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第四章过程建模 1 第四章内容 过程建模机理建模辨识建模混合建模 2 本章要点 1 掌握被控过程机理建模的方法与步骤 2 熟悉被控过程的自衡和非自衡特性 3 熟悉单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表达式 4 重点掌握被控过程基于阶跃响应的建模步骤 作图方法和数据处理 5 熟悉被控过程的一次完成最小二乘建模方法 学会用MATLAB语言编写算法程序 6 熟悉被控过程的递推最小二乘建模方法 学会用MATLAB语言编写算法程序 3 过程的数学模型是设计过程控制系统 确定控制方案 分析质量指标 整定调节器参数等等的重要依据 前馈控制 最优控制 多变量解耦控制等等都需要精确的过程数学模型 所以 过程数学模型是过程控制系统设计分析和应用的重要资料 4 1基本概念 过程数学模型是被控过程的数学表达方式 是指过程的各输入量与相应输出量之间关系的表达方式 4 1 1过程建模的目的 1 设计过程控制系统和整定调节器参数的需要 4 2 指导设计生产工艺设备的需要 3 进行仿真试验研究的需要 4 培训运行操作人员的需要 4 1 2过程数学模型的分类 1 按建模的方式 参数模型 非参数模型 辨识建模 机理 含经验 建模 智能建模 混合建模 2 按模型的性质 动态模型 静态模型 连续模型 离散模型 定常模型 时变模型 线性模型 非线性模型 集中参数模型 分布参数模型 5 4 1 3过程通道 过程通道 被控过程输入量与输出量之间的信号联系包括 控制通道 控制作用与被控量之间的信号联系通道扰动通道 扰动作用与被控量之间的信号联系通道过程通道不同 数学模型也不相同 6 4 2机理建模 机理模型优点是可以充分利用已知的过程知识 从事物的本质上认识外部特征 有较大的适用范围 操作条件变化可以类推 机理建模主要是基于分析过程的结构和内部的物理化学等过程 因此要求建模者对与控制对象相应的学科具有相当的认识和理解 对于简单过程可以采用解析法 而对于一复杂过程 特别是需要考虑输入变量大范围变化的场合 由于人类认识能力的局限性 导致机理建模具有很大的局限性 此时 往往采用仿真方法 典型化工过程的仿真程序已编制成各种现成软件包 对于简单过程的机理模型 也需要通过输入输出数据进行模型的检验与校正 机理建模是根据过程的内部机理 运动规律 运用一些已知的定律 原理 如生物学定律 化学动力学原理 物料平衡原理 能量守恒原理 传热传质原理 电荷守恒原理 水力学方程等等 对过程进行的数学描述 表现形式往往为一组高维非线性微分方程 7 对于一般的工业系统来说 其动态数学模型都可用下述一般规律来描述 1 式中 为系统的状态变量 为输入变量 为容量 为源或流 单位时间内由系统本身产生或吸收的物质量或能量 为单位时间内流入系统的物质量或能量 为单位时间内流出系统的物质量或能量 为时间 式 1 是物质守恒或能量守恒的具体表现 对于实际的系统往往不像式 1 那么简单 但无论怎样复杂的系统 都可以用式 1 作为基本的描述 8 4 2 1自平衡过程机理建模 图中的水通过阀1进入容器 通过出水阀2流出 由于数学方法与计算能力的局限性及人类对客观系统认识的局限性 在对系统进行机理建模时 有必要做出一些假设 这种假设不仅使得模型更为简洁 也方便人们对数学模型的求解及提高模型的准确度 对本系统 作如下假设 两阀均为线性阀 系统本身无泄漏 容器壁垂直 各层截面积相等 单容自平衡系统 9 当系统平衡时 Q1 Q2 此为系统的静态模型 一旦系统有扰动 比如进水阀由于松动而导致入水流量增大 此时 系统的初始平衡被打破 那么此时静态模型显然无法反映系统本身的调节过程 要分析系统的动态调节过程 必须要建立系统的动态模型 10 当Q1变化时 水槽液位也会发生变化 出水口处的静压也会随之变化 Q2也会发生变化 由流体力学可知 流体在紊流情况下 液位H和流量为非线性关系 但为了简化起见 经线性化处理 可近似认为在工作区域内 Q2与H成比例关系 而与阀2的阻力成反比 即 