梁的应力计算.ppt

第六章梁的应力 6 2梁的正应力强度条件及其应用 6 3梁的合理截面形状及变截面梁 工程上提高弯曲强度的一些措施 6 4矩形截面梁的切应力 6 6梁的切应力强度条件 6 1梁的正应力 纯弯曲 回顾与比较 内力 应力 6 1 纯弯曲 梁的正应力 纯弯曲 梁段CD上 只有弯矩 没有剪力 纯弯曲 梁段AC和BD上 既有弯矩 又有剪力 横力弯曲 目录 6 1 纯弯曲 梁的正应力 一 几何方面 平面假设 横截面变形后保持为平面 且仍然垂直于变形后的梁轴线 只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度 6 1 纯弯曲 梁的正应力 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长度不变 中性层 中性层与横截面的交线 中性轴 目录 设想梁是由无数层纵向纤维组成 6 1 纯弯曲 梁的正应力 胡克定理 建立坐标 二 物理方面 6 1 6 2 6 1 纯弯曲 梁的正应力 离中性层越远 线应变越大 曲率1 弯曲程度 越大 同一位置线应变越大 三 静力学方面 6 5 FN My Mz 6 1 纯弯曲 梁的正应力 EIZ 弯曲刚度 正应力公式 变形几何关系 物理关系 静力学关系 为梁弯曲变形后的曲率 为曲率半径 6 1 纯弯曲 梁的正应力 6 6 正应力分布 与中性轴距离相等的点 正应力相等 正应力大小与其到中性轴距离成正比 中性轴上 正应力等于零 6 1 纯弯曲 梁的正应力 常见截面的IZ和WZ 圆截面 矩形截面 空心圆截面 空心矩形截面 6 1 纯弯曲 梁的正应力 弹性力学精确分析表明 当跨度l与横截面高度h之比l h 5 细长梁 时 纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立 横力弯曲 6 1 纯弯曲 梁的正应力 横力弯曲正应力公式 横力弯曲最大正应力 6 1梁的正应力 细长梁的纯弯曲或横力弯曲 横截面惯性积IYZ 0 弹性变形阶段 公式适用范围 例6 1 6 1梁的正应力 长为l的矩形截面梁 在自由端作用一集中力F 已知 h 0 18m b 0 12m y 0 06m a 2m F 1 5kN 试求C截面上K点的正应力 解 先算出C截面上的弯矩 截面对中性轴 水平对称轴 的惯性矩为 例6 1 6 1梁的正应力 长为l的矩形截面梁 在自由端作用一集中力F 已知 h 0 18m b 0 12m y 0 06m a 2m F 1 5kN 试求C截面上K点的正应力 根据公式 代入公式时 不考虑正负号 C截面弯矩为负 K点位于中性轴上面 所以K点应力为拉应力 弯曲正应力强度条件 1 等截面梁弯矩最大的截面上 2 离中性轴最远处 4 脆性材料抗拉和抗压性能不同 两方面都要考虑 3 变截面梁要综合考虑与 6 2梁的正应力强度条件及其应用 根据弯曲正应力强度条件 1 强度校核 2 选择截面 3 计算梁所能承载的最大荷载 6 2梁的正应力强度条件及其应用 210 140 1 求支反力 解 例题6 2 6 2梁的正应力强度条件及其应用 10MPa 试校核该梁的强度 2 求最大弯矩 最大正应力为 满足强度要求 例题6 4 6 2梁的正应力强度条件及其应用 简支梁上作用两个集中力 已知l 6m F1 15kN F2 21kN 如果梁采用热轧普通工字钢 钢的许用应力 170MPa 试选择工字钢的型号 解 先画出弯矩图 最大弯矩发生在F2作用截面上 其值为38kN m 根据强度条件 梁所需的弯曲截面系数为 例题6 4 6 2梁的正应力强度条件及其应用 根据算得的WZ值 在附录型钢表上查出与该值相近的型号 就是我们所需的型号 注意 选择的工字钢型号WZ值一般要求 计算值 才能满足强度要求 附录A 附表4 P232页 查出20a钢相近WZ值237cm3 故选择20a号工字钢 如选取的工字钢WZ值略小于计算值 则应再校核下强度 当 max不超过 的5 时 还是满足工程需要的 6 2梁的正应力强度条件及其应用 例题6 5一 形截面的外伸梁如图所示 已知l 600mm a 40mm b 30mm c 80mm F1 24kN F2 9kN 材料的许用应力 t 30MPa 许用压应力 c 90MPa 试校核梁的强度 解 先画出弯矩图 需算出形心C的位置及截面对中性轴的惯性矩 算得结果为 6 2梁的正应力强度条件及其应用 因材料的抗拉与抗压性能不同 截面对中性轴又不对称 所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核 