天津大学应用泛函分析2012-2013期末样题.pdf

非数学类研究生题庫 Test Bank of Applied Functional Analysis 应应应用用用泛泛泛函函函分分分析析析试试试题题题庫庫庫及及及参参参考考考解解解答答答 天津大学数学系编 2013年 11月10日 目录 第一章应用泛函分析历年考试题参考解答 1 1 12012 2013 学年第一学期考试试题参考解答 2 i 第一章应用泛函分析历年考试题参考解答 1 2第一章应用泛函分析历年考试题参考解答 1 1 2012 2013 学年第一学期考试试题参考解答 一 判断题 共20分 每小题1分 1 凡是与自然数集N对等的集是可数集 与 0 1 对等的集是不可数集 2 区间 a b 上的有理系数多项式全体是可数集 3 设E是实数集R的子集 如果E上有界 则E必存在上确界 若E有下界则E必有下 确界 4 设M是线性空间X的非空子集 则spanM是X中包含M的最小闭子空间 5 设X是一个复数域上的线性空间 对任意的x y X 二元函数 x y 满足条件 关 于第一变元是线性的 x y y x 则 X 是一个内积空间 6 同一线性空间X上定义两个范数形成不同的赋范线性空间 7 两个线性同构的有限维空间它们线性无关元的个数相同 8 内积空间是赋范线性空间 内积空间的范数满足等式 x y 2 x y 2 2 x 2 y 2 9 设X是内积空间 A X 则 A 是X的闭子空间 10 设赋范线性空间X的映射F是连续的是指 对任意的xn 若lim n xn x 则lim n F xn F x 11 赋范线性空间X是Banach空间的充分必要条件是 任意绝对收敛级数都收敛 12 具有Schauder基的Banach空间一定是可分的 13 设X是任一内积空间 xk X k 1 2 n 若xk xj k j则有 n k 1 xk 2 n k 1 xk 2 14 内积空间中任何线性无关系 x1 x2 xn 都可通过正交化得到一个标准正交系 15 设 是线性空间X上的等价范数 则 X 与 X 有相同的完备性 16 设X Y是赋范线性空间 算子 T X Y 是连续的 当且仅当T将X中的 有界集映为Y中的有界集 17 设X Y是赋范线性空间 有界线性算子T X Y的零空间N T 是闭子空间 18 设X Y是赋范线性空间 若X是完备的 则B X Y 是完备的 19 设X Y是赋范线性空间 T B X Y 如果M是X中紧集 则T M 是Y中的紧集 20 设 n x n 0 空间L2 a b 的正交多项式 则 n x 在 a b 上有n个零点 第一节2012 2013 学年第一学期考试试题参考解答3 二 填空题 共10分 每小题1分 1 设X是赋范线性空间 M X M是闭集是指 若序列收敛 则其极限点也在M中 2 在赋范线性空间X中 集合A X是完备集是指 A按照X中的范数是Banach空间 3 设M是内积空间X的完备子空间 x X 若存在x0 M使得 x x0 d x M 则x0是 x在M上的正交投影或最佳逼近元 4 设X是赋范线性空间 若X是有限维空间的充要条件是 X中的 任何 有界集是列紧 集 5 Mn n C 是方阵组成的线性空间 其上定义的范数 如果 满足条件 AB A B 则称 是 方阵范数 6 设X是线性空间 x 是X是定义的泛函 x 称为范数是指它满足 范数公理约定 的三条性质 7 设赋范线性空间 C a b 则算子f x b a tx t dt的范数是 b a t dt 写成1 2 b 2 a2 也算对 8 设X是复内积空间 则极化恒等式为 x y X x y 1 4 x y 2 x y 2 i x iy 2 x iy 2 9 设F ek k N 是Hilbert空间H的标准正交系 则Parseval恒等式成立的充要条件 是 F是H 的 完全标准正交系 10 设X Y是同一数域K上的线性空间 设T X Y是线性算子 若 sup x 1 Tx 则T是 有界线性算子 三三三 证明 本题10分 设C1 a b 是表示闭区间 a b 上一次连续可微函数组成的集合 它按照通常函数的加 法与数乘成为线性空间 设 x x 是 a b 上的正连续函数 在C1 a b 定义二元泛函 f g b a x f x g x x f x g x dx 验证 f g 满足内积公理 并写出内积导出的范数以及Cauchy Schwartz不等式 证明 1 关于第一变元的线性性 a b C h f g C1 a b 3分 af bh g b a x af x bh x g x af x bh x g x dx a f g b h g 2 对称性 f g g f 3分 3 正定性 f f b a x f x 2 f x 2dx 0 如果 f f 0 那么有 x f x 2 x f x 2 0 由于 x x 都是正函数 则有 f x f x 0 因此 f x 0 3分 4第一章应用泛函分析历年考试题参考解答 由内积导出的范数 f f f b a x f x 2 x f x 2dx 1 2 则内积满足的不等式为 1分 b a x f x g x x f x g x dx 2 b a x f x 2 x f x 2dx b a x g x 2 x g x 2dx 四四四 计计计算算算题题题 本题有二题 共15分 1 7分 设E表示 0 1 中的所有无理数组成的集合 求极限 lim n E sin x2n xn 1 sinn2x 2 dx 要求说明每一步的理由 解 设Q表示 0 1 区间中的所有有理数组成的集合 则有m E 0 利用Lebesuge积 分的性质有 Q sin x2n xn 1 sinn2x 2 dx 0 于是 E sin x2n xn 1 sinn2x 2 dx E sin x2n xn 1 sinn2x 2 dx Q sin x2n xn 1 sinn2x 2 dx 1 0 sin x2n xn 1 sinn2x 2 dx 3分 由于 1 1 sinn2x 2 1 sin x 2n x2n 1 所以 sin x2n xn 1 sinn2x 2 xn 2分 于是 E sin x2n xn 1 sinn2x 2 dx 1 0 sin x2n xn 1 sinn2x 2 dx 1 0 xndx 1 n 所以有 lim n E sin x2n xn 1 sinn2x 2 dx 0 2分 2 8 分 已知线性算子A R3 2 R3 2 的矩阵为 00 2 0 21 300 第一节2012 2013 学年第一学期考试试题参考解答5 试求A的算子范数 A 2 解 求AHA有 AHA 00 3 0 20 210 00 2 0 21 300 900 04 2 0 25 2分 考虑特征方程 E AHA 900 0 42 02 5 9 4 5 4 9 4 2 4 4 2分 特征方程的零点为 1 9 2 9 2 17 2 3 9 2 17 2 2分 所以 r AHA 9 从而 A 2 3 2分 五五五 计计计算算算 本题共 10分 设L2 0 1 是实Banach空间 设函数f由下式给出 f x 1 1 2 x 1 10 x 1 2 在中求f 1 求函数f在P4 0 1 最佳四次最佳平方逼近 2 并求误差的平方 2 解解解 令 x t 2 1 2 t 1 1 1分 F t f t 2 1 2 1 0 t 1 1 1 t 1 但对h 1 2 b x 2 x a 2 有 K h max x a b b a k x y h y dy 1 在给定条件下T不是压缩映射 2分 对x a b 积分 T2w x T2u x b a K x s Tw s ds b a k x s Tu s ds b a k x s Tw s Tu s ds b a k x s K w u s ds K2 w u x 考虑算子 K2f K2f x b a k x y K f y dy b a k x y b y 2 2 y a 2 2 f 类似于前