Q2 H R2代入上式整理得 将上式作增量化 线性化处理和进行拉氏变换 得到该过程的传递函数为 可见 该系统为一自平衡系统 11 过程分析 假如由于扰动 阀1的开度增大 则Q1变大 水槽液位会逐渐升高 出水口处的静压也会随之增大 然后 Q2会增大 Q2的增大使得液位不会无限制升高 系统最终会达到一新的平衡 只是在新平衡点 液位较初始平衡点是升高了 Q1 Q2较初始平衡点增大了 所以 这一系统是具有自平衡能力的系统 不难发现 该系统虽然有自平衡能力 但没有调节器 也没有控制器 我们无法对其实施自动控制 12 13 14 冷热水混合系统动态机理建模 图中冷水和热水分别通过调节阀1和调节阀2进入容器 冷热水混合后通过出水阀3给下一环节提供恒温恒压用水 系统通过调节阀1保持容器内水温恒定 通过调节阀2保持容器内液位恒定 以使出水压力恒定 其中 U1 U2 U3为控制变量 Q1 Q2 Q3为体积流量 T1 T2为温度 TC为温度给定值 HC为液位给定值 15 建模假设 对本系统 作如下假设 冷热水混合迅速 容器内各点温度均匀 两调节阀均为线性阀 即 忽略系统的热损耗 系统本身无泄漏 容器壁垂直 各层截面积相等 系统内物质没有相的变化 出水阀没有干扰 16 系统变量建立系统的动态数学模型时 设系统各变量如下 状态变量 H 容器内液位 T 容器内水温 干扰量 T1 冷水温度变化量 T2 热水温度变化量 输入变量 U1 冷水调节阀控制量 U2 热水调节阀控制量 输出变量 H T 17 由物质守恒 能量守恒和其他规律列写系统的数学方程式如下 由物料平衡有 1 其中 A为容器的横截面积 由能量平衡有 2 其中 C为容器的热容 S为水的比容 18 又 3 4 由式 1 2 4 可得 5 式 1 5 即为系统的模型方程 6 19 由假设有 7 假设在整个过程中 出水阀开度维持不变 U3为常数 则有 8 将式 7 8 代入式 6 可得 9 20 由于所建方程为非线性方程 对其进行求解较为困难 因而对所建立的模型方程进行处理的第一步是进行线性化处理 常用的处理方法是对所建方程进行泰勒展开且取一阶导数 又 所研究系统的动态过程实际上是在静态基础上的小范围变化 所建动态模型也是在静态模型基础上的小信号变化 为了提高模型的精度及使所建模型更符合实际 还需要对所建模型进行增量化处理 当然 对于复杂系统来讲 其动态机理模型往往为高阶非线性方程组 为了计算方便 还要对模型方程进行降阶处理 关于模型的降阶处理方法 限于篇幅本文不予介绍 对于本文已建的模型方程 其线性化处理后的增量化式为 右下标0表示为该变量的初始值 左前标 表示为变量的增量形式 10 21 由系统的增量化方程 对式 10 取 为X1对t的导数 为X2对t的导数 可得系统的状态空间表达式为 11 令 为干扰量 则有 12 22 以上建立的模型是连续方程 在利用计算机对模型方程进行仿真时 还需对建立的状态空间方程进行离散化处理 或在静态值的基础上利用欧拉法 龙格库塔法等数值方法进行处理 用状态方程离散化的方法进行处理后 系统的增量方程为 上式又可表示为 23 将上式离散化处理为 为系统的状态转移矩阵 上式中 24 4 2 2非自平衡过程机理建模 单容非自平衡系统 图中的水通过阀1进入容器 通过出口定量泵流出 泵的出水流量只是和泵本身有关 和水槽的液位无关 当系统平衡时 Q1 Q2 此为系统的静态模型 一旦系统有扰动 比如进水阀1由于松动而导致进水流量增大 此时 系统的初始平衡被打破 那么此系统能否到达新的平衡呢 25 过程分析 假如由于扰动 阀1的开度增大 则Q1变大化 水槽液位会升高 但是由于出水口采用定量泵输送 Q2仍保持刚才的流量值 Q2不会增大 这么一来 水槽的液位会逐渐上升 最终会溢满而出 可见 这一系统是不具有自平衡能力的系统 其动态机理模型方程为 26 由于在工作区域内 Q2与H没有关系 为一常数 Q2 Const代入上式并进行增量化处理得 将上式作线性化处理和进行拉氏变换 得到该过程的传递函数为 可见 该系统为一非自平衡系统 为一典型积分环节 27 4 3辨识建模 试验法建模 辨识建模是在实际的生产过程 