重庆大学概率论习题一.doc

习题1A组1试写出下列各随机试验的样本空间与事件：1） 检测产品质量，直到检测到两件次品为止，观察总的检验次数；A=“总的检验次数在20次以上”；解：， 。2） 某超市上午9:0010:00时间范围内进入超市购货的顾客数；A=“进入超市的顾客数在200人到400人之间”；B=“顾客数不多于500人”；解：， ， 。3） 在一批电子元件中任取一只进行寿命试验； A=“电子元件寿命在1000小时以上”； B=“电子元件寿命不超过800小时”； 解：， ， 。4） 在区间0, 1内任取两数； A=“两数之和大于1”；B=“两数之差的绝对值小于”；解：， ，。2设为三事件，用的运算关系表示下列各事件。 1）发生，不发生； 2）都发生，而不发生； 3）至少有一个发生；4）都不发生；5）不多于两个发生；6）至少有两个发生；解：1）；2）；3）；4）；5）；6）。3设为三个事件，试化简下列事件：1）； 2）；3）；4）；解：1）2）3）4）4指出下列命题中哪些成立，哪些不成立。 1）； 2）； 3）； 4）；5）若； 6）若，则。解：1），故成立；2），故不成立；3）不成立；4）成立；5）成立；6）成立。5. 从1，2，3，4，5，6这六个数字随机取三个数字，以两种抽取方式：（1）无放回；（2）有放回；求下列事件的概率：1）“最大的是4”； 2）“有2”；3）“恰有两个小于4”； 4）“没有4”；解：（1）无放回：1）；2）；3）；4）（2）有放回：1）；2）；3）；4）6. 某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但是忘记了开房门的是哪两把，只好随机试开，问：用下列两种方式试开，此人在三次内能打开房门的概率是多少？1）试开后的钥匙不放回； 2）试开后的钥匙放回； 解：1）恰好在第一次打开：；第二次打开（在第一次没有打开的基础上）：；第三次打开（在前两次都没有打开的基础上）：。最后是把这几次的数相加：2）恰好在第一次打开：；第二次打开（在第一次没有打开的基础上）：；第三次打开（在前两次都没有打开的基础上）：。最后是把这几次的数相加7. 在40台空调中有3台次品，现不放回从中随机取3台，求下列事件的概率：1）3台中恰有一台是次品； 2）3台中全是次品；3）3台中至多有两台是次品； 4）3台中至少有一台的次品；解：1）=0.2022； 2）=0.0001；3）1减去三台都是次品的：1=0.9999；4）1减去全部都是正品的：1=0.2136。8有10只晶体管，其中有4只次品，6只正品，现不放回地逐个测试，直到4只次品都找到为止。求最后一只次品在第1）5次抽试时被发现；2）10次抽试时被发现。解：1）前4次中有三个次品，第5次肯定是次品，答案：；2）最后一次肯定是次品。（即10次中某一次抽到次品的概率肯定是）9. 将4个球随机放入5只杯子中，每只杯子容纳球数不限。求5只杯中最大球数为k的概率，。解：设=“最大球数为”，则，最后，10. 一个房间内有10个人。求下列事件的概率：1）“没有两人生日相同”；2）“他们的生日是同一天”；3）“恰有3个人的生日是十月一日”（一年按365天计）；解：1）；2）；3）。11. 一袋中有m个黑球与n个白球。现从中不放回摸k个球，求摸出的k个球中至少有一个黑球的概率。解：设“一个黑球都没有”，“k 个球中至少有一个黑球”，则因为，故。12. 在区间0，1中随机地取两个数，求事件“两数之和小于”的概率。解：样本空间为：事件表示为：画出几何区域，根据几个概率的定义，可计算事件的概率。13. 将长为L的棒随机拆成三段，求三段能构成三角形的概率。解：设棒的三段长度分别为样本空间为：，即事件表示为：，画出几何区域，根据几个概率的定义，可计算事件的概率。14设随机事件的概率分别为0.4, 0.3, 0.6, 求。解：因为所以15. 设。证明：。证明： 16. 甲、乙两工厂共生产1000个零件，其中300个零件是由乙厂生产的，并且300个零件中有189个是标准品。现从1000个零件中任取一个。1） 求该零件是乙厂生产的标准品的概率；2） 如果已知该零件是已厂生产的，求它是标准品的概率。解：1） 2） 17. 已知，求。解：，故18. 某厂产品中有4%是废品，而在100件合格品中有75件一等品，求任取一件产品的一等品的概率。解：19. 10个零件中有3个次品，一次取一个零件，不放回地连取4次，求第4次才取得次品的概率。解：设=“第次取到正品”，则第4次才取到次品的概率为 20. 乒乓球盒中有15只球，其中9只是没有用过的新球。第一次比赛时任取3只使用，用毕后放回。第二次比赛时也任取3只，求此3只球都是新的概率。解：设=“第一次取出的全是新球”，=“第一次取出的是1新2旧的球”，=“第一次取出的是2新1旧的球”，=“第一次取出的全是旧球”，=“第二次取出的全是新球”，则21将两信息分别编码为传递出去，由于传输过程中受到一定的干扰，接收站收到信息时，信息误收为的概率0.02，信息误收为的概率为0.01，两信息,传送的频繁程度为2:1，若接收站收到的信息是，求原发送信息为的概率。解：设=“发送信息为”，=“收到信息”，则，。由贝叶斯公式22. 设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是，和。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？解：设=“乘火车”，=“乘轮船”，=“乘汽车”，=“乘飞机”，=“迟到”则，由全概率公式；23设甲、乙、丙三枚导弹向同一敌机射击，甲、乙、丙击中敌机的概率分别为0.4, 0.5, 0.7。如果只有一枚导弹击中，飞机坠毁的概率为0.2；如果有两枚导弹击中，飞机坠毁的概率为0.6；如果有三枚导弹击中，飞机坠毁的概率为0.9；求1） 飞机坠毁的概率；2） 如已知飞机坠毁，求是两枚导弹击中的概率。解：设=“甲乙丙均未中”，=“甲中、乙丙未中”，=“乙中、甲丙未中”，=“丙中、甲乙未中”，=“甲乙中、丙未中”，=“甲丙中、乙未中”，=“乙丙中、甲未中”，=“甲乙丙均击中”，=“飞机坠毁”则（1）（2）24. 设有两箱装有同型号的零件，第一箱内装50只，其中10只一等品；第二箱内装30只，其中18只一等品。现从两箱中随机挑选一箱，然后从该箱中先后两次随机取两只零件（每次取一只，不放回）。试求1）第一次取到的零件的一等品的概率；2）已知第一次取到一等品，第二次取出的也是一等品的概率。解：设=“选中第一箱”，=“选中第二箱”，=“第一次取到的零件是一等品”，则，（1）由全概率公式（2）设=“第二次取到的零件是一等品”，则25设, 证明：1） 与相互独立 ；2） 如果事件发生导致事件发生，证明；3） 。 证明：1）“” ， “” 即 ，所以与相互独立。2）已知 3）“” “”同理可证。26在四次重复独立试验中，事件A在每次试验中出现的概率相等。如果已知A在四次试验中至少出现一次的概率为，求A在一次试验中出现的概率。解：设在一次试验中出现的概率为，由题意知，在四次试验中都未出现的概率为，即27每次射击命中率为0.2，问至少要进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9？解：设=“射击命中目标”，=“第次独立射击命中目标”， ，即 ，故。28甲、乙两选手比赛，假定每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更为有利？解：采用3局2胜制，甲最终获胜，其胜局的情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”。而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为采用5局3胜制，甲最终获胜，至少需要比赛3局（可能赛3局、也可能赛4局或5局），且最后一局必需是甲胜，而前面甲需胜2局。例如，共赛4局，则甲的胜局情况是：“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”或“甲甲乙甲”。而这三种结局互不相容，由独立性得在5局3胜制下甲最终获胜的概率为 故采用5局3胜制对甲更为有利。29一个人的血型为型的概率分别为0.46, 0.4, 0.11, 0.03。现在随机地挑选5人，求下列事件的概率：1） 两人为型血，其他三人分别为型血；2） 三人为型血，两人为型血；3） 没有人为型。解：设上述求解问题分别为事件、1）2）3）30设甲、乙两篮球运动员投篮命中率分别为0.7, 0.6，若每人投篮3次，求两人进球数相等的概率。解：设=“进球数均为”，则所求概率为31在下图1所示电路中，开关a、b、c、d接通或断开的概率都是0.5，且各开关接通或断开相互独立。在已知灯亮的条件下，求开关a与b同时接通的概率。abcd图1解：设=“灯亮” 32. 如下图2所示，CD系统中各元件正常工作的概率均为，且各元件是否正常工作相互独立，求CD系统正常工作的概率。a1a3a55a4a6CD图2a2解：P系统CD正常工作 B组1. 将个“0”与个“1”随机排列，求没有两个“1”连在一起的概率？解： 总共个位置，选出个放0，剩下个放1，故样本总数是，故25个人在第一层进入十一层楼的电梯，假如每个人以相同的概率走出任一层楼（从第二层开始），求这5个人在不同楼层走出的概率。解：古典概率问题。因每个人都有可能在十层楼的任一层走出，故样本总数为，而每层楼至多有一个人走出为，故：3. 从10双不同号码的鞋中随机取8只，求下列事件的概率：1）A =“没有两只配对”； 2）B =“恰有两只配对”；3）C=“恰有4只配对”； 4）D =“恰好配成4对”。解：1）；2）；3）；4）4. 一袋中有2个黑球3个白球，现有放回地从袋中摸球。求第4次摸到黑球是在第6次摸球中实现的概率。解：设所求事件为，则 5. 在单位圆的圆周上任取三点，求三点构成钝角三角形的概率。解：取单位圆周的三段弧长分别为：、，则样本空间表示为：，即设=“三点构成钝角三角形”，=“三点构成锐角三角形”，即，。画几何区域图形如下：x02y26. 有一类有奖销售，一袋封闭包装的食品中放入一张赠券，张不同的赠券为一套，收集齐一套可获大奖。求购买袋食品收集齐一套赠券的概率。解：设=“购买的袋食品收集齐一套赠券”，=“购买的袋食品收集到第张赠券”，则 ，由于根据含义有所以故7. 假设一厂家生产的每台机器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需要进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂；以概率0.2定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：1） 全部能出厂的概率； 2） 其中恰有两件不能出厂的概率； 3） 其中至少有两件不能出厂的概率； 解：1）；2）；3）8. 设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3，7，5份，随机地取一个地区，从中先后取出2份，求：1) 先抽到的一份是女生表的概率；2) 已知后抽到的一份的男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。解：1）(先抽到的一份是女生表)=2）由(第二份抽到男生表)=(第一、二份均抽到男生表)+(第一份抽到女生表、第二份抽到男生表)=则 (第一份抽到女生表|第二份抽到男生表)=9. 要验收100件产品，如果从中任取3件（不放回），这3件中有一件次品就拒绝接受这批产品，一件次品被检查出的概率为0.95，而一件正品被误检为次品的概率为0.01。如果这100件产品中有4件是次品，求这批产品被接受的概率。解1： 设=“有个次品”，i=0,1,2,3, =“被接受