电气检测技术

1 二 测量仪器仪表误差的表示方法 仪器仪表重要的质量指标的表示 基本误差 附加误差1 基本误差 定义 仪器仪表在标准使用条件下使用时所产生的误差 标准条件 仪器仪表在标定刻度时所保持的工作条件 相对误差解决了同类与不同类仪器仪表的比较问题 绝对误差相同时 相对误差随被测物理量x的增加而减小 在整个测量范围内 相对误差不是一个定值 因此相对误差不能用于评价仪器仪表的精确度 也不便于用来划分仪器仪表的精度等级 这儿提出满度相对误差 也称为引用误差 的概念 2 满度相对误差 引用误差 定义 绝对误差与测量范围上限值或量程满度值的比值 即 最大引用误差 仪器仪表的精度等级的定义方法 最大绝对误差与量程满度值的比值 其表达式为 最大引用误差是仪表在标准使用条件下不应超过的最大误差 仪表的刻度线上各处都可能出现 从最大误差出发 在没有修正值的情况下 认为在整个量程范围内各处示值的最大误差是常数 3 仪器仪表的等级S 仪器仪表的等级分为 0 1 0 2 0 5 1 0 1 5 2 5 5 0共七级 其基本误差以最大引用误差计算 分别为 0 1 0 2 0 5 1 0 1 5 2 5 5 0 精度等级值通常用S来表示 注 当计算得到的与仪表的精度等级的分档不等时 应取比稍大的精度等级值 S 1 说明该测量仪表的最大引用误差不超过 1 0 例 检定一台量程Am 5A 精度等级S 1 5的电流表 在被测量电流值Ax 2A处 其最大误差 Am 0 1A 问此电流表精度是否合格 4 例如 量程为0 1000V的数字电压表 如果其整个量程中最大绝对误差为1 05V 则有 则该数字电压表精度等级为0 2级 5 仪器仪表的基本误差也经常遇到同时应用相对误差和绝对误差来表示的情况 例如电位差计的基本误差经常表示成如下这种形式 其中 Ux为测量示值 表示这一项是根据示值相对误差计算出来的测量数据的绝对误差 第二项表示为测量仪表在量程内的最大绝对误差 为仪表的固有项 6 2 附加误差 当仪表在使用中偏离了标准工作条件 除了基本误差外 还会产生附加差 附加误差也用百分数表示 例如 某仪表规定使用时电源电压为 220 5 V 当电源电压超出 220 5 V 那么此时使用该仪表进行测量时则会产生电压附加误差 此外 温度附加误差 频率附加误差 湿度附加误差 振动附加误差等等 在使用仪表时 附加误差和基本误差要合理综合 再估计出测量的总误差 7 三 数字仪表误差的表示方法 1 2 是用示值相对误差表示的误差 与读数成正比 称为读数误差 随测量值的变化而变化 它与仪表各单元电路的不稳定性有关 不随读数变化 只与测量仪表的量程有关 量程一定时 它是个固定值 称为满度误差 它包括量化误差和零点误差等 满度误差与所取量程有关 故常常用正负几个字来表示 8 四 一次直接测量时最大误差的估计 假设在只有基本误差的情况下 此时测量仪表的最大绝对误差为 与测量示值x之比 即为最大示值相对误差 记为当仪器仪表的精度等级已知时 示值x愈接近满度值xm 测量值的精度愈高 在使用正向刻度的模拟式仪表时 应尽量使指示值x靠近满度值xm 至少应在2 3左右 在选择仪表量程时 应该使其满度值尽量接近被测量的数值 至少不应比被测量值大得太多 9 例 测量一个约80V的电压 现有二块电压表 一块量程为300V 精度等级为s 0 5级 另一块量程100V 精度等级为s 1 0级 问选用哪一块电压表进行测量为好 结论 在选取测量仪表时 要合理选择仪器仪表的量程及其精度等级 不能单纯追求仪器仪表的精度等级 注 对正向刻度仪表 应尽量使被测物理量位置的值接近满度值 对反向刻度的仪表 如测量电阻的欧姆表或万用表的欧姆档 尽可能使被测电阻Rx的阻值在刻度线的中间位置附近 此时Rc称为中值电阻 Rx Rc 它等于欧姆表在该量程时内部的总电阻 这样测量的相对误差最小 10 2 3随机误差的基本概念 一 测量值的算术平均值与数学期望设对被测物理量进行n次等精密度测量 测得值为 这里xi是随机变量 