2019_2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质练习（含解析）新人教A版选修.docx

2.3.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若实数k满足0k9,则曲线x225-y29-k=1与曲线x225-k-y29=1的()A.焦距相同B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等解析由于0k0,即曲线x225-y29-k=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(34-k,0);25-k0,即曲线x225-k-y29=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(34-k,0),故两曲线的焦距相同,故答案为A.答案A2.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=22x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y24=1B.x25-y24=1C.x24-y22=1D.x26-y23=1解析由椭圆x212+y23=1的焦点为(3,0),可得双曲线的c=3,即a2+b2=9,由双曲线的渐近线方程为y=bax,可得ba=22,解得a2=6,b2=3,则双曲线的方程为x26-y23=1.故选D.答案D3.下列双曲线中,不是以2x3y=0为渐近线的是()A.x29-y24=1B.y24-x29=1C.x24-y29=1D.y212-x227=1解析C项中的双曲线x24-y29=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=32x,不是2x3y=0.答案C4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x25-y220=1B.x220-y25=1C.3x225-3y2100=1D.3x2100-3y225=1解析由题意知,双曲线的渐近线为y=bax,则ba=2.因为双曲线的左焦点(-c,0)在直线l上,所以0=-2c+10,故c=5.又因为a2+b2=c2,所以a2=5,b2=20,故双曲线的方程为x25-y220=1.答案A5.两正数a,b的等差中项为52,等比中项为6,且ab,则双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e为()A.13B.53C.53D.133解析因为两正数a,b的等差中项为52,等比中项为6,所以a+b=5,ab=6,解得a=3,b=2或a=2,b=3,因为ab,所以a=3,b=2,所以e=ca=a2+b2a2=133.故选D.答案D6.双曲线x24-y212=1的焦点到渐近线的距离为.解析双曲线x24-y212=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),渐近线方程为y=3x,故焦点(4,0)到渐近线y=3x的距离d=433+1=23.答案237.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2m-y2m2+4=1的离心率为5,则m的值为.解析由题意得m0,所以a=m,b=m2+4,c=m2+m+4.由e=ca=5,得m2+m+4m=5,解得m=2.答案28.若一条双曲线与x28-y2=1有共同渐近线,且与椭圆x220+y22=1有相同的焦点,则此双曲线的方程为.解析由椭圆方程为x220+y22=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=32,即椭圆的半焦距为32,设与双曲线x28-y2=1有相同渐近线的双曲线方程为x28-y2=(0),所求双曲线的焦点在x轴上,则0,双曲线方程化为x28-y2=1,根据椭圆和双曲线共焦点,所以有8+=18,解得=2,故所求双曲线的方程为x216-y22=1.答案x216-y22=19.双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,试求双曲线方程与椭圆的方程.解由共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆方程为y2a2+x2a2-25=1(a225),双曲线方程为y2b2-x225-b2=1(0b20,b0),离心率e=52,顶点到渐近线的距离为255,求双曲线C的方程.解依题意,双曲线焦点在y轴上,一个顶点坐标为(0,a),渐近线方程为y=abx,即axby=0,所以aba2+b2=abc=255.又e=ca=52,所以b=1,即c2-a2=1,52a2-a2=1,解得a2=4,故双曲线方程为y24-x2=1.能力提升1.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为3,则C的焦距等于()A.2B.22C.4D.42解析双曲线的一条渐近线方程为xa-yb=0,即bx-ay=0,焦点(c,0)到渐近线的距离为bca2+b2=bcc=3,所以b=3.又ca=2,c2=a2+b2,所以c=2,故双曲线的焦距为2c=4.答案C2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:x+3y+25=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x22-y218=1B.x218-y22=1C.x220-y25=1D.x225-y2100=1解析因为双曲线的渐近线为y=bax,其中一条渐近线与直线l平行,则有-ba=-13,所以a2=9b2,又因为双曲线的焦点在x轴上,而其中一个焦点在直线l上,则直线l与x轴焦点(-25,0)为双曲线焦点,即c=25,又因为c2=a2+b2,得20=10b2,则b2=2,a2=18,所以双曲线方程为x218-y22=1,答案为B.答案B3.若在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+)B.(1,2)C.(2,+)D.(1,2)解析到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=c2.依题意,在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,所以直线x=c2与右支有两个交点,故应满足c2a,即ca2,得e2,故选C.答案C4.已知双曲线y2a2-x2b2=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为.解析依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c.因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=34b,于是双曲线渐近线方程为y=abx=34x.答案y=34x5.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(5,0),则双曲线的方程为.解析由题意得c=5,ba=2,c2=a2+b2,解得a=1,b=2.则双曲线的方程为x2-y24=1.答案x2-y24=16.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于.解析令x=-c,得y2=b4a2,则|MN|=2b2a.由题意得a+c=b2a,即a2+ac=c2-a2,ca2-ca-2=0,ca=2或ca=-1(舍去),即离心率为2.答案27.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=53;(2)经过点C(-3,2),且与双曲线x28-y216=1有共同的渐近线.解(1)设所求双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),则2b=8,e=ca=53,从而b=4,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为y29-x216=1.(2)由题意可设所求双曲线方程为x28-y216=(0),将点C(-3,2)的坐标代入,得38-216=,解得=14,所以所求双曲线的标准方程为x22-y24=1.8.已知双曲线与椭圆x225+y29=1有相同焦点,且经过点(4,6).(1)求双曲线方程;(2)若双曲线的左右焦点分别是F1,F2,试问在双曲线上是否存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.解(1)椭圆x225+y29=1的焦点在x轴上,且c=25-9=4,即焦点为(4,0),于是可设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则有a2+b2=16,16a2-36b2=1,解得a2=4,b2=12,故双曲线方程为x24-y212=1.(2)假