1 校核最大拉应力 由于截面对中性轴不对称 而正负弯矩都存在 因此 最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的截面上 应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的拉应力进行分析比较 6 2梁的正应力强度条件及其应用 在最大正弯矩的C截面上 最大拉应力发生在截面的下边缘 其值为 在最大负弯矩的B截面上 最大拉应力发生在截面的上边缘 其值为 6 2梁的正应力强度条件及其应用 在上面两式中 MC MB而y2 y1 应比较MCy2与MBy1 C B 因MCy2 MBy1 所以最大拉应力发生在B截面上 即 满足强度要求 6 2梁的正应力强度条件及其应用 2 校核最大压应力 与分析最大拉应力一样 要比较C B两个截面 C截面上最大压应力发生在上边缘 因MC y1分别大于MB y2 所以最大压应力一定发生在C截面上 即 满足强度要求 设计梁原则 强度条件 6 3变截面梁形状及变截面梁 满足强度条件 经济性 尽量节省材料 需要选择合理的截面形状和尺寸 单从强度来看 WZ越大越合理 一 截面的合理形状 WZ和截面形状和尺寸有关 在截面面积相同的情况下分析矩形 方形 圆形截面形状的合理性 6 3变截面梁形状及变截面梁 圆截面 矩形截面 方形截面b h a 1 先比较矩形和正方形 矩形截面更合理 6 3变截面梁形状及变截面梁 2 再比较正方形和圆形 面积相等 代入 正方形截面比圆形截面合理 说明在面积相等情况下 矩形 方形 圆形 由此推断 工字型截面优于矩形截面 6 3变截面梁形状及变截面梁 换个角度思考 WZ值与截面高度和面积分布有关 截面高度越大 面积分布离中性轴越远的话 WZ值就越大 这也是工字型形梁更合理的主要原因之一 从应力角度分析 6 3变截面梁形状及变截面梁 二 变截面梁 变截面梁 横截面沿梁轴线变化的梁 等强度梁 梁强度沿轴线均匀分布 6 3变截面梁形状及变截面梁 当荷载比较复杂时 等强度梁难以加工 增加了加工制造成本 一般很少采用等强度梁 6 3变截面梁形状及变截面梁 6 4矩形截面梁的切应力 分几种截面形状讨论弯曲切应力 一 矩形截面梁切应力 1 横截面上各点的切应力方向平行于剪力 2 切应力沿截面宽度均匀分布 关于切应力的分布作两点假设 6 4矩形截面梁的切应力 一 矩形截面梁 切应力计算公式 6 11 式中 FS 横截面上的剪力 IZ 截面对中性轴的惯性矩 b 截面的宽度 SZ 为面积A 对中性轴的静矩 A 是过欲求应力点的水平线到截面边缘间的面积 K FS SZ均代绝对值 切应力方向依剪力方向确定 6 4矩形截面梁的切应力 二 矩形截面梁切应力分布 公式中 对某一截面来说 FS IZ b均为常数 只有静矩是变量 6 4矩形截面梁的切应力 二 矩形截面梁切应力分布 抛物线 当y h 2 0 当y 0 max 中性轴上切应力最大 上下边缘为0 和正应力相反 6 4矩形截面梁的切应力 二 矩形截面梁切应力分布 矩形截面上最大切应力为平均切应力的1 5倍 6 4矩形截面梁的切应力 例6 6矩形截面简支梁如图所示 已知 l 3m h 160mm b 100mm h1 40mm F 3kN 试求m m截面上K点的切应力 解 首先求得m m截面上的剪力为3kN 截面的惯性矩及面积A 对中性轴的静矩分别为 6 4矩形截面梁的切应力 例6 6矩形截面简支梁如图所示 已知 l 3m h 160mm b 100mm h1 40mm F 3kN 试求m m截面上K点的切应力 K点的切应力为 6 6梁的切应力强度条件 如前所述 对某一横截面来说 最大切应力发生在中性轴上 最大值为 对全梁来说 最大切应力发生在剪力最大的截面上 即 强度条件为 对梁校核时 要同时满足正应力 切应力强度条件 二者有主次 一般以正应力强度设计为主 选好截面后再通过切应力条件校核 6 6梁的切应力强度条件 解 分别检查正应力和切应力 最大正应力 最大切应力分别发生在最大弯矩与最大剪力的截面上 WZ b及SZ max均可在型钢表中查得 P232 例6 8一外伸工字形钢梁 工字钢的型号为22a 梁上荷载如图所示 已知 l 6m F 30kN q 6kN m 材料的许用应力 170MPa 100MPa 试检查此梁是否安全 从附表4中查得 6 6梁的切应力强度条件 最大正应力为 最大切应力为 所以梁安全 剪力图 弯矩图如右所示 6 6梁的切应力强度条件 例6 9为使一矩形截面的简支梁AB能承受较大的集中力F 在AB梁的对称位置上加一小梁CD 已知 l