2019_2020学年高中数学第1章计数原理1.2排列讲义苏教版.docx

1.2排列学 习 目 标核 心 素 养1.理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列(重点)2掌握排列数公式及其推导方法，并能运用排列数公式进行运算或证明(重点、难点)1.借助排列数公式的推导、发展逻辑推理素养2借助排列数公式进行运算、证明、发展数学运算素养.1排列的概念一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2排列数与排列数公式排列数定义及表示从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示全排列的概念n个不同元素全部取出的一个排列阶乘的概念把n(n1)21记作n！，读作：n的阶乘排列数公式An(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，mn)阶乘式A(n，mN*，mn)特殊情况An！，A1,0！1思考1：北京上海，上海北京的车票是同一个排列吗？提示由于北京上海，上海北京的车票都与顺序有关，所以不是同一个排列思考2：你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？提示“排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数1下列问题属于排列问题的是()从10名学生中抽2名学生开会；从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表；从数字5,6,7,8中任取两个不同的数做幂运算ABCDD中无顺序；中6人担任课代表有顺序；中幂分底数和指数，存在顺序29101120可表示为()AABACADACA201918(20121)2019 189.3_.4由1,2,3这三个数字组成的三位数分别是_123,132,213,231,312,321用树形图表示为由“树形图”可知组成的三位数为123,132,213,231,312,321，共6个排列的概念【例1】判断下列问题是否为排列问题(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信思路探究判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题1解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”2判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题1判断下列问题是否是排列问题(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题(2)因为从10名同学中抽取两名去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题简单的排列问题【例2】写出下列问题的所有排列(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列思路探究(1)直接列举数字(2)先画树形图，再结合树形图写出解(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数(2)由题意作树形图，如图故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列2(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有_种机票(2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有_种不同的排列方法？(1)12(2)14(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图所以符合题意的所有排列是：BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种排列数公式的推导及应用探究问题1两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？提示从这4个数字中选出2个能构成A4312个无重复数字的两位数；若选出3个能构成A43224个无重复数字的三位数2由探究1知A4312，A43224，你能否得出A的意义和A的值？提示A的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A.由分步计数原理知完成上述填空共有n(n1)种填法，所以An(n1)3你能写出A的值吗？有什么特征？若mn呢？提示An(n1)(n2)(nm1)(m，nN*，mn)(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数；(2)全排列：当mn时，即n个不同元素全部取出的一个排列全排列数：An(n1)(n2)21n！(叫做n的阶乘)另外，我们规定0！1.所以An(n1)(n2)(nm1).【例3】(1)计算：；(2)证明：AAmA.思路探究第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第(2)题首先分析各项的关系，利用A进行变形推导解(1)法一：.法二：.(2)证明AAmmA，AAmA.排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量3求3A4A中的x.解原方程3A4A可化为，即，化简，得x219x780，解得x16，x213.由题意知解得x8.所以原方程的解为x6.1本节课的重点是排列的概念、排列数公式及其简单应用难点是排列数公式的计算与证明问题2本节课的易错点是利用排列数公式A解决问题时，易忽视条件mn，且mN*，nN*.3在画树状图时，先以安排哪个元素在首位为分类标准进行分类，在每类中，再按余下元素在前面元素不变的情况下确定第二位并按序分类，依次进行直到完成一个排列，最后把所有的排列列举出来1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列()(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题()(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题()(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题()(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题()解析(1)因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序相同(2)因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题(3)因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题(4)因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同、结果不同结果与顺序有关，故属于排列问题(5)因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题答案(1)(2)(3)(4)(5)2从5本不同的书中选出2本送给2名同学，每人一本，共有给法()A5种B10种C20种D60种C由排列数定义知，共有A5420种