设备 中 根据过程输入输出的实际数据 通过过程辨识与参数估计的建立被控过程的数学模型 与机理建模相比 辨识建模的主要特点是不需要深入了解过程的机理 但是必须设计一个合理的实验 以获得过程所含的最大信息量 而对此却往往是困难的 在实际使用时 这两种方法互相补充 可以先通过机理分析确定模型的结构形式 再通过实验数据来确定模型中各系数的大小 辨识法又可以分为加专门信号与不加专门信号两种 加专门信号的方法就是在试验过程中改变所研究的过程输入量 对其输出量进行数据处理就可以求得过程的数学模型 所谓不加专门信号即利用过程在正常操作时所记录的信号 进行统计分析来求得过程的数学模型 一般来说这种方法只能定性地反映过程的数学模型 其精度较差 所以 为了能得到精度较高的数学模型 应采用加专门信号的辨识方法 时域信号 阶跃信号 脉冲信号 频域信号 正弦波 梯形波 随机信号 白噪声 伪随机信号 28 4 3 1阶跃响应曲线法建模 在被控过程的输入量作阶跃变化时 测定其输出量随时间而变化的曲线 即得阶跃响应曲线 阶跃响应曲线能形象 直观地描述被控过程的动态特性 实验测试方法很简单 只要使调节阀的开度作一阶跃变化 一般为10 即可 为了能得到可靠的测试结果 试验时必须注意 1 合理选择阶跃信号值 一般取阶跃信号值为正常输入信号的5 15 左右 以不影响正常生产为准 2 在输入信号前 被控过程必须处于相对稳定的运行状态 3 试验时应在相同的试验条件下重复做几次测试 需获得两次以上比较接近的测试数据 以减少干扰的影响 4 在试验时应在阶跃信号作正 反方向变化时分别测取其响应曲线 以求取过程的真实特性 一 原理与方法 29 二 由阶跃响应曲线确定过程的传递函数 由阶跃响应曲线确定过程的数学模型 首先要根据曲线的形状 选定模型的结构 大多数工业过程的动态特性是不振荡的 具有自平衡能力 所以可假定过程近似为一阶 一阶加滞后 二阶 二阶加滞后 对于高阶过程 可近似为二阶加滞后来处理 即 对于少数无自平衡过程的特性 可以处理为 可见 只要能由阶跃响应曲线求得放大系数K0 时间常数T0以及滞后时间 则过程的数学模型就可以求得 30 三 由阶跃响应曲线确定一阶环节的特性参数 计算法 设过程输入信号的阶跃量为x0 响应输出稳态值为y 则一阶环节的K0 T0可按如下步骤计算 计算放大系数K0 计算时间常数T0 先将阶跃响应曲线标准化 将阶跃响应曲线各个时刻的纵坐标值y t 除以稳态值y 得到相对值 上式整理可得 为了计算方便 通常选两点 它们对应的时间常数为T1 t1 T2 2 5t2 若T1 T2接近 则T0取其平均值 31 四 由阶跃响应曲线确定一阶加滞后环节的特性参数 此时响应曲线为S形 K0 T0 可按如下步骤计算 计算放大系数K0 计算时间常数T0和滞后时间常数 先将阶跃响应曲线标准化 将阶跃响应曲线各个时刻的纵坐标值y t 除以稳态值y 得到相对值 此时 在阶跃信号作用下 的解为 所求系统传递函数 选取不同时间t1和t2对应的值 联立求解 可得T0和 32 为了计算方便 通常选两点 则 求解上式可得 计算出时间常数和滞后时间常数后 还应选取其他时刻的点进行校验 34 2 确定一阶时延环节的参数 如果曲线呈现S形状如右图所示 则该过程可用一阶惯性 时延环节近似 一阶惯性 时延环节的传递函数 有三个参数需要确定 时延时间 的确定方法不变 转化为标么值 和 的确定步骤是 先将阶跃响应 即 相应的阶跃响应表达式为 选取两个不同时刻t1 t2 代入 两边取自然对数 求解化简可得 这样便求出 和 35 工程上关于一阶环节的经验数据 T0 36 五 由阶跃响应曲线确定二阶环节的特性参数 当阶跃响应曲线为S形曲线时 究竟是近似为一阶还是近似为二阶环节 应根据对模型精度的要求 将两种计算结果与实验曲线进行比较 看哪一个精度高 若要求模型精度较高时 就选用精度高的模型来近似 对于二阶过程的阶跃响应曲线 其传递函数为 其特性参数为K0 T1 T2 可用两点法计算 37 具体计算过程如下 计算放大系数K0 取曲线上两个点来计算时间常数T1和时间常数T2 1 作y t 稳态值的渐近线y 2 读取曲线上y