又测量数据的算术平均值为 样本平均值当测量次数时 算术平均值的极限被称为是测量值的数学期望 记为 也称为测量数据的总体平均值 11 随机误差反映了仪表的精密度 表明各次测量值之间的分散程度 故随机误差定义为各次测量值与总体平均值的差 如下式 系统误差反映了仪表的准确度 表明测量值与实际值之间的偏差程度 所以系统误差为 又绝对误差是测量示值与真值之差 即 测量数据的绝对误差等于随机误差与系统误差的代数和 12 因 故 有即消除了系统误差后 随机误差等于绝对误差 则随机误差的算术平均值为 若系统误差和粗大误差均为零 则 13 结论 1 当测量次数时 随机误差的算术平均值等于零 也即随机误差的数学期望等于零 2 对有限次的等精密测量 当测量的次数足够多时 可近似地认为有 即 可见 在仅有随机误差的情况下 当测量的次数足够多时 测量值的算术平均值接近于真值 3 在实际测量中 当采用一些措施基本消除了系统误差 又剔除了粗大误差后 虽然有随机误差的存在 仍然可以用多次测量的平均值作为最后的测量结果 14 每次的测量值与算术平均值的差值 称为剩余误差 剩余误差又叫残差 记为 对残差求代数和 得到 当测量次数足够多时 残差的代数和为零 因此可以利用此性质来检验所计算的算术平均值是否正确 剩余误差 15 方差 表明测量数据的分散程度 定义 当测量次数时 测量值与数学期望值之差的平方的算术平均值 即 在系统误差和粗大误差为零的情况下 随机误差所以可以得到方差为 式中是测量值数列的方差 为测量值数列的标准差 二 方差与标准差 16 多数情况下 测量中的随机误差的分布以及在影响下的所测得的测量数据的分布大多数服从正态分布 测量数据的随机误差的概率密度分布曲线如图1 可见 一旦标准差确定 其分布曲线就是随机误差的单值函数 图2给出了标准差不同的三条正态分布曲线 图1图2 17 三 贝塞尔公式 标准差是在测量次数的条件下得到的 而实际测量的次数是有限的 因此 当测量次数有限时 可以用剩余误差来表示标准差 同时用标准差的估计值来替代标准差 可得到下面的标准差的修正公式 该式为贝塞尔公式 公式中 n 1 项被称为自由度 当n 1时 即只进行一次测量时 标准差的估计值不定 所以 一次测量的数据是不可靠的 18 四 算术平均值的标准差 在有限次的等精密度测量中 一般以算术平均值作为最后的测量结果 如果在相同条件下对同一被测物理量作k组 每一组重复n次测量 每一组的数据列都有一个算术平均值 由于随机误差的存在 这些算术平均值并不完全相同 而是围绕着真值A0有一定的分散性 这就说明了算术平均值还存在着误差 19 算术平均值的标准差 当需要更精密处理时 可用算术平均值的标准差来评定测量结果的分散性 根据算术平均值的标准差的定义 可得到 在进行有限次数的测量时 上式不为0 由前述内容可得到算术平均值的标准差为 20 注 1 上述结论是以每组测量数据的标准差都相等提出 2 算术平均值的标准差随测量次数n的增加而减小 即测量次数越多 测量结果的精密度也愈高 3 与成反比 故精密度的提高 随着测量次数n的增加而越来越慢 4 实际测量中 一般取n在10 20次左右即可 5 要提高测量结果的精密度 不能单纯靠增加测量次数 而应该在增加测量次数的同时 减小标准差 这就意味着要改善测量方法 采用精度较高的仪器仪表 才能进一步提高测量的精密度 21 小结 这一节中 主要给出了有关随机误差进行统计测量的几个重要概念 这些概念在随机误差数据的处理 以及对粗大误差数据的判断处理中 起着重要的作用 22 2 4粗大误差的判断准则 由于随机误差的影响 测量值偏离数学期望的多少和方向是随机的 但是 随机误差的绝对值不会超过一定的界限 这个界限的确定也界定了一个测量数据是否是一个有用的测量数据 并决定了对这些个测量数据的取舍情况 在本节中就对这种情况进行分析 23 一 随机误差的概率分布密度 一般而言 测量数据的随机误差符合正态分布曲线 前提是测量次数 分布曲线如图所示 