指数函数的图像与性质.ppt

指数函数的图像与性质 引入 问题1 某种细胞分裂时 由1个分裂成2个 2个分裂成4个 1个这样的细胞分裂x次后 得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么 问题 21 22 23 24 研究 引入 问题2 庄子 天下篇 中写道 一尺之棰 日取其半 万世不竭 请你写出截取x次后 木棰剩余量y关于x的函数关系式 问题 研究 提炼 思考 1 为什么定义域为R 2 为什么规定底数a 且a 呢 认识 口答 判断下列函数是不是指数函数 为什么 例题 且 题后感悟 判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y ax a 0 且a 1 这一结构形式 其具备的特点为 已知指数函数的图像经过点求的值 分析 指数函数的图象经过点 故 即 解得于是有 思考 确定一个指数函数需要什么条件 想一想 例题 所以 例题 已知指数函数f x 的图象过点 2 4 求f 3 的值 在同一直角坐标系画出 的图象 并思考 两个函数的图象有什么关系 设问2 得到函数的图象一般步骤 列表 描点 连线作图 8 7 6 5 4 3 2 6 4 2 2 4 6 8 7 6 5 4 3 2 6 4 2 2 4 6 8 7 6 5 4 3 2 6 4 2 2 4 6 1 8 7 6 5 4 3 2 1 6 4 2 2 4 6 8 7 6 5 4 3 2 1 6 4 2 2 4 6 8 7 6 5 4 3 2 1 6 4 2 2 4 6 认识 分组画出下列四个函数的图象 1 y 2x 2 y 1 2 x 3 y 3x 4 y 1 3 x F 指数函数性质图象 rar 图象 性质 y x 0 y 1 0 1 y ax a 1 y x 0 1 y 1 0 y ax 0 a 1 定义域 值域 恒过点 在R上是单调 在R上是单调 a 1 0 a 1 R 0 0 1 即x 0时 y 1 增函数 减函数 指数函数的图像及性质 当x 0时 y 1 当x 0时 0 y 1 当x1 当x 0时 0 y 1 底互为倒数的两个函数图像关于y轴对称 在第一象限沿箭头方向底增大 深入探究 你还能发现指数函数图象和底数的关系吗 观察右边图象 回答下列问题 问题一 图象分别在哪几个象限 问题二 图象的上升 下降与底数a有联系吗 问题三 图象中有哪些特殊的点 答 四个图象都在第 象限 答 当底数 时图象上升 当底数 时图象下降 答 四个图象都经过点 底数a由小变大时函数图像在第一象限内按 时针方向旋转 逆 利用指数函数y ax a 0且a 1 恒过定点 0 1 的性质求解 解题过程 原函数可变形为y 3 ax 3 a 0 且a 1 将y 3看做x 3的指数函数 x 3 0时 y 3 1 即x 3 y 4 y ax 3 3 a 0 且a 1 恒过定点 3 4 答案 3 4 题后感悟 求指数型函数图象所过的定点 只要令指数为0 求出对应的x与y的值 即为函数图象所过的定点 求下列函数的定义域 应用 解 2 比较下列各题中两个值的大小 分析 1 2 利用指数函数的单调性 3 找中间量是关键 应用 函数在R上是增函数 而指数2 5 3 1 应用 解 应用 2 函数在R上是减函数 而指数 0 1 0 2 解 应用 3 解 根据指数函数的性质 得 而 从而有 比较下列各题中两个值的大小 应用 题后感悟 比较幂的大小的常用方法 1 对于底数相同 指数不同的两个幂的大小比较 可以利用指数函数的单调性来判断 2 对于底数不同 指数相同的两个幂的大小比较 可以利用指数函数图象的变化规律来判断 3 对于底数不同 且指数也不同的幂的大小比较 则应通过中间值来比较 解答本题根据指数函数的底数与图象间的关系容易判断 解题过程 方法一 在 中底数小于1且大于零 在y轴右边 底数越小 图象向下越靠近x轴 故有b a 在 中底数大于1 在y轴右边 底数越大图象向上越靠近y轴 故有d c 故选B 方法二 设直线x 1与 的图象分别交于点A B C D 则其坐标依次为 1 a 1 b 1 c 1 d 由图象观察可得c d 1 a b 故选B 答案 B 题后感悟 指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为 1 无论指数函数的底数a如何变化 指数函数y ax的图象与直线x 1相交于点 1 a 由图象可知 在y轴右侧 图象从下到上相应的底数由小变大 2 指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为 在第一象限内 底数自下而上依次增大 例2 某种放射性物质不断变化为其他物质 每经过一年剩留的这种物质变为原来的84 画出这种物质的剩留量随时间变化的图象 并从图象上求出经过多少年 剩留量是原来的一半 保留一个有效数字 解 设这种物质最初的质量是1 经过x年后 剩留量是y 经过1年 剩留量 经过2年 剩留量 一般地 经过x年 剩留量 根据这个函数关系可以列表如下 答 约经过4年 剩留量是原来的一半 1 下列函数中一定是指数函数的是 2 已知则的大小关系是 练习 C b a c 1 指数函数概念 2 指数比较大小的方法 构造函数法 要点是利用函数的单调性 数的特征是同底不同指 包括可以化为同底的 若底数是参变量要注意分类讨论 搭桥比较法 用别的数如0或1做桥 数的特征是不同底不同指 函数y ax a 0 且a 1 叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域是R 课堂小结 方法指导 利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法 记忆指数函数性质时可以联想它的图像 3 指数函数的性质 1 定义域 值域 2 函数的特殊值 3 函数的单调性 4 指数函数的图象和性质 1 图象全在x轴上方 与x轴无限接近 1 定义域为R 值域为 0 2 图象过定点 0 1 2 当x