t1 0 4 y 所对应的时间t1值 3 读取曲线上y t2 0 8 y 所对应的时间t2值 4 运用如下公式计算T1 T2值 38 上式适用于的二阶被控过程 时 过程数学模型可用一阶环节来近似 其时间常数为 时 过程数学模型可用二阶环节来近似 其时间常数为 39 时 过程数学模型则用高于二阶环节来近似 即 此时仍可用上述两个点的位置求其时间常数T0 为 其中 n值可根据t1 t2的值 由查表得出 40 3 确定二阶环节的参数 二阶无时延环节阶跃响应曲线如右图 传递函数为 三个需要确定的参数 的确定与一阶环节确定方法相同 的确定采用两点法 设二阶无时延环节的输入 输出关系为 其中 为阶跃输入的幅值 取阶跃响应曲线上任意两个时刻的坐标 这里为t 0 4 t 0 8 代入方程 求解可得 41 注意 用这种方法确定T1和T2时 应满足 的条件 因为 当 时 应为一阶环节 其中 当 时 应为二阶环节 其中 时 应为二阶以上环节 当 对于n阶环节传递函数 可以按 近似计算 大小由下表确定 其中n可以根据的 高阶过程的n与 的关系 42 4 确定二阶时延环节的参数 二阶时延环节阶跃响应曲线如右图 传递函数为 需确定参数4个 在阶跃响应曲线上 通过拐点F作切线 得纯滞后时间 容量滞后时间 以及 的确定与前面所讲的相同 而总的纯滞后时间 可以证明 与 的关系为 其中 在 的约束条件下 可以解得 和 这个方程为超越方程 求解比较复杂 通常采用图解法 自学图解法 43 六 由阶跃响应曲线确定无自衡过程的特性参数 无自衡过程的数学模型可以近似为 对于无自衡过程 其阶跃响应曲线当t 时是无限增大 或减小 的 为了从阶跃响应曲线上求取积分时间常数 可以先在其速度变化最大处作切线 得到与 最大变化速度为 44 然后计算积分时间常数 为 式中 x0为阶跃信号幅值 这样就可以求得过程的数学模型了 45 4 3 2矩形脉冲响应曲线法建模 阶跃响应曲线法是一种测定动态过程特性的常用的简单易行的方法 但是 当过程长时间处于较大扰动信号作用下时 被控量的变化幅度可能超出实际生产所允许的范围 它的过渡过程与终值均偏离正常操作条件 会影响产品的产量和质量 这时可以用矩形脉冲信号作为过程的输入信号 测出过程的矩形脉冲响应曲线 由于试验所得的阶跃响应曲线的参数估计较方便 因此需要将矩形脉冲响应曲线转换成阶跃响应曲线 其转换方法如下 46 矩形脉冲信号可以看作两个幅值相等方向相反的阶跃信号x1 t 和x2 t 的叠加 即 假设被控过程是线性的 则其矩形脉冲响应曲线y t 可分别由x1 t 和x1 t a 的阶跃响应曲线y1 t 和y1 t a 叠加而成 即 或 上式是由脉冲响应曲线画出阶跃响应曲线的依据 可以用分段作图法来求取 47 4 3 2方波响应曲线法 方波响应曲线法是在正常输入的基础上 施加一方波输入 并测取相应输出的变化曲线 据此估计过程参数 通常在实验获取方波响应曲线后 先将其转换为阶跃响应曲线 然后再按阶跃响应法确定有关参数 如图所示 输出响应由两个时间相差t0 极性相反 形状完全相同的阶跃响应的叠加而成 所需的阶跃响应为 t 0 t0阶跃响应曲线与方波响应曲线重合 t 0 2t0时 依次类推 即可由方波响应曲线求出完整的阶跃响应曲线 48 4 3 3最小二乘法 4 3 3 1离散化模型与输入试验信号 1 离散化模型 1 离散时域模型 如果对被控过程的输入信号u t 输出信号y t 进行采样 采样周期为T 则相应得到差分方程为 2 离散频域模型 离散频域模型可用脉冲传递函数表示 对输出离散序列 进行Z变换 其中 49 2 输入试验信号 1 输入试验信号的条件与要求 为了使被控过程是可辨识的 输入试验信号必须满足如下条件 1 在辨识时间内被控过程的模态必须被输入试验信号持续激励 2 输入试验信号的选择应能使辨识模型的精度最高 从工程的角度 输入试验信号的选取还要考虑如下一些要求 3 工程上易于实现 成本低 1 输入试验信号的功率或幅值不宜过大 也不能太小 2 输入试验信号对过程的 净扰动 要小 2 输入试验信号的选取 白色噪声作为输入试验信号可以保证获得较好的辨识效果 