山东省烟台市2019届高三数学一模（3月）试题文（含解析）.docx

2019年山东省烟台市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数满足（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解：由，得，故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集合N，然后进行补集、交集的运算即可【详解】N0，1，2，3，4，RMx|x1；（RM）N0，1故选：B【点睛】本题考查补集、交集的运算，描述法、列举法的定义，熟记交集，补集的定义是关键，是基础题3.在矩形中，,若点，分别是，的中点，则（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】本题可以以，两个向量作为基底向量用来表示所要求的，然后根据向量的性质来运算，从而得出结果【详解】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：，.故选：C【点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题4.若函数是定义在上的奇函数，当时，则实数A. B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据是奇函数，即可求出，而根据时，即可得出，从而求出【详解】是定义在上的奇函数，且时，；故选：C【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型.5.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由任意角的三角函数的定义求得，然后展开二倍角公式求【详解】解：角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则.故选：D【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 8B. 16C. 32D. 64【答案】C【解析】【分析】根据程序框图进行模拟计算即可【详解】解：当，时，成立，则，成立，则，成立，则，成立，则，不成立，输出，故选：C【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键7.已知，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】结合充分必要条件判定，相互互推，即可得出答案。【详解】解：由，得：，故ab0且ab，故“ab0“是“2”的必要不充分条件，故选：B【点睛】本道题考查了充分必要条件的判定规则，判定两个结论之间的关系，即可得出答案.8.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间距离为，将函数的向右平移个单位长度后，得到关于轴对称，则（ ）A. 的关于点对称B. 的图象关于点对称C. 在单调递增D. 在单调递增【答案】C【解析】【分析】由周期求出，利用函数的图象变换、图象的对称性求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论【详解】函数，其图象相邻两条对称轴之间距离为，.将函数的向右平移个单位长度后，可得的图象，根据得到的图象关于轴对称，可得，.当时，故的图象不关于点对称，故A错误；当时，故的图象关于直线对称，不关于点对称，故B错误；在上，单调递增，故C正确；在上，单调递减，故D错误，故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象变换，由周期求出，由图象的对称性求出的值，正弦函数的图象和性质，属于常考题型9.我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥与圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为；所以对应不规则几何体的体积为故选：B【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题10.在中，角，的对边分别为，若，则角（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，可得，再由正弦定理得到，结合范围，即可求的值【详解】，由正弦定理可得：，即：，.故选：D【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式等即可，属于基础题11.已知圆锥曲线：与：的公共焦点为，点为，的一个公共点，且满足，若圆锥曲线的离心率为，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求的离心率详解】：，：设，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，解得，由，运用勾股定理，可得，即为，由离心率的公式可得，则故选：B【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于常考题型12.已知函数，则使不等式成立的的最小整数为（ ）A. -3B. -2C. -1D. 0【答案】D【解析】【分析】根据题意，求出的导数，利用等比数列前项和公式分析可得，进而可得在上为增函数，求出与的值，由函数零点判定定理可得在上存在唯一的零点，设其零点为，据此可得，分析的取值范围即可得答案【详解】根据题意，函数，其导数，时，可以看成是1为首项，为公比的等比数列，则有，函数在上为增函数，又由，则函数在上存在唯一的零点，设其零点为，又由，则，故不等式成立的的最小整数为0；故选：D【点睛】本题考查函数与不等式的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于常考题型二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则在内任取一个实数，使得的概率是_【答案】【解析】【分析】根据指数函数的性质求解不等式求得，利用几何概型概率公式可得结果.【详解】因为，所以，即，则在内任取一个实数，使得的概率，故答案为【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.14.已知，满足约束条件，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，即可得到结论【详解】解：作出，满足约束条件的对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的纵截距最小，此时最小，由解得，此时，故答案为：【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法15.