由概率论的知识可以知道 全部的随机误差出现的概率为 1 设随机误差的标准差为 则可以得到 对于服从正态分布的随机误差 其随机误差大小不超出2的概率为95 44 不超出3的概率为99 73 24 二 不确定度与坏值的剔除 在概率区间99 73 内 在370个随机误差中 仅有一个误差大于 在实际测量中 可以认为大于的误差出现的可能性极小 所以通常把大于的误差称为极限误差或随机不确定度 在进行有限次测量时 随机不确定度用估计值用标准差的估计值来表示 这个数值说明 测量结果在数学期望附近某一确定范围内的可能性有多大 即由测量值的分散程度来决定 所以用标准差的若干倍来表示 25 莱特准则 测量次数较多时采用 根据上述理由 在有限次的测量中 获得n个测量结果为 如果在这n个测量数据中出现大于的剩余误差 可以认为该次测量结果是坏值 应予剔除 即当测量结果所得剩余误差满足下式时 该剩余误差对应所对应的测量结果是坏值 应予剔除 26 格拉布斯准则 测量次数较少时采用 在等精密度测量数据中 若有剩余误差的绝对值满足下式 则认为与该相对应的测量数据是坏值 应予剔除 式中G是格拉布斯系数 见教材P34表2 4格拉布斯系数表 27 在测量过程中 对于所获得的测量数据 根据莱特准则 测量次数较多时 20 或格拉布斯准则 测量次数较少时 来进行判断 当测量数据的剩余误差满足莱特准则 测量次数较多时 或格拉布斯准则 测量次数较少时 时 认为这些测量数据的误差在测量过程中由于疏失造成的测量误差 这些数据应当应当被剔除 这些测量数据也被称为坏值 剔除坏值后 对剩下的测量数据重新计算算术平均值和标准差的估计值 重新再作判断 直到测量数据中无坏值为止 此时剩下的的测量数据系列才被认为是最后的测量结果 28 2 5系统误差及其减小的方法 测量数据的绝对误差是系统误差与随机误差的代数和 即 此式说明测量结果的精确度不仅取决于随机误差 也取决于系统误差 29 一 系统误差的分类 按照系统误差变化的特征 系统误差分成 恒值系统误差与变值系统误差 1 恒值系统误差在测量所获得的数据中 恒值系统误差的大小和符号是固定不变的 例如 仪器的基本误差 仪器的零点偏移等均属于恒值系统误差 30 2 变值系统误差 变值系统误差是按照一定规律变化的系统误差 根据变化规律的不同 又可以分成下面几种系统误差 1 线性系统误差测量过程中 误差的数值随着时间线性的增加或减小 图b 2 周期性变化系统误差在测量过程中误差值作周期性变化 图c 3 复杂变化的系统误差由几个因素共同引起 变化规律复杂 图d 31 二 系统误差的判断 1 实验对比法通过改变测量条件 测量仪表或测量方法进行重复测量 然后将试验结果进行对比 从而发现系统误差 例 先用一般精度的仪表测量某参数 结果可能存在系统误差 再用精度等级高的仪表来进行测量 两次结果比较后 就会发现前一次的测量存在系统误差 这种测量方法用于发现恒值误差 2 剩余误差观察法用仪表对被测量进行一系列等精密度测量 获得示值然后求这些测量结果的算术平均值 并求出各个示值的剩余误差 然后将剩余误差制成表格或者画成曲线 从而判断有无系统误差 一般有四种情形 如下图 32 abcda 剩余误差大体正负相同 无明显变化规律 不存在系统误差 b 剩余误差有规律的递增或递减 存在线性变化的系统误差 c 剩余误差呈周期性变化 存在周期性系统误差 d 剩余误差同时具有线性变化与周期性变化 存在复杂变化的系统误差 可见 剩余误差观察法主要用于判断变值误差 33 3 马利科夫判据 马利科夫判据用于发现是否存在线性的系统误差 当测量次数n为偶数时当测量次数n为奇数时 与剩余误差vi进行比较 如果满足 则认为不存在线性系统误差 如果满足 则认为存在线性系统误差 上式中 vim是剩余误差序列中的最大剩余误差 即 34 4 阿卑 赫梅特判据 判断是否存在周期性系统误差 将测量数据xi按测量时间先后排列好 分别求出各测量数据的剩余误差 依次两两相乘 然后求绝对值 