但白色噪声在工程上不易实现 研究表明 最长线性移位寄存器序列 简称M序列 具有近似白色噪声的性能 50 3 M序列的产生 M序列的产生通常有两种方法 一是用移位寄存器产生 二是用软件实现 1 移位寄存器产生 M序列可以很容易地用线性反馈移位寄存器产生 结构图如下 2 软件实现 可以使用MATLAB语言编程实现产生M序列 51 4 3 3 2最小二乘法 最小二乘法将待辨识的过程看作 黑箱 如图所示 输入和输出y t 是可以量测的 e k 为量测噪声 则过程模型为 其中 最小二乘法要解决的问题是如何利用过程的输入 输出量测数据确定多项式 和 的系数 对于模型 展开后写成最小二乘格式为 其中 52 4 3 3 3最小二乘问题的解 1 一次完成解法 适用于理论研究 将准则函数 写成二次型的形式 即可求得参数 的估计值使模型的输出 最好 地预报过程的输出 代表模型的输出 其中 显然 极小化的 经计算 有唯一的 满足 使 这种计算 的方法称作最小二乘法 对应的 称为最小二乘参数估计值 可获得一批输入 输出数据之后 利用这种方法可一次求得相应的参数估计值 这种处理问题的方法称为一次完成算法 其计算机程序流程 如右图所示 53 2 最小二乘递推解法 适合于计算机在线辨识 递推算法的优点 每次计算只需采用k 1时刻的输入 输出数据修正k时刻的参数估计值 从而使参数估计值不断更新 而无需对所有数据进行重复计算 适合于在线辨识 其核心思想是下一时刻的参数估计值等于上一时刻参数估计值加一项修正项 其信息变换图如下 54 3 模型阶次和纯滞后时间的确定 上述情况都是假定在系统阶次n和純滞后时间 已知的情况下 但实际情况 是这两个参数未必能够事先知道 往往也需要根据试验数据加以确定 确定模型阶次n最简单实用的方法是采用 它是通过比较不同阶次的模型输出与实际过程的输出拟合程度来决定模型的阶次 纯滞后时间 值的损失函数 可以采用阶跃响应曲线法 获得 也可以比较不同 来求取 确定n和 的最小二乘法计算机程序 流程图如图所示 数据拟合度检验法 55 4 3 3 4最小二乘法建模例题 试验法是根据过程的响应曲线来确定模型结构和参数 最小二乘法是利用最小二乘参数估计原理 根据过程的输入 输出实验数据来推算出结构模型中的参数值 例题 56 4 3 4人工神经网络 ANN 建模方法 传统的机理模型难以真实地描述过程特性 而采用人工神经网络方法可以在不需要了解过程稳态和动态的先验知识的情况下很方便地建立过程模型 而且随着工业过程内部特性的变化 过程模型还可以通过学习及时地得到修正 这使得ANN成为建模和推断控制的主要工具 ANN的主要吸引力在于 能够以任意精度逼近任意非线性映射 给建模带来一种非传统的表达工具 自适应性能力 包括自学习能力 自组织推理能力等 并行结构和并行处理 它不但结构上是并行的 处理顺序也是并行的 因此处理速度快 能快速实现大量复杂的控制算法 进行实时处理 分布式信息存储与处理结构 具有独特的容错性 能够同时融合定量与定性数据 使其能够利用连接主义的结构 与传统控制方法及符号主义的人工智能相结合 所有定量和定性的信息都能等势分布贮存在网络内各神经元中 对MIMO系统特别方便 虽然ANN在许多领域已取得了很大的成功 但目前的研究已有停滞不前的趋势 这是因为 1 近年来对ANN本身的研究 如网络结构 控制参数等没有根本性的突破 2 ANN的泛化能力不足 3 网络本身的黑箱式内部知识表达方式 使其不能利用经验进行学习 易陷于局部极小值 这些固有的缺陷极大地限制了ANN的应用 57 4 3 4 1BP网络BPNN由输入层 输出层以及一到多层隐含层组成 输入信号从输入节点 依次经过各隐含层 最终到达输出节点 BPN的同层节点之间没有相互连接 每一层节点的输出只作为下一层节点的输入 58 BP算法由四部分组成 输入模式是中间层向输出层的 模式顺传播 过程 网络的期望输出与网络实际输出之差的误差信号由输出层经中间层逐层修正连接权的 误差反传播 的过程 由 模式顺传播 与 误差反传播 的反复交替进行的网络 记忆训练 过程 网络趋向收敛即网络的全局误差趋向极小值的 学习收敛 过程 归结起来为