备战2020年高考数学纠错笔记系列专题04三角函数文（含解析）.docx

专题04 三角函数易错点1 不能正确理解三角函数的定义角的终边落在直线y2x上，则sin的值为ABCD【错解】选C.在角的终边上取点P(1,2)，r|OP|，sin，故选C【错因分析】当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理，而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误【试题解析】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r|OP|，得sin.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(1，2)，sin.故选D【参考答案】D1定义设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是.2三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦1在平面直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，终边在射线上，则的值是A2B2CD【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，终边在射线上，设终边上的点，根据三角函数的定义可得，故选A【名师点睛】本题主要考查了三角函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值已知cost，求sin、tan的值【错解】当0t1时，为第一或第四象限角.为第一象限角时，sin，tan；为第四象限角时，sin，tan.当1t0时，为第二或第三象限角.为第二象限角时，sin，tan；为第三象限角时，sin，tan.综上，.【错因分析】上述解法注意到了的余弦值含有参数t，根据余弦函数的取值范围对t进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t1，t0，t1.【试题解析】当t1时，sin0，tan0；当1t0时，为第二或第三象限角.若为第二象限角，则sin，tan；若为第三象限角，则sin，tan.当t0时，sin1，tan不存在或sin1，tan不存在当0t0)来确定；的确定：由函数yAsin(x)k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为 (即令x0，x)确定.易错点5 注意符号对三角函数性质的影响已知函数.（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若x，求f(x)的最大值和最小值【错解】（1）由0得，x，f(x)的单调递增区间为.（2）1cos1，f(x)max2，f(x)min2.【错因分析】（1）忽略了函数f(x)的周期性；（2）忽略了x，对函数f(x)的最值的影响【试题解析】（1）f(x)2cos2cos.由2k2k得，4kx4k(kZ)故f(x)的单调增区间为4k，4k(kZ)（2）由x.当0，即x时，f(x)max2，当，即x时，f(x)min.【参考答案】（1）函数的单调递增区间为4k，4k(kZ)；（2）f(x)max2，f(x)min.1三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y=asinxbcosxk的三角函数化为y=Asin(x)k的形式，再求值域(最值)；（2）形如y=asin2xbsinxk的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；（3）形如y=asinxcosxb(sinxcosx)c的三角函数，可先设t=sinxcosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)3三角函数单调性问题的常见类型及解题策略（1）已知三角函数解析式求单调区间：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y=Asin（x）或y=Acos（x）（其中，0）的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错（2）已知三角函数的单调区间求参数：先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）：形如y=Asin（x）b或可化为y=Asin（x）b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.4三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(x)，y=Acos(x)，y=Atan(x)的形式，再分别应用公式T=，T=，T=求解（2）对于函数y=Asin（x），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f（x0）的值进行判断（3）若f（x）=Asin（x）为偶函数，则=k（kZ），同时当x=0时，f（x）取得最大或最小值若f（x）=Asin（x）为奇函数，则=k（kZ），同时当x=0时，f（x）=0.5对函数的表述错误的是A最小正周期为B函数向左平移个单位可得到C在区间上递增D点是的一个对称中心【答案】D【解析】因为,所以最小正周期为，向左平移个单位可得到,因为,所以，即单调递增，因为时，所以点不是的对称中心，综上，选D.【名师点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误已知、为三角形的两个内角，cos，sin（），则ABCD【错解】选C.0，cos，sin.又sin（），cos（）sinsin（+）sin（）coscos（）sin.又0，.【错因分析】（1）不能根据题设条件缩小、及的取值范围，在由同角基本关系式求sin（）时不能正确判断符号，产生两角（2）结论处应由cos的值确定的取值，由sin确定结论时易出现两解而造成失误【试题解析】因为0，cos，所以sin，故，又因为0，sin（），所以0或.由知，所以cos（），所以coscos（）cos（）cossin（）sin.又00,0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.五点作图法：找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象；令,令X分别取0，,求出对应的x值，列表如下：由此可得五个关键点；描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.（2）函数（A0,0）的性质：奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数. 周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间. 对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x. 利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.三、三角恒等变换1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2二倍角公式（1）：（2）：（3）：公式的常用变形：（1）；（2）降幂公式：；（3）升幂公式：；（4）辅助角公式：，其中，3半角公式（1）（2）（3）此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：四、正、余弦定理及解三角形1正弦定理（1）内容：在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立（2）常见变形：正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径.1正弦定理解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角2在中，已知，和时，三角形解的情况2余弦定理（1）内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即（2）从余弦定理，可以得到它的推论：.1余弦定理解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2利用余弦定理解三角形的步骤3三角形的面积公式设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1） (h为BC边上的高)；（2）；（3）(为三角形的内切圆半径)1【2019年高考全国卷文数】tan255=A2B2+C2D2+【答案】D【解析】=故选D.