路总结】使用条件：型如或解题思路：第一步 将递推公式写成即f(n)表示n的函数第二步 依次写出，并将它们累 加起来；第三步 得到的值，解出；第四步 检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.注意：累加法一般只有（n-1）项【举一反三】1数列满足a1，anan1(n2，nN*)，求数列的通项【答案】an(nN*)【解析】由anan1(n2，nN*)且a1，anan1an1an2，a2a11，各式累加整理得an，n取1时，1a1，所以an(nN*)2.已知数列an，a1=1，an=an-1+3nn2,nN*，则数列an的通项公式an=_【答案】3n+1-72【解析】数列an，a1=1，an=an-1+3nn2,nN*，可得a2=a1+32，a3=a2+33，a4=a3+34，an=an-1+3n，累加可得：an=a1+32+33+34+3n=1+9(1-3n-1)1-3=3n+1-72故答案为：3n+1-72考向四 类乘法【例4】已知在数列中，a12，且nan1(n2)an，求an.【答案】ann(n1)(nN*)【解析】由已知得，当n2时，ana12n(n1)，当n1时，a12也符合上式，所以ann(n1)(nN*)【套路总结】使用条件：型如或解题思路： 第一步 将递推公式写成 第二步 依次写出，此步骤固定 第三步 得到的值，解出；第四步 检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.【举一反三】1已知在数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式【答案】【解析】(1)由S2a2，得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由S3a3，得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n2时，有anSnSn1anan1，整理，得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1，将以上n个等式两端分别相乘，整理，得an.当n1时，a11也符合上式，综上，an的通项公式an，nN*.考向五 待定系数法【例5】（1）已知数列an满足a12，an12an2，求数列an的通项公式(2)已知在数列中，a12，an12an32n，则an_.【答案】（1）an2n12(nN*) （2）2n，nN*【解析】（1）an12an2，an122(an2)，又a124，an2是以4为首项，2为公比的等比数列，an242n1，an2n12(nN*)（2）在递推关系an12an32n的两边同除以2n1，得，令bn1，则bn1bn，b11，所以bn是以1为首项，为公差的等差数列所以bn1(n1)n，故an2n，nN*.【套路总结】使用条件：型如（其中为常数，且）解题模板：第一步 假设将递推公式改写为an1tp(ant)； 第二步 由待定系数法，解得； 第三步 写出数列的通项公式； 第四步 写出数列通项公式.【举一反三】1.已知数列满足anan12，a11，求数列的通项公式【答案】an3(nN*)【解析】设an(an1)，解得3，则an3(an13)，令bnan3，则数列是以b1a132为首项，为公比的等比数列，所以bn，所以an3(nN*)2已知在数列中，a1，an1ann1，则an_.【答案】(nN*)【解析】在an1ann1的两边同乘以2n1得2n1an1(2nan)1，令bn2nan.则b1，bn1bn1，于是可得bn13(bn3)，bn3n12n，bn32n，an3n2n(nN*)【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1若数列an的前n项和Sn3n22n1，则数列an的通项公式an_.【答案】【解析】当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列an的通项公式为an2.已知在正项数列an中，Sn表示前n项和且2an1，则an_.【答案】2n1【解析】方法一由已知2an1，得当n1时，a11；当n2时，anSnSn1，代入已知得2SnSn11，即Sn1(1)2.又an0，故 1或 1(舍)，即1(n2)，由定义得是以1为首项，1为公差的等差数列，n.故an2n1.方法二2an1，4Sn(an1)2，当n2时，4Sn1(an11)2，两式相减，得4an(an1)2(an11)2，化简可得(anan1)(anan12)0，an0，anan12，2a11，a11.数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，an2n1.3已知a13，an1an(n1，nN*)，则an_.【答案】【解析】当n2时，ana13.a13也符合上式，所以an.4已知在数列中，a1，an1an，则an_.【答案】(nN*)【解析】由已知可得an1an，令n1,2，(n1)，代入得(n1)个等式累加，即(a2a1)(a3a2)(anan1)，ana1，ana1，即an1(nN*).5在数列an中，若a12，an1anln，则an_.【答案】2ln n(nN*)【解析】当n2时，anan1lnan1ln，an1an2ln，an2an3ln，a2a1ln 2，累加可得ana1lna1ln n，an2ln n，nN*(经验证a12也符合此式)6已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn1，且6Sn(an1)(an2)，nN*，则数列an的通项公式为_【答案】an3n1【解析】由a1S1(a11)(a12)，解得a11或a12.由已知a1S11，得a12.又由an1Sn1Sn(an11)(an12)(an1)(an2)，得an1an30或an1an.因为an0，故an1an不成立，舍去因此an1an30，即an1an3，从而an是公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项公式为an3n1.7已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn，则数列an的通项公式为_【答案】an1n(nN*)【解析】anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，又a1a11，a11，.设cnan1，首项c1a11.数列cn是以为首项，为公比的等比数列故cnn1n，ancn11n(nN*)8设数列an的前n项和为Sn，已知4an2n3Sn，则an_.【答案】34n12n1(nN*)【解析】由已知得4an12n13Sn1，4(an1an)2n3an1，an14an2n，an12n4an2n14(an2n1)，又4a123S1，a12，an2n1是以3为首项，4为公比的等比数列an2n134n1，an34n12n1(nN*)9.已知a12，a24，数列bn满足：bn12bn2且an1anbn.(1)求证：数列bn2是等比数列；(2)求数列an的通项公式【答案】见解析【解析】(1)证明：由题知，2，b1a2a1422，b124，数列bn2是以4为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)可得，bn242n1，故bn2n12.an1anbn，a2a1b1，a3a2b2，a4a3b3，anan1bn1.累加得，ana1b1b2b3bn1(n2)， an2(222)(232)(242)(2n2)2(n1)2n12n，故an2n12n(n2)a12符合上式，数列an的通项公式为an2n12n(nN*)10已知Sn是数列an的前n项和，数列an满足1a1+12a2+122a3+.+12n-1an=2n(nN*)，则Sn=_【答案】1-12n【解析】1a1+12a2+122a3+.+12n-1an=2n(nN*)，1a1+12a2+122a3+.+12n-2an-1=2(n-1)(n2)，两式做差，12n-1an=2(n2)，an=12n(n2)，而n=1时，可得：a1=12也满足，an=12n，Sn=12+122+123+.+12n=12(1-12n)1-12=1-12n.11.设Sn为数列an的前n项和，已知a1=2，对任意nN*，都有2Sn=（n+1）an，求数列an的通项公式。【答案】【解析】2Sn=（n+1）an，当n2时，2Sn1=nan1， 可得2an=（n+1）annan1， 令n=2, 2S2=（2+1）a2 2(a1+a2)=（2+1）a2 解得a2=4 n=1a1=2,12已知a12a222a32n1an96n，求数列an的通项公式13已知在数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式【答案】见解析【解析】(1)由S2a2，得3(a1a2)4a2，解得a23a13；由S3a3，得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当