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定积分 1 曲边梯形的定义 分割区间 过剩估计值不足估计值 逼近所求面积 求曲边梯形面积的步骤 我们把由直线x a x b a b y 0和曲线y f x 所围成的图形叫作曲边梯形 2 前面一节课 我们主要学习了用 以直代曲 的逼近方法讨论了定积分的计算思想 即 如何估计 曲边梯形 面积 那么 什么叫做定积分 它代表什么意义 这些就是今天要讨论学习的内容 引入 3 一般地 给定在区间 a b 的函数y f x 将区间 a b 分成n份 分点为 第i个小区间为 设其长度为 在这个小区间上取一点 使在区间上的值最大 设 再取一点 使在的值最小 设 4 若每次分割后 最大的小区间的长度趋于0 S与s的差也趋于0 此时 S与s同时趋于某个固定的常数A 则称A是函数y f x 在区间 a b 上的定积分 记作 即 积分号 积分下限 积分上限 f x 被积函数 a b x 积分变量 5 当f x 0时 表示的是y f x 与x a x b和x轴所围曲边梯形的面积 当f x 表示速度关于时间x的函数时 表示的是运动物体从x a到x b时所走的路程 定积分的意义 6 由定积分的定义 可以得到定积分的如下性质 性质1 性质2 性质3 性质4 7 例1说明下列定积分所表示的意义 并根据其意义求出定积分的值 解析 例2求定积分 解析 8 2019 12 30 9 说明下列定积分的意义 并求出定积分的值 f x 0时 积分表示面积的相反数 2 先利用定义求此积分 再观察它与被积函数为2时的定积分的关系 动手做一做 例题2 10 1 求定积分 2 用图像表示定积分 动手做一做 11 小结 12 我们知道 当f x 0时 表示的是曲边梯形的面积 关键在于找出曲边梯形是由哪些直线和曲线所围成的平面图形 代表着围曲面梯形的各函数 解答 分析 13 1 表示直线y 2与x 0 x 1及x轴所围成的图形的面积 即长方形的面积 容易知道 长方形的面积是2 所以 2 表示由 及x轴所围成的图形的面积 即 的面积 直线y x x 1 x 2 梯形 容易知道 梯形的面积是 所以 解 14 由图可知 表示的是单位圆在x轴上方的半圆 所以表示由 及x轴所围成的图形的面积 即 的面积 半径为1的半圆 曲线 由于半径为1的半圆面积为 所以 练习 15 性质2 性质4 分析 主要考查定积分的意义和基本性质 性质3 16 解1 由定积分的性质2可得 解2 由定积分的性质
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