高考数学一轮复习专题4.5历史中的数列练习（含解析）.docx

第五讲 历史中的数列 【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 等差数列【例1】程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次弟，孝和休惹外人传”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止分配时一定要长幼分明，使孝悌的美德外传，则第八个孩子分得棉_斤【答案】184【解析】根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an，其中d17，n8，S8996.由等差数列前n项和公式可得8a117996，解得a165.由等差数列通项公式得a865(81)17184.【举一反三】1.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是斤.【答案】184【解析】用a1,a2,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,由题意,得数列a1,a2,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,即8a1+87217=996,解得a1=65.所以a8=65+717=184.2我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个整数中能被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，那么此数列的项数为（）A58B59C60D61【答案】A【解析】由数能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2的数，故an2+（n1）3535n33由an35n332019得n58+2235，nN+，故此数列的项数为：58故选：A.考向二 等比数列【例2】.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则此人第4天和第5天共走的路程为()A.60里 B.48里 C.36里 D.24里【答案】C【解析】由题意，每天走的路程构成公比为的等比数列.设等比数列的首项为a1，则378，解得a1192，则a419224，a52412，a4a5241236.所以此人第4天和第5天共走了36里.【举一反三】1.古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据问题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为_【答案】8【解析】由题意知其每天织布尺数构成公比为2的等比数列，可设该女子第一天织布x尺，则5，解得x，所以前n天织布的尺数为(2n1)，由(2n1)30，得2n187，又因为n为正整数，所以n的最小值为8.2在九章算术中“衰分”是按比例递减分配的意思今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为【答案】【解析】设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28,28q石，2828q98，q2或.又0q1，q.考向三 新概念中的数列【例3】记m，若是等差数列，则称m为数列an的“dn等差均值”；若是等比数列，则称m为数列an的“dn等比均值”已知数列an的“2n1等差均值”为2，数列bn的“3n1等比均值”为3.记cnklog3bn，数列的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有SnS6，求实数k的取值范围【答案】k【解析】由题意得2，所以a13a2(2n1)an2n，所以a13a2(2n3)an12n2(n2，nN*)，两式相减整理得an(n2，nN*)当n1时，a12，符合上式，所以an(nN*)又由题意得3，所以b13b23n1bn3n，所以b13b23n2bn13n3(n2，nN*)，两式相减整理得bn32n(n2，nN*)当n1时，b13，符合上式，所以bn32n(nN*)所以cn2n1k(2n)(2k)n2k1，易知数列cn是等差数列因为对任意的正整数n都有SnS6，所以解得k.【举一反三】1在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；.设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，xt,2，并记anlog2(1x1x2xt2)，其中t2n1，nN*，求数列an的通项公式【答案】an(nN*)【解析】anlog2(1x1x2xt2)，所以an1log21(1x1)x1(x1x2)xt(xt2)2log2(12xxxx22)3an1，所以an13，又a1log24，所以数列是一个以为首项，以3为公比的等比数列，所以an3n1，所以an(nN*)2对于正项数列an，定义Hn为an的“惠兰”值现知数列an的“惠兰”值Hn，则数列an的通项公式为_【答案】an2(nN*)【解析】由题意得，即a12a23a3nann2，所以当n2时，a12a23a3(n1)an1(n1)2，得nann2(n1)22n1，所以an2(n2)当n1时，a11，也满足此通项公式，所以an2(nN*)【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏C5盏 D9盏【答案】B【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前7项的和S7381，公比q2，依题意，得S7381，解得a13.2中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半，六朝方得至其关要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地”则第三天走了()A60里 B48里C36里 D24里【答案】B【解析】由题意得每天走的路程构成等比数列an，其中q，S6378，则S6378，解得a1192，所以a319248.3张丘建算经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾初日织五尺，今一月日织九匹三丈”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布则该女子最后一天织布的尺数为()A18 B20C21 D25【答案】C【解析】依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为an，其中a15，前30项和为390，于是有390，解得a3021，即该织女最后一天织21尺布4我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，.第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，an.则a1a2a2a3an1an等于()An2B(n1)2Cn(n1) Dn(n1)【答案】C【解析】a1a2a2a3an1ann2n2n2n(n1)5莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的1份为()A. B. C. D.【答案】A6九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）A2.2天B2.4天C2.6天D2.8天【答案】C【解析】设蒲的长度组成等比数列an，其a1=3，公比为12，其前n项和为An，则An=31-12n1-12.莞的长度组成等比数列bn，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn则Bn=2n-12-1 ，由题意可得：31-12n1-12=2n-12-1，整理得：2n+62n=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）n=log26=lg6lg2=1+lg3lg22.6估计2.6日蒲、莞长度相等.故选：C7我国古代数学著作九章算术由如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为aii=1,2,10，且a1a2a10，若48ai=5M，则i=（ ）A6 B5 C4 D7【答案】A【解析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为an，设公差为d，则&2a1+d=2&2a1+17d=4，解得a1=1516，d=18，该金杖的总重量M=101516+109218=15，48ai=5M，481516+（i1）18=25，即39+6i=75，解得i=6，故选：A8中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷(gu)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）.已知易经中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么易经中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A72.4寸 B81.4寸 C82.0寸 D91.6寸【答案】C【解析】设晷影长为等差数列，公差为， ， ，则，解得，易经中所记录的惊蛰的晷影长是寸，故选C.10如图，最大的三角形是边长为2的等边三角形，将这个三角形各边的中点相连得到第二个三角形，依此类推，一共得到10个三角形，则这10个三角形的面积的和为_【答案】4331-1410【解析】设以2为边长的等边三角形的面积为a1，根据题意，设得到的第n个等边三角形的面积为an，则an是以a1=3422=3，为首项，以q=14为公比的等比数列，公比q1故这10个三角形的面积和为S10=a11-q101-q=31-q101-14=433(1-1410)故填：433(1-1410)11.设某数列的前n项和为Sn，若为常数，则称该数列为“和谐数列”若一个首项为1，公差为d(d0)的等差数列an为“和谐数列”，则该等差数列的公差d_.【答案】2【解析】由k(k为常数)，且a11，得nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得，(4k1)dn(2k1)(2d)0，对任意正整数n，上式恒成立，得数列an的公差为2.12程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次弟，孝和休惹外人传”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止分配时一定要长幼分明，使孝悌的美德外传，则第八个孩子分得棉_斤【答案】184【解析】根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an，其中d17，n8，S8996.由等差数列前n项和公式可得8a117996，解得a165.由等差数列通项公式得a865(81)17184.13九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿_斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿_斗粟【答案】57157【解析】设牛、马、羊的主人应赔偿的斗栗分别为x,y,z.由题意可知x，y，z依次成公比为12的等比数列，则x+y+z=4z+2z+z=5，解得z=5