最后用求得的绝对值与用该序列测量数据按贝塞尔公式求出的标准差的估计值进行比较 如满足 则认为测量数据中存在周期性系差 否则不存在周期性系差 35 结论 经过上述的一序列方法对数据进行判断后 如果认为在测量数据中存在变值系统误差 原则上这些测量数据应舍去不用 但是若其最大剩余误差明显小于测量所允许的误差范围 技术指标 或者仪器基本误差 那么 这些测量数据也可以考虑使用 36 三 减小系统误差的方法 对于一个被测物理量 善于找出其产生系统误差的原因并采取有效措施来减小系统误差是极其重要的 减小系统误差的方法与测量对象 测量方法仪器仪表的选择都有密切关系 37 1 从产生系统误差的原因来采取措施 首先要研究被测对象的特点 选择适当的测量方法 测量仪表 或者说设计合理的测量电路 所选用仪表的精度等级和量程上限 测量环境是否符合仪表的标准工作条件 必要的时候 可以采取稳压 恒温 屏蔽等措施 总之 一句话就是在测量工作开始前 尽量消除误差产生的根源 从而减小系统误差的影响 38 2 定期校正减小缓变误差 缓变误差随时间平稳变化 例如仪表的零点和灵敏度过一段时间后可能会发生变化 如图所示 曲线1为仪表原来的输出输入特性 曲线2为有零点漂移的输出输入特性曲线 39 3 用加修正值减小系差 利用修正值C与仪表示值x相加得到被测物理量的实际值A 即此时得到的实际值基本上不包含系统误差 不过由于修正值C本身还有误差 故这种方法只适用于工程测量 40 4 零位法 由零位法进行电动势测量时 得到有如下的电动势计算式 41 5 微差法用已知的标准量N与待测量x进行比较 得微差 然后用高灵敏度指示仪表测量所得到的微差 从而得到被测物理量 例 P28 设标准电压Un 25V 精度等级s 0 1级 已知微差 U 0 5V 用Um 1 0V 精度等级s 1 5级的电压表测量 U 求测量Ux的相对误差 42 6 替代法在测量过程中 将被测物理量以等值的标准量来替换 替代时 要使测量仪器 测量电路 的工作状态不变 这样就会消除由测量仪器产生的恒值系差 下图是用等量替代法在电桥上测量电阻的电路 43 2 6测量数据的处理测量数据的处理是指从原始的测量数据中经过加工 整理求出被测物理量的最佳估计值 并计算其精确度 44 一 测量数据的舍入法则测量技术中规定 小于5舍 大于5入 等于5采取偶数法则 当测量数据需保留n位时 对第n 1位数据的处理是 1 若该位小于5 则舍去 若大于5 则第n位加1 2 若第n 1位等于5 则将第n位凑成偶数 也即当第n位为奇数时 则第n位加1 第n位为偶数时 第n位不变 每一个数据经舍入后 最后一位是欠准数字 其舍入误差不会大于末位单位的一半 这也是最大舍入误差 45 在一个测量数据中 从第一个非零数 到最后一位为止都叫有效数字的位数 其中0是个特殊的值 位置的不同 意义也不同 例 0 27是两位有效数字 0 270是三位有效数字 二 有效数字的位数 46 三 有效数字的运算规则数据处理中 常常需要对一些精度不等的数据进行运算 为简单起见 可先将参加运算的各个数 以精度最差的一个为基准进行舍入处理 计算结果也按精度最差那个数字作舍入处理 47 四 有效数字位数的确定确定有效数字位数的标准是误差 测量结果有效数字位数处理原则 由测量精确度来确定有效数据的位数 但允许保留一位欠准数据 与误差的大小相对应 然后根据舍入法则将有效位以后的数据舍去 即测量结果的最末一位应与不确定度的位数对齐 例 用一个量程Um 100V 精度等级s 0 5级的电压表进行测量 其示值为85 35V 试确定有效数字位数 48 五 等精密度测量结果的处理步骤数据处理的基本步骤如下 1 用修正值等方法 减小恒值系统误差的影响 2 求出测量数据的算术平均值 3 求出测量数据的剩余误差 并验算的代数和是否等于零 从而验算计算算术平均值的正确性 若剩余误差的代数和近似等于零 则说明了算术平均值的计算是正确的 否则说明计算算术平均值时有错 要重新计算 4 由于测量次数有限 