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文档简介

1 第一部分 高级宏观经济学的数学基础 高级宏观经济学中许多模型用到了动态最优化理论 这一部分主要介绍动态最优 化理论的基本原理和方法 作为学习高级宏观经济学的必要准备知识 动态最优化理论主要包括变分法 最优控制论 动态规划 第一讲第一讲 变分法变分法 本讲主要介绍古典的动态最优化理论 变分法 一 动态最优化一 动态最优化的几个基本概念的几个基本概念 注 静态最优化的解是一个最优点 动态最优化的解是最优路径路径 一 动态最优化问题的基本要素 一 动态最优化问题的基本要素 2 3 三 泛函的变分 三 泛函的变分 二 泛函的极值与变分二 泛函的极值与变分法法 4 变分问题就是求泛函的极大值或极小值 求泛函极值的方法就是变分法 变分问题就是求泛函的极大值或极小值 求泛函极值的方法就是变分法 变分问题的一般形式 三 泛函极值的必要条件 一阶条件三 泛函极值的必要条件 一阶条件 欧拉方程欧拉方程 证明略 欧拉方程欧拉方程 5 5 1919 就是欧拉方程 可以看出欧拉方程是二阶微分方程 求泛函的极值就转化为 就是欧拉方程 可以看出欧拉方程是二阶微分方程 求泛函的极值就转化为 解这个二阶微分方程 它的解就是极值曲线解这个二阶微分方程 它的解就是极值曲线 x x t 利用欧拉方程解出极值曲线 利用欧拉方程解出极值曲线 也就解出了动态最优化问题 也就解出了动态最优化问题 5 注 欧拉方程的推导 欧拉方程的推导 6 四四 泛函极值的 泛函极值的充分充分条件 条件 二二阶条件 阶条件 五 例题五 例题 例 1 求极值曲线 2 2 0 12 V ytyy dt 0 0sty 2 8y 解 欧拉方程 y y dF F dt 12 y Ft 2 y Fy 2 y d Fy dt 由欧拉方程有 2 120yt 2 1 3ytc 3 12 ytctc 7 再由两个约束条件确定 3 12 0ccyt 需要说明的是 欧拉方程仅仅是一阶条件 和静态优化问题一样 一阶条 件只是说明了极值的特征 由于对本课程的学习而言 找到一阶条件就是够 了 所以我们不会涉及到二阶条件的讨论 有兴趣的同学可以参见蒋中一 动 态优化基础 此外 对于其他扩展形式下的泛函极值问题 也可参见蒋中一 动态优化 基础 以及 Kamien Sch
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