实数及其性质.ppt

一实数及其性质 问题 有理数 无理数的表示不统一 这对统一讨论实数是不利的 为以下讨论的需要 我们把 有限小数 包括整数 也表示为 无限小数 为此我们规定 实数 对于正有限小数 其中 记 对于正整数 则记 对于负有限小数 包括负整数 则先将 表示为无限小数 现在所得的小数之 前加负号 例 于是 任何实数都可用一个确定的无限小数来表示 利用上述规定 任何实数都可用一个确定的无限小数来表示 但新的问题又出现了 在此规定下 如何比较实数的大小 2实数大小的比较 定义1 给定两个非负实数 其中 为非负整数 为整数 若有 1 若 则称x与y相等 记为 2 若存在非负整数l 使得 k 0 1 2 l 而 则称x大于y 或y小于x 分别记为 或 规定任何非负实数大于任何负实数 对于负实数 x y 若按定义1有 则称 比较两个实数大小的等价条件 为非负实数 称有理数 为实数x的n位不足近似 而有理数 称为x的n位过剩近似 n 0 1 2 定义2设 对于负实数 x的n位不足近似值规定为 x的n位过剩近似值规定为 例如 则 1 4 1 41 1 414 1 4142 为 的1位 2位 3位 4位不足近似值 1 5 1 42 1 415 1 4143 为 的1位 2位 3位 4位过剩近似值 实数有如下一些主要性质 2实数集是有序的 即 任何两个实数 a b 必满足下述 3实数大小关系具有传递性 即若a b b c 则有 a c 4实数具有Achimedes性 即对任何 5实数集R具有稠密性 即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数 实数集R与数轴上的点有着一一对应关系 三个关系之一 1实数集R对加 减 乘 除 除数不为0 四则运算是封闭的 例2 证明 b a b a b a b a b a 从而必有 矛盾 这与假设 为正数且 则 令 有 则根据实数的有序性 假若结论不成立 用反证法 e e e e 二 绝对值与不等式 实数a的绝对值定义 a 0 a 几何意义 从数轴看 数 的绝对值 就是点 到原点的距离 认识到这一点非常有用 与此相应 表示就是数轴上点 与 之间的距离 性质 非负性 对任何 有 三角不等式 性质4 三角不等式 的证明 对任何 有 4 几个重要不等式 对 记 算术平均值 几何平均值 调和平均值 有均值不等式 等号当且仅当 时成立 Bernoulli不等式 在中学已用数学归纳法证明过 对 2 数集 确界 原理 一区间与邻域 无限区间 邻域 去心邻域 此外 我们还常用到以下邻域 二 有界集确界原理 定义1设S为R中的一个数集 若存在数M L 使得对一切x S 都有x M x L 则称S为有上界 下界 的数集 数M L 称为S的一个上界 下界 若数集S既有上界又有下界 则称S为有界集 若S不是有界集 则称S为无界集 若数集S有上界 显然它有无穷多个上界 而其中最小的一个上界常常具有重要的作用 称它为数集S的上确界 同样 有下界数集的最大下界 称为该数集的下确界 M M2 M1 上确界 上界 m2 m m1 下确界 下界 下面给出数集的上确界和下确界的定义 说明 上 下确界的另一精确定义 定义 设S是R中的一个数集 若数 满足以下两条 1 对一切 有 即 是数集S的上界 2 对任意 存在 使得 即 是S的最小上界 则称数 为数集S的上确界 h e h 0 x 记作 x e x S 定义 设S是R中的一个数集 若数 满足以下两条 1 对一切 有 即 是数集S的下界 2 对任意 存在 使得 即 是S的最大下界 则称数为数集S的下确界 记作 思考题 0 1 的上下确界分别等于几 0 1 中的无理数构成的集合呢 例2设S x x为区间 0 1 中的有理数 试按上下确界的定义验证 supS 1 infS 0 证 先验证supS 1 1 对一切x S 显然有x 1 即1是S的上界 2 对任何 1 若 0 则任取x0 S都有x0 若 0 则有有理数在实数集中的稠密性 在 1 中必有有理数x0 即存在x0 S 使得x0 类似地可以验证infS 0 注 1 由上 下 确界的定义可知 若数集S存在上 下 确界 则一定是唯一的 2 若数集S存在上 下确界 则有infS supS 3 数集S的确界可能属于S也可能不属于S 例3设数集S有上确界 证明 的充要条件是 证 必要性 设 则对一切x S 有 而 故是数集S中的最大数 即 充分性 设 则 下面验证 1 对一切x S 有x 则 从而满足 2 对任何 只须取 的定义 是S的上界 即 定理1 1 确界原理 设S为非空数集 若S有上界 则S必有上确界 若S有下界 则S必有下确界 证略 注意 确界原理是极限理论的基础 应很好地去理解和消化 例4设A B为非空数集 满足 对一切x A和y B有x y 证明数集A有上确界 数集B有下确界 且supA infB 由确界原理可知数集A有上确界 数集B有下确界 而此式表明数supA是数集B的一个下界 证 由假设 数集B中任一数y都是数集A的上界 数集A中任一数x都是数集B的下界 对任何y B y是数集A的一个上界 又由上确界的定义知supA是数集A的最小上界 故有supA y 由下确界的定义知 supA infB 例5设A B为非空有界数集 S A B 证明 1 supS max supA supB 2 infS min infA infB 证由于S A B 显然也是非空有界数集 因此S的上下确界都存在 1 对任何x S 有x A或x B 故x supA或x supB从而x max supA supB 故有supS max supA supB 另一方面 对任何x A 有x S 故x supS 所以su