【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查2【2019年高考全国卷文数】已知a（0，），2sin2=cos2+1，则sin=ABCD【答案】B【解析】，又，又，故选B【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案3【2019年高考全国卷文数】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB=4csinC，cosA=，则=A6B5C4D3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用先利用余弦定理推论得出a，b，c关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.4的内角的对边分别为，若的面积为，则ABCD【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，得，因为，所以，故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.5【2019年高考全国卷文数】函数f(x)=在的图像大致为ABCD【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A又，排除B，C，故选D【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案6【2019年高考全国卷文数】函数在0，2的零点个数为A2 B3 C4D5【答案】B【解析】由，得或，在的零点个数是3，故选B【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.7在中，角A，B，C的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是ABCD【答案】A【解析】由题意知，所以，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.8已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则ABCD【答案】B【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，所以，因此.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果.9设为锐角，若cos（），则sin的值为ABCD【答案】B 【解析】因为为锐角，且，所以，所以，故选B.10已知函数的相邻对称轴之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数的图象，则ABCD【答案】C【解析】由函数的相邻对称轴之间的距离为，得，即，所以，解得，将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，故选C【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型解答本题时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果11已知函数，的部分图象如图所示，则使成立的的最小正值为ABCD【答案】B【解析】由图象易知，即，且，即，由图可知，所以，即，又由图可知，周期，且，所以由五点作图法可知，所以函数，因为，所以函数关于对称，即有，所以可得，所以的最小正值为.故选B.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出，可得函数的解析式，再由易知的图象关于对称，即可求得a的值.12在中，角的对边分别为，若，则ABCD【答案】D【解析】由正弦定理角化边可得：，且，结合余弦定理有：，则，利用两角和的余弦公式可得：.本题选择D选项. 13已知，则_【答案】【解析】因为，所以，因此【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.14已知，且，则_【答案】【解析】由题意有，得，由，有，得，则.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式，合理化简，求得，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.由题意，根据三角函数的基本关系式，化简得，进而可得，代入即可求解.15已知函数的部分图象如下图所示，将的图象向左平移个单位长度，得到函数，则的单调递减区间为_.【答案】【解析】由函数的图象可得，又根据“五点法”可得，由函数图象的平移可得，当，即时，函数单调递增，函数单调递减，函数的单调递减区间为故答案为【名师点睛】先根据图象求出函数的解析式，然后再根据图象的平移得到函数的解析式，最后根据所给区间得到所求（1）已知函数的图象求解析式时，其中可由图象直接得到，由图象得到函数的周期后可得的值，的求法有两种，一是根据代点法求解，二是根据“五点法”求解（2）研究函数的性质时，常把看作一个整体后结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意的符号对结果的影响16【2019年高考全国卷文数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bsinA+acosB=0，则B=_.【答案】【解析】由正弦定理，得，即，【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取定理法，利用转化与化归思想解题本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角17【2019年高考全国卷文数】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围【答案】（1）B=60；（2）.【解析】（1）由题设及正弦定理得因为sinA0，所以由，可得，故因为，故，因此B=60（2）由题设及（1）知ABC的面积由正弦定理得由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90，由（1）知A+C=120，所以30C90，故，从而因此，ABC面积的取值范围是【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.18已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）（1）求sin（+）的值；（2）若角满足sin（+）=，求cos的值【解析】（1）由角的终边过点得，所以.（2）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.19已知为锐角，（1）求的值；（2）求的值【解析】（1）因为，所以因为，所以，因此，（2）因为为锐角，所以又因为，所以，因此因为，所以，因此，【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般有如下两种思路：适当变换已知式，进而求得待求式的值；变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，