利用贝塞尔公式求出标准差的估计值 49 5 判断粗差 剔除坏值 当测量次数n足够大时 随机不确定度为 当测量次数n较少时 利用格拉布斯准则 如果有成立 则剩余误差所对应的测量值是坏值 应予以剔除 6 剔除坏值后 利用剩下的数据再求算术平均值 剩余误差 标准差和随机不确定度 重复进行步骤2 5 直到测量数据中没有坏值为止 然后继续往下计算 50 7 判断有无变值系统误差 利用马利科夫判据判断有无线性系统误差 当测量次数n为偶数时当测量次数n为奇数时如果满足 则测量数据序列中含有线性系统误差 利用阿卑一赫梅特判据判断有无周期性系统误差若上式成立 则测量数据中存在周期性系统误差 含有线性系统误差和周期性系统误差的数据不能使用 重作等精密度测量 51 8 求出算术平均值标准差估计值9 求算术平均值的不确定度根据测量次数的多少 由下面两个式子计算得出 当n较小时当n较大时10 给出测量结果的表达式或报告值对于技术测量 需要指明不确定度时 可表示为 若不需要指明 用算术平均值替代测量结果A 52 说明 1 上述计算所用数据和计算所得各个值均是在无坏值情况下的计算结果 2 在计算过程中 应当考虑有效数字的位数 可先化整然后再计算 使计算简化 为避免累积误差 在化整和结果中可保留两位欠准数字 但最后结果要与误差相对应 53 2 7误差的合成与分配间接测量时的误差计算涉及内容 误差的合成与误差的分配1 误差的合成已知被测物理量与各参数的函数关系及各个测量值的分项误差 求被测物理量的总误差称为误差合成 2 误差的分配已知总误差及其与各测量值之间的函数关系 将总误差合理地分配给各测量值称为误差分配 54 一 误差传递公式设被测量y与各测量值xi之间具有如下的函数关系 绝对误差传递公式 相对误差传递公式 55 说明 绝对误差传递公式中 1 被测物理量总的误差是各分项误差与其传递系数的代数和 是线性化了的简单传递公式 2 式中忽略了高阶无穷小 故得到的绝对误差的值应是近似值 3 由于各个测量值的绝对误差都很小 故得到的绝对误差虽然为近似式 仍具有足够的精确度 被广泛使用 56 二 常用函数的合成误差1 和差函数 2 积函数 3 商函数 4 幂函数 57 1 积函数的合成误差设积函数的方程为 积函数的合成相对误差 积函数的合成相对误差为各分项相对误差之和 当分项误差如 有正负号时 遵从误差最大的原则 取总误差为各分项误差绝对值之和 58 2 商函数的合成误差商函数方程为 合成相对误差 当各分项误差的方向未定时 合成误差为 59 3 幂函数的合成误差设幂函数方程为 其中k为常数 m n p为影响系数 合成相对误差为 60 4 和差函数的合成误差设和差函数方程为 合成相对误差 和函数的情况 合成相对误差为 差函数的情况 合成相对误差为 61 说明 1 当各分项误差的方向 正负 未知时 其合成误差还是按误差最大的原则 取绝对值相加 2 对于差函数 当测量值的大小比较接近时 从其误差合成公式中可以看出 其合成误差较大 要避免采用差函数合成 62 三 系统误差的合成合成类型 系统误差确定的情况和未定的情况 1 已定系统误差的合成由误差传递公式直接进行合成 由于绝对误差是系统误差与随机误差之和即 在随机误差为零的情况下 对各分项误差采用代数和法进行直接合成 即 相对误差为 63 例 五个1000欧电阻串联 若各电阻的系统误差分别为 求总电阻的绝对误差和相对误差 64 2 系统不确定度的合成常用合成方法 绝对值和法 方和根合成法 1 绝对值和法对各分项误差取绝对值 然后求和 绝对系统不确定度 相对系统不确定度 一般情况下 取相对系统不确定度为 65 例 用量程Um 3V 精度等级s 3 0级的晶体管毫伏表测量电压值Ux 1 5V 频率f 100KHz的电压 已知在频率20Hz 1MHz内的附加误差 求相对系统不确定度 66 说明 1 当各分项误差较少时 采用这种绝对值和法是比较保险的 因为在这种情况下 各分项误在相同方向相叠加的机会较大 2 当各分项误差较多时 绝对