已知圆的弦的中点为，直线交轴于点，则的值为_【答案】【解析】【分析】由已知先求，然后根据圆的性质可求，写出所在直线方程，联立方程可求，然后根据向量数量积的坐标表示即可求解【详解】设，圆心，根据圆的性质可知，所在直线方程为，即，联立方程可得，设，则，令可得，故答案为：-5【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用，属于常考题型.16.若定义域为的函数满足，则不等式的解集为_（结果用区间表示）【答案】【解析】【分析】由题目要求解的不等式是，由此想到构造函数，求导后结合，可知函数是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集详解】令，则，因为，所以，所以，函数为上的增函数，由，得：，即，因为函数为上的增函数，所以所以不等式的解集是故答案为【点睛】本题考查了导数的运算法则，考查了不等式的解法，解答此题的关键是联系要求解的不等式，构造出函数，然后利用导数的运算法则判断出其导函数的符号，得到该函数的单调性此题是常考题型三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列的公差是1，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因为是公差为1的等差数列，且，成等比数列，可得，即，解得利用通项公式即可得出结果（2）利用错位相减法，即可得出结果【详解】（1）因为是公差为1的等差数列，且，成等比数列，所以，即，解得所以.（2），两式相减得，所以.所以.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于常考题型18.如图，四边形为矩形，四点共面，且和均为等腰直角三角形，.（1）求证：平面平面；（2）若平面平面，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由四边形为矩形，得，再由线面平行的判定可得平面再由已知证明，得到平面，然后利用平面与平面平行的判定可得平面平面； （2）由为矩形，得，结合面面垂直的性质可得平面，由已知结合等积法求三棱锥的体积【详解】（1）证明：四边形为矩形，又平面，平面，平面.和均为等腰直角三角形，且，又平面，平面，平面，平面，平面，平面平面；（2）解：为矩形，又平面平面，平面，平面平面，平面，在中，.【点睛】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19.已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线与两点，当直线与轴垂直时，.（1）求抛物线的方程；（2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线的斜率成等差数列，求点的坐标.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由题意可得，即可求出抛物线的方程，（2）设直线的方程为，联立消去，得，根据韦达定理结合直线，的斜率成等差数列，即可求出点的坐标.【详解】解：（1）因为，在抛物线方程中，令，可得于是当直线与轴垂直时，解得所以抛物线的方程为（2）因为抛物线的准线方程为，所以设直线的方程为，联立消去，得设，则，.若点满足条件，则，即，因为点，均在抛物线上，所以，代入化简可得，将，代入，解得将代入抛物线方程，可得于是点为满足题意的点【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，综合性强20.2019年2月13日烟台市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和中位数（的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为，的学生中抽取9名参加座谈会（i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时理工类专业4060非理工类专业附：（）.临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）平均数9，中位数；（2）（i）按照进行名额分配；理由见详解；（ii）有.【解析】【分析】（1）根据平均数，中位数的定义进行求解即可（2）完成列联表，计算的观测值，结合独立性检验的性质进行判断即可.【详解】（1）该组数据的平均数，因为，所以中位数，由，解得；（2）（i）每周阅读时间为的学生中抽取3名，每周阅读时间为的学生中抽取6名理由：每周阅读时间为与每周阅读时间为是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照进行名额分配（ii）由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有人，超过8.5小时的共有人于是列联表为：阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时理工类专业4060非理工类专业2674的观测值，所以有的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，根据数据计算出K2的观测值是解决本题的关键考查学生的计算能力21.已知函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，其中是自然对数的底数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增，无极值；当时，在和单调递增，在单调递减，极大值为，极小值为.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可； （2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出函数的极值即可【详解】（1）由题意，所以当时，因此曲线在点处的切线方程是，即.（2）因为，所以，令，则，令得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，也就说，对于恒有.当时，上单调递增，无极值；当时，令，可得当或，单调递增，当，单调递减；因此，当时，取极大值；当时，取极小值.综上所述：当时，在上单调递增，无极值；当时，在和单调递增，在单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值为，极小值为.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