2019_2020学年高中数学第2章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行学案北师大版.docx

4用向量讨论垂直与平行学习目标：1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系(重点)能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(重点)能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，并培养学生的运算能力(难点)1空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmabakb(kR)线面平行laa0面面平行vkv(kR)2.立体几何中垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面平面，的法向量分别为n1，n2.(1)线线垂直：lmabab0(2)线面垂直：lan1akn1(kR)(3)面面垂直：n1n2n1n20思考：用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？提示需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量的平行或垂直的关系1.判断正误(1)直线上任意两个不同的点A、B表示的向量都可作为该直线的方向向量()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行()(3)两个平面垂直则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直()答案(1)(2)(3)2若a(1，2，3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()A(0，1，2)B(3，6，9)C(1，2，3) D(3，6，8)B(3，6，9)3(1，2，3)3a，a，(3，6，9)可作平面的一个法向量3若直线l的方向向量是u(1，3，0)，平面的法向量是v(3，1，5)，则直线l与平面的位置关系为_l或luv1(3)31050，uv，l 或l.4若平面，的法向量分别为u(2，3，5)，v，则平面，的位置关系为_垂直uv2(3)(3)150.所以uv，所以，即平面，的位置关系为两平面相互垂直求平面的法向量【例1】如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一个法向量解四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，AA1AB，AA1AD，ABAD且AA1ABAD，以A为原点，分别以，为x轴，y轴和z轴建立如图空间直角坐标系设ABADAA11，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E为B1D1的中点，E.设平面A1DE的法向量n1(x1，y1，z1)，又，(0，1，1)，由n1，n1，得取z11，,则则n1(1，1，1)设平面A1B1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，由(1，0，0)，(0，1，1)，而n2，n2，所以令z21，则n2(0，1，1)利用待定系数法求法向量的解题步骤1已知平面经过三点A(1，2，3)，B(2，0，1)，C(3，2，0)，求平面的一个法向量解因为A(1，2，3)，B(2，0，1)，C(3，2，0)，所以(1，2，4)，(2，4，3)设平面的法向量为n(x，y，z)，则有即得z0，x2y，令y1，则x2，所以平面的一个法向量为n(2，1，0)利用空间向量证明平行问题【例2】已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.证明(1)建立如图所示空间直角坐标系，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以(0，2，1)，(2，0，0)，(0，2，1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1，2)因为n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因为(2，0，0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1，2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.1利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题2探索性、存在性问题：(1)存在性问题，先假设存在，根据题目条件，利用线面位置关系的向量表示建立方程或方程组，若能求出符合题意要求的值则存在，否则不存在(2)探索点的位置的题目，一般先设出符合题意要求的点，再利用题设条件建立方程求参数的值或取值范围2如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由. 解分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)设E(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0，2，1)，y(1)2(z1)0.(0，2，0)是平面PAB的法向量，又(1，y1，z)，CE平面PAB，(1，y1，z)(0，2，0)0，y1，代入得z，E是PD的中点，存在E点，当点E为PD中点时，CE平面PAB.利用空间向量证明垂直问题探究问题1你能给出用向量法坐标法证明线面垂直的步骤吗？提示(1)建立空间直角坐标系(2)将直线的方向向量用坐标表示(3)求出平面的法向量(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行2用向量法坐标法证明面面垂直时，除了用其法向量的数量积为0以外，还可以如何证明？提示可以先用向量法坐标法证明线面垂直，再借助面面垂直的判定求解【例3】如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点. 求证：AB1平面A1BD.思路探究建立平面直角坐标系，证明AB1平面A1BD.证明如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)所以(1，2，) (1，2，) (2，1，0)因为1(1)22()0，1(2)21()00，所以，即AB1BA1，AB1BD.又因为BA1BDB，所以AB1平面A1BD.1.(变条件)若本例增加条件：E，F分别是BC，BB1的中点，求证：EF平面ADE.证明建立空间直角坐标系(如图所示)，则A(0，0，)，D(1，1，0)，E(0，0，0)，F(1，1，0)，所以(0，0，)，(1，1，0)，(1，1，0)所以101000，1(1)11000.所以，即EFEA，EFED，又因为EAEDE，所以EF平面ADE.2.(变条件)把本例条件换为“如图，在四棱锥EABCD中，AB平面BCE，CD平面BCE，ABBCCE2CD2，BCE120.”求证：平面ADE平面ABE.证明取BE的中点O，连接OC，则OCEB，又AB平面BCE，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示则由已知条件有C(1，0，0)，B(0，0)，E(0，0)，D(1，0，1)，A(0，2)(0，2，2)，(1，1)，设平面ADE的法向量为n(a，b，c)，则n(a，b，c)(0，2，2)2b2c0，n(a，b，c)(1，1)abc0.令b1，则a0，c，n(0，1，)，又AB平面BCE，ABOC，OC平面ABE，平面ABE的法向量可取为m(1，0，0)nm(0，1，)(1，0，0)0，nm，平面ADE平面ABE.用向量法证明空间中垂直关系的方法(1)证明线线垂直，只需证两直线的方向向量垂直设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，则要证l1l2，只需证ab，即ab0.(2)证明线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直(3)证明面面垂直：可证两平面的法向量相互垂直1若平面，的法向量分别为u(1，2，2)，v(3，6，6)，则()ABC，相交但不垂直 D以上均错A平面，的法向量分别为u(1，2，2)，v(3，6，6)，v3u，uv，.2若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l不在平面内，则能使l的是()Aa(1，0，0)，n(2，0，0)Ba(1，3，5)，n(1，0，1)Ca(0，2，1)，n(1，0，1)Da(1，1，3)，n(0，3，1)D直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，要使l，则an，an0.只有D中有an0.3已知平面内两向量a(1，1，1)，b(0，2，1)且cmanb(4，4，1)若c为平面的法向量，则m，n的值分别为()A1，2 B1，2C1，2 D1，2Acmanb(4，4，1)(m，m，m)(0，2n，n)(4，4，1)(m4，m2n4，mn1)，由c为平面的法向量，得得4已知平面与平面垂直，若平面与平面的法向量分别为(1，0，5)，(t，5，1)，则t的值为_5平面与平面垂直，平面的法向量与平面的法向量垂直，0，即(1)t05510，解得t5.5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形