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大一上学期高数期末考试一、单项选择题 1. .（A） （B）（C） （D）不可导.2. . （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小； （D）是比高阶的无穷小. 3. 若，其中在区间上二阶可导且，则（ ）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。4.（A） （B）（C） （D）.5、设，则（ ）(A) (B) (C) 0 (D) 6、设函数，则（ ）。(A) 都是的第一类间断点；(B) 都是的第二类间断点；(C) 是的第一类间断点, 是的第二类间断点；(D) 是的第二类间断点, 是的第一类间断点。二、填空题4. .5. .6. .7.已知，则 。三、解答题7. 设函数由方程确定，求以及.8.9.10. 设函数连续，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.11. 求微分方程满足的解. 四、 解答题12. 已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.13. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D.（1）求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.五、证明题14. 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.15. 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D 2、A 3、C 4、C 5、D 6、D二、 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）4. . 5.6. . 7. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）7.解：方程两边求导 ，8.解：9.解：10.解：由，知。 ，在处连续。11.解： ，四、 解答题12.解：由已知且， 将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为：13.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积五、证明题14. 证明：故有： 证毕。15.证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上
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