2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的直角坐标运算学案新人教B版.docx

3.1.4空间向量的直角坐标运算学 习 目 标核 心 素 养1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示(重点)3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角(难点、易混点)通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.1空间向量的坐标表示空间直角坐标系及空间向量的坐标(1)建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i，j，k，这个基底叫做单位正交基底单位向量i，j，k都叫做坐标向量(2)空间向量的坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使aa1ia2ja3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标上式可简记作a(a1，a2，a3)思考1：若ax1e1ye2ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？提示不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是2空间向量的坐标运算空间向量a，b，其坐标形式为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量运算向量表示坐标表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)数量积aba1b1a2b2a3b33.空间向量的平行、垂直及模、夹角(1)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)则(x2x1，y2y1，z2z1)|.(2)设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，名称满足条件向量表示形式坐标表示形式abab(R)a1b1，a2b2，a3b3(R)abab0a1b1a2b2a3b30模|a|a|夹角cosa，bcosa，b思考2：若向量(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z)吗？提示不一定A点与原点重合是，不与原点重合则不是1已知向量a(3,2,5)，b(1，x，1)，且ab2，则x的值为()A3B4C5D6Cab312x5(1)2，x5.2已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，则4a2b等于()A(16,0,4) B(8，16,4)C(8,16,4) D(8,0,4)D4a2b4(3，2,1)2(2,4,0)(12，8,4)(4,8,0)(8,0,4)3已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为_60(0,3,3)，(1,1,0)，|3，|，3，cos，60.空间向量的坐标表示与运算【例1】(1)如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，E，F，G分别为棱DD，DC，BC的中点，以，为基底，求下列向量的坐标，；，.(2)已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(1,2,1)、(1,3,4)、(0，1,4)、(2，1，2)；若p，q.求p2q；3pq；(pq)(pq)解(1)，.()()，.(2)由于A(1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，1,4)，D(2，1，2)，所以p(2,1,3)，q(2,0，6)p2q(2,1,3)2(2,0，6)(2,1,3)(4,0，12)(6,1，9)；3pq3(2,1,3)(2,0，6)(6,3,9)(2,0，6)(4,3,15)；(pq)(pq)p2q2|p|2|q|2(221232)(220262)26.(1)用坐标表示空间向量的步骤(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外提醒：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用1如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAB1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标解因为PAABAD1，PA平面ABCD，ABAD，所以，是两两垂直的单位向量设e1，e2，e3，以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系Axyz.因为()()e2e3，所以.空间向量的平行与垂直探究问题1空间向量的平行与垂直与平面向量的平行与垂直有什么关系？提示(1)类比平面向量平行、垂直：空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的(2)转化：判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直2空间中三点共线的充要条件是什么？提示三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件是.简证：三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件为，即向量与向量共线，其坐标对应成比例，从而有.【例2】已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，c.求c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.思路探究先求a，b，再根据向量平行与垂直的充要条件列方程求解解(1)因为(2，1,2)，且c，所以设c(2，2)，得|c|3|3，解得1.即c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)因为a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)又因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0.即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k.故所求k的值为2或.1(变条件)若将本例(1)中“c”改为“ca且cb”，求c.解a(1,1,0)，b(1,0,2)设c(x，y，z)由题意得解得x2，y2，z1或x2，y2，z1，即c(2，2,1)或c(2,2，1)2(变条件)若将本例(2)中改为“若kab与ka2b互相垂直”求k的值解a(1,1,0)，b(1,0,2)所以kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k,4)(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0，即(k1，k，2)(k2，k,4)(k1)(k2)k280，解得k2或k.故所求k的值为2或.解决空间向量垂直、平行问题的思路(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a(x，y，z).(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知ab，则引入参数，有ab，再转化为方程组求解.(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的. 利用坐标运算解决夹角、距离问题【例3】如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点(1)求证EFB1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求FH的长思路探究根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可解(1)证明：如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，易知E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，H.，(0,1,0)(1,1,1)(1,0，1)，(1)0(1)0，即EFB1C.(2)由(1)易知(0,1,1)，|，|，0(1)，cos，即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.(3)由(1)知F，H，|.通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.提醒：建立适当的坐标系能给解题带来方便.2如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点(1)求BN的长；(2)求与夹角的余弦值解如图，以，为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，|，线段BN的长为.(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)，10(1)1223.又|，|，cos，即与夹角的余弦值为.1思考辨析(1)已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量，并且ijk，则B点的坐标为(1,1，1)()(2)向量a(2，3,1)与向量b(4,6，2)平行()(3)若向量a(1，1,2)与向量b(x,2，1)垂直，则x4.()提示(1)向量的坐标与B点的坐标不同(2)(3)2已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A1B.C.D.D由于kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)，2ab2(1,1,0)(1,0,2)(3,2，2)，因为两向量互相垂直，则有(k1)3k22(2)0，解得k.3ABC